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2016年山东省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个
选项符合题目要求.
1．（5分）（2016•山东）若复数z满足2z+ =3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（ ）
A．1+2i B．1﹣2iC．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
2．（5分）（2016•山东）设集合A={y|y=2x，x R}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（ ）
A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（0，+∞）
∈
3．（5分）（2016•山东）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成
了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30 ，样本数据分组为[17.5，
20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30 ．根据直方图，这200名学生
]
中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
]
A．56 B．60 C．120 D．140
4．（5分）（2016•山东）若变量x，y满足 ，则x2+y2的最大值是（ ）
A．4 B．9 C．10 D．12
5．（5分）（2016•山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几
何体的体积为（ ）A． + π B． + π C． + π D．1+ π
6．（5分）（2016•山东）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直
线b相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）（2016•山东）函数f（x）=（ sinx+cosx）（ cosx﹣sinx）的最小正周期
是（ ）
A． B．π C． D．2π
8．（5分）（2016•山东）已知非零向量 ， 满足4| |=3| |，cos＜ ， ＞= ．若 ⊥（t
+ ），则实数t的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C． D．﹣
9．（5分）（2016•山东）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当
﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞ 时，f（x+ ）=f（x﹣ ）．则f（6）=（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
10．（5分）（2016•山东）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点
处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（ ）
A．y=sinx B．y=lnx C．y=ex D．y=x3
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）（2016•山东）执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输
出的i的值为 ．
12．（5分）（2016•山东）若（ax2+ ）5的展开式中x5的系数是﹣80，则实数a=
．13．（5分）（2016•山东）已知双曲线E： ﹣ =1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的
四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是
．
14．（5分）（2016•山东）在[﹣1，1 上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣
5）2+y2=9相交”发生的概率为 ．
]
15．（5分）（2016•山东）已知函数f（x）= ，其中m＞0，若存在
实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是 ．
三、解答题,：本大题共6小题，共75分.
16．（12分）（2016•山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2
（tanA+tanB）= + ．
（Ⅰ）证明：a+b=2c；
（Ⅱ）求cosC的最小值．
17．（12分）（2016•山东）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底
面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．
（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；
（Ⅱ）已知EF=FB= AC=2 ，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．
18．（12分）（2016•山东）已知数列{a }的前n项和S =3n2+8n，{b }是等差数列，且
n n n
a =b +b ．
n n n+1
（Ⅰ）求数列{b }的通项公式；
n
（Ⅱ）令c = ，求数列{c }的前n项和T ．
n n n
19．（12分）（2016•山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙
各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜
对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率
是 ，乙每轮猜对的概率是 ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．
假设“星队”参加两轮活动，求：
（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．20．（13分）（2016•山东）已知f（x）=a（x﹣lnx）+ ，a R．
∈
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+ 对于任意的x [1，2 成立．
∈ ]
21．（14分）（2016•山东）平面直角坐标系xOy中，椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离
心率是 ，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，
B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．
（i）求证：点M在定直线上；
（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S ，△PDM的面积为S ，求 的最大值
1 2
及取得最大值时点P的坐标．2016 年山东省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个
选项符合题目要求.
1．（5分）（2016•山东）若复数z满足2z+ =3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（ ）
A．1+2i B．1﹣2iC．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
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【专题】计算题；规律型；转化思想；数系的扩充和复数．
【分析】设出复数z，通过复数方程求解即可．
【解答】解：复数z满足2z+ =3﹣2i，
设z=a+bi，
可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i．
解得a=1，b=﹣2．
z=1﹣2i．
故选：B．
【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．
2．（5分）（2016•山东）设集合A={y|y=2x，x R}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（ ）
A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（0，+∞）
∈
【考点】并集及其运算．
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【专题】计算题；集合思想；数学模型法；集合．
【分析】求解指数函数的值域化简A，求解一元二次不等式化简B，再由并集运算得答案．
【解答】解：∵A={y|y=2x，x R}=（0，+∞），
B={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1），
∈
∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）．
故选：C．
【点评】本题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，
是基础题．
3．（5分）（2016•山东）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成
了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30 ，样本数据分组为[17.5，
20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30 ．根据直方图，这200名学生
]
中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
]A．56 B．60 C．120 D．140
【考点】频率分布直方图．
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【专题】计算题；图表型；概率与统计．
【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而
可得自习时间不少于22.5小时的频数．
【解答】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，
故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7×200=140，
故选：D
【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．
4．（5分）（2016•山东）若变量x，y满足 ，则x2+y2的最大值是（ ）
A．4 B．9 C．10 D．12
【考点】简单线性规划．
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【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式．
【分析】由约束条件作出可行域，然后结合x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与原点距
离的平方求得x2+y2的最大值．
【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，
∵A（0，﹣3），C（0，2），
∴|OA|＞|OC|，
联立 ，解得B（3，﹣1）．
∵ ，
∴x2+y2的最大值是10．
故选：C．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，
是中档题．5．（5分）（2016•山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几
何体的体积为（ ）
A． + π B． + π C． + π D．1+ π
【考点】由三视图求面积、体积．
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【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可
得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，
半球的直径为棱锥的底面对角线，
由棱锥的底底面棱长为1，可得2R= ．
故R= ，故半球的体积为： = π，
棱锥的底面面积为：1，高为1，
故棱锥的体积V= ，
故组合体的体积为： + π，
故选：C
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何
体的形状是解答的关键．
6．（5分）（2016•山东）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直
线b相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
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【专题】探究型；空间位置关系与距离；简易逻辑．
【分析】根据空间直线与直线，平面与平面位置关系的几何特征，结合充要条件的定义，
可得答案．
【解答】解：当“直线a和直线b相交”时，“平面α和平面β相交”成立，当“平面α和平面β相交”时，“直线a和直线b相交”不一定成立，
故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件，
故选：A
【点评】本题考查的知识点是充要条件，空间直线与平面的位置关系，难度不大，属于基
础题．
7．（5分）（2016•山东）函数f（x）=（ sinx+cosx）（ cosx﹣sinx）的最小正周期
是（ ）
A． B．π C． D．2π
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．
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【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的图像与性质．
【分析】利用和差角及二倍角公式，化简函数的解析式，进而可得函数的周期．
【解答】解：数f（x）=（ sinx+cosx）（ cosx﹣sinx）=2sin（x+ ）•2cos（x+ ）
=2sin（2x+ ），
∴T=π，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档．
8．（5分）（2016•山东）已知非零向量 ， 满足4| |=3| |，cos＜ ， ＞= ．若 ⊥（t
+ ），则实数t的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C． D．﹣
【考点】平面向量数量积的运算．
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【专题】计算题；转化思想；平面向量及应用．
【分析】若 ⊥（t + ），则 •（t + ）=0，进而可得实数t的值．
【解答】解：∵4| |=3| |，cos＜ ， ＞= ， ⊥（t + ），
∴ •（t + ）=t • + 2=t| |•| |• +| |2=（ ）| |2=0，
解得：t=﹣4，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，
属于基础题．
9．（5分）（2016•山东）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当
﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞ 时，f（x+ ）=f（x﹣ ）．则f（6）=（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【考点】抽象函数及其应用．
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【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】求得函数的周期为1，再利用当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），得到f（1）=﹣
f（﹣1），当x＜0时，f（x）=x3﹣1，得到f（﹣1）=﹣2，即可得出结论．
【解答】解：∵当x＞ 时，f（x+ ）=f（x﹣ ），
∴当x＞ 时，f（x+1）=f（x），即周期为1．
∴f（6）=f（1），
∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（1）=﹣f（﹣1），
∵当x＜0时，f（x）=x3﹣1，
∴f（﹣1）=﹣2，
∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，
∴f（6）=2．
故选：D．
【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．
10．（5分）（2016•山东）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点
处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（ ）
A．y=sinx B．y=lnx C．y=ex D．y=x3
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
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【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；导数的概念及应用．
【分析】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，
则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．
【解答】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂
直，
则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，
当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；
当y=lnx时，y′= ＞0恒成立，不满足条件；
当y=ex时，y′=ex＞0恒成立，不满足条件；
当y=x3时，y′=3x2＞0恒成立，不满足条件；
故选：A
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）（2016•山东）执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输
出的i的值为 3 ．【考点】程序框图．
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【专题】计算题；操作型；算法和程序框图．
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，
模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：∵输入的a，b的值分别为0和9，i=1．
第一次执行循环体后：a=1，b=8，不满足条件a＜b，故i=2；
第二次执行循环体后：a=3，b=6，不满足条件a＜b，故i=3；
第三次执行循环体后：a=6，b=3，满足条件a＜b，
故输出的i值为：3，
故答案为：3
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟
程序法进行解答．
12．（5分）（2016•山东）若（ax2+ ）5的展开式中x5的系数是﹣80，则实数a= ﹣ 2
．
【考点】二项式系数的性质．
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【专题】二项式定理．
【分析】利用二项展开式的通项公式T = （ax2）5﹣r ，化简可得求的x5的系
r+1
数．
【解答】解：（ax2+ ）5的展开式的通项公式T = （ax2）5﹣r = a5﹣r
r+1
，
令10﹣ =5，解得r=2．
∵（ax2+ ）5的展开式中x5的系数是﹣80∴ a3=﹣80，
得a=﹣2．
【点评】考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数，属常规题型．
13．（5分）（2016•山东）已知双曲线E： ﹣ =1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的
四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是 2
．
【考点】双曲线的简单性质．
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【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=± ，再由题意设出A，B，C，D的坐标，
由2|AB|=3|BC|，可得a，b，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．
【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b =± ，
由题意可设A（﹣c， ），B（﹣c，﹣ ），C（c，﹣ ），D（c， ），
由2|AB|=3|BC|，可得
2• =3•2c，即为2b2=3ac，
由b2=c2﹣a2，e= ，可得2e2﹣3e﹣2=0，
解得e=2（负的舍去）．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D
的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．
14．（5分）（2016•山东）在[﹣1，1 上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣
5）2+y2=9相交”发生的概率为 ．
]
【考点】几何概型．
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【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最
后根据几何概型的概率公式可求出所求．
【解答】解：圆（x﹣5）2+y2=9的圆心为（5，0），半径为3．
圆心到直线y=kx的距离为 ，
要使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交，则 ＜3，解得﹣ ＜k＜ ．
∴在区间[﹣1，1 上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交相交的概率为
]
= ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概
率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．
15．（5分）（2016•山东）已知函数f（x）= ，其中m＞0，若存在
实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是 （ 3 ， +∞ ）
．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
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【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】作出函数f（x）= 的图象，依题意，可得4m﹣m2＜m（m
＞0），解之即可．
【解答】解：当m＞0时，函数f（x）= 的图象如下：
∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，
∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，
必须4m﹣m2＜m（m＞0），
即m2＞3m（m＞0），
解得m＞3，
∴m的取值范围是（3，+∞），
故答案为：（3，+∞）．【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到4m
﹣m2＜m是难点，属于中档题．
三、解答题,：本大题共6小题，共75分.
16．（12分）（2016•山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2
（tanA+tanB）= + ．
（Ⅰ）证明：a+b=2c；
（Ⅱ）求cosC的最小值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理．
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【专题】计算题；证明题；综合法；解三角形．
【分析】（Ⅰ）由切化弦公式 ，带入
并整理可得2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+cosB，这样根
据两角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2sinC，从而根据正弦定理便可得出a+b=2c；
（Ⅱ）根据a+b=2c，两边平方便可得出a2+b2+2ab=4c2，从而得出a2+b2=4c2﹣2ab，并由不
等式a2+b2≥2ab得出c2≥ab，也就得到了 ，这样由余弦定理便可得出 ，
从而得出cosC的范围，进而便可得出cosC的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：由 得：
；
∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；
∴2sin（A+B）=sinA+sinB；
即sinA+sinB=2sinC（1）；
根据正弦定理， ；
∴ ，带入（1）得： ；
∴a+b=2c；（Ⅱ）a+b=2c；
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；
∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；
又a，b＞0；
∴ ；
∴由余弦定理， = ；
∴cosC的最小值为 ．
【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为π，以及三角函数的诱
导公式，正余弦定理，不等式a2+b2≥2ab的应用，不等式的性质．
17．（12分）（2016•山东）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底
面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．
（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；
（Ⅱ）已知EF=FB= AC=2 ，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
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【专题】证明题；转化思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，推导出平面GQH∥平面ABC，由此能证明
GH∥平面ABC．
（Ⅱ）由AB=BC，知BO⊥AC，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立
空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣BC﹣A的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，
∵G、H为EC、FB的中点，
∴GQ ，QH∥ ，
又∵EF BO，∴GQ BO，
∴平面GQH∥平面ABC，
∵GH 面GQH，∴GH∥平面ABC．
解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC，
⊂
又∵OO′⊥面ABC，
∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（ ，0，0），C（﹣2 ，0，0），B（0，2 ，0），O′（0，0，3），F（0，
，3），
=（﹣2 ，﹣ ，﹣3）， =（2 ，2 ，0），由题意可知面ABC的法向量为 =（0，0，3），
设 =（x ，y ，z ）为面FCB的法向量，
0 0 0
则 ，即 ，
取x =1，则 =（1，﹣1，﹣ ），
0
∴cos＜ ， ＞= =﹣ ．
∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角，
∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值为 ．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认
真审题，注意向量法的合理运用．
18．（12分）（2016•山东）已知数列{a }的前n项和S =3n2+8n，{b }是等差数列，且
n n n
a =b +b ．
n n n+1
（Ⅰ）求数列{b }的通项公式；
n
（Ⅱ）令c = ，求数列{c }的前n项和T ．
n n n
【考点】数列的求和；数列递推式．
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【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）求出数列{a }的通项公式，再求数列{b }的通项公式；
n n
（Ⅱ）求出数列{c }的通项，利用错位相减法求数列{c }的前n项和T ．
n n n
【解答】解：（Ⅰ）S =3n2+8n，
n
∴n≥2时，a =S ﹣S =6n+5，
n n n﹣1
n=1时，a =S =11，∴a =6n+5；
1 1 n
∵a =b +b ，
n n n+1
∴a =b +b ，
n﹣1 n﹣1 n
∴a ﹣a =b ﹣b ．
n n﹣1 n+1 n﹣1
∴2d=6，
∴d=3，
∵a =b +b ，
1 1 2∴11=2b +3，
1
∴b =4，
1
∴b =4+3（n﹣1）=3n+1；
n
（Ⅱ）c = = =6（n+1）•2n，
n
∴T
n
=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n ①，
∴2T
n
=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1 ②，
]
①﹣②可得﹣T =6[2•2+22+23+…+2n﹣（]n+1）•2n+1 =12+6× ﹣6（n+1）•2n+1=
n
]
（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2，
∴T =3n•2n+2．
n
【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考
查分析与运算能力，属于中档题．
19．（12分）（2016•山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙
各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜
对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率
是 ，乙每轮猜对的概率是 ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．
假设“星队”参加两轮活动，求：
（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散
型随机变量及其分布列．
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【专题】计算题；分类讨论；分类法；概率与统计．
【分析】（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2
个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，进而可得答案；
（II）由已知可得：“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，进而得到X
的分布列和数学期望．
【解答】解：（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜
对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，
故概率P= + +
= + + = ，
（II）“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，
则P（X=0）= = ，
P（X=1）=2×[ + = ，
]P（X=2）= + +
+ = ，
P（X=3）=2× = ，
P（X=4）=2×[ + =
]
P（X=6）= =
故X的分布列如下图所示：
X 0 1 2 3 4 6
P
∴数学期望EX=0× +1× +2× +3× +4× +6× = =
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题．
20．（13分）（2016•山东）已知f（x）=a（x﹣lnx）+ ，a R．
∈
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+ 对于任意的x [1，2 成立．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研∈究函数]的单调性．
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【专题】综合题；函数思想；综合法；导数的概念及应用．
【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a分类分析导函数的符号，由导函数的符号
确定原函数的单调性；
（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）﹣f′（x），令g（x）=x﹣lnx，h（x）= ．
则F（x）=f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x），利用导数分别求g（x）与h（x）的最小值得
到F（x）＞ 恒成立．由此可得f（x）＞f′（x）+ 对于任意的x [1，2 成立．
∈ ]
【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=a（x﹣lnx）+ ，
得f′（x）=a（1﹣ ）+
= = （x＞0）．
若a≤0，则ax2﹣2＜0恒成立，
∴当x （0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
∈当x （1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
当a＞∈ 0，若0＜a＜2，当x （0，1）和（ ，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
∈
当x （1， ）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
若a=∈2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数；
若a＞2，当x （0， ）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
∈
当x （ ，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
（Ⅱ∈）解：∵a=1，
令F（x）=f（x）﹣f′（x）=x﹣lnx ﹣1 =x﹣lnx+ ．
令g（x）=x﹣lnx，h（x）= ．
则F（x）=f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x），
由 ，可得g（x）≥g（1）=1，当且仅当x=1时取等号；
又 ，设φ（x）=﹣3x2﹣2x+6，则φ（x）在[1，2 上单调递减，
]
且φ（1）=1，φ（2）=﹣10，
∴在[1，2 上存在x ，使得x （1，x ） 时φ（x ）＞0，x （x ，2）时，φ（x ）＜0，
0 0 0 0 0
∴函数φ（x）在（1，x ）上单调递增；在（x ，2）上单调递减，
0 0
] ∈ ∈
由于h（1）=1，h（2）= ，因此h（x）≥h（2）= ，当且仅当x=2取等号，
∴f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x）＞g（1）+h（2）= ，
∴F（x）＞ 恒成立．
即f（x）＞f′（x）+ 对于任意的x [1，2 成立．
【点评】本题考查利用导数加以函数∈ 的单]调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了分
类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是压轴题．
21．（14分）（2016•山东）平面直角坐标系xOy中，椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离
心率是 ，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，
B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．
（i）求证：点M在定直线上；（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S ，△PDM的面积为S ，求 的最大值
1 2
及取得最大值时点P的坐标．
【考点】椭圆的简单性质．
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【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（I）运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标，以及椭圆的a，b，c的关系，
解得a，b，进而得到椭圆的方程；
（Ⅱ）（i）设P（x ，y ），运用导数求得切线的斜率和方程，代入椭圆方程，运用韦达
0 0
定理，可得中点D的坐标，求得OD的方程，再令x=x ，可得y=﹣ ．进而得到定直线；
0
（ii）由直线l的方程为y=x x﹣y ，令x=0，可得G（0，﹣y ），运用三角形的面积公式，
0 0 0
可得S = |FG|•|x |= x •（ +y ），S = |PM|•|x ﹣ |，化简整理，再1+2x 2=t
1 0 0 0 2 0 0
（t≥1），整理可得t的二次方程，进而得到最大值及此时P的坐标．
【解答】解：（I）由题意可得e= = ，抛物线E：x2=2y的焦点F为（0， ），
即有b= ，a2﹣c2= ，
解得a=1，c= ，
可得椭圆的方程为x2+4y2=1；
（Ⅱ）（i）证明：设P（x ，y ），可得x 2=2y ，
0 0 0 0
由y= x2的导数为y′=x，即有切线的斜率为x ，
0
则切线的方程为y﹣y =x （x﹣x ），
0 0 0
可化为y=x x﹣y ，代入椭圆方程，
0 0
可得（1+4x 2）x2﹣8x y x+4y 2﹣1=0，
0 0 0 0
设A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
可得x +x = ，即有中点D（ ，﹣ ），
1 2
直线OD的方程为y=﹣ x，可令x=x ，可得y=﹣ ．
0
即有点M在定直线y=﹣ 上；
（ii）直线l的方程为y=x x﹣y ，令x=0，可得G（0，﹣y ），
0 0 0则S = |FG|•|x |= x •（ +y ）= x （1+x 2）；
1 0 0 0 0 0
S = |PM|•|x ﹣ |= （y + ）• = x • ，
2 0 0 0
则 = ，
令1+2x 2=t（t≥1），则 = =
0
= =2+ ﹣ =﹣（ ﹣ ）2+ ，
则当t=2，即x = 时， 取得最大值 ，
0
此时点P的坐标为（ ， ）．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标，考查
直线和抛物线斜的条件，以及直线方程的运用，考查三角形的面积的计算，以及化简整理
的运算能力，属于难题．参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；sxs123；翔宇老师；546278733@qq.com；于东；
双曲线；wfy814；wkl197822；zlzhan（排名不分先后）
菁优网
2016年6月13日
