2014 年普通高等学校招生全国统一考试 理科
（新课标卷二Ⅱ）
第Ⅰ卷
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.设集合M=｛0,1,2｝，N= ，则 =( )
A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝
2.设复数 ， 在复平面内的对应点关于虚轴对称，zxxk ，则 （ ）
A. - 5 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i
3.设向量a,b满足|a+b|= ，|a-b|= ，则ab = ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
4.钝角三角形ABC的面积是 ，AB=1，BC= ，则AC=( )
A. 5 B. C. 2 D. 1
5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良
的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空
气质量为优良的概率是（ ）
A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45
6.如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示1cm）,图中粗
线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm，
高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来
毛坯体积的比值为（ ）
A. B. C. D.
7.执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S= （ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
8.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9.设x,y满足约束条件 ，则 的最大值为
（ ）
A. 10 B. 8 C. 3 D. 210.设F为抛物线C: 的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐
标原点，则△OAB的面积为（ ）
A. B. C. D.
11.直三棱柱ABC-A B C 中，∠BCA=90°，M，N分别是A B ，A C 的中点，BC=CA=CC ，
1 1 1 1 1 1 1 1
则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
12.设函数 .若存在 的极值点 满足 ，则m的取
值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.
第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.本试题由http://gaokao.ccutu.com 整
理
二.填空题
13. 的展开式中， 的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)
14.函数 的最大值为_________.
15.已知偶函数 在 单调递减， .若 ，则 的取值范围是
__________.
16.设点M（ ,1），若在圆O: 上存在点N，使得zxxk∠OMN=45°，则 的取
值范围是________.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
已知数列 满足 =1， .
（Ⅰ）证明 是等比数列，并求 的通项公式；
（Ⅱ）证明： .
18. （本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD= ，求三棱锥E-ACD的体积.19. （本小题满分12分）
某地区2007年至2013年农村居民家庭纯 收
入y（单位：千元）的数据如下表：
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入
2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
y
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析 2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入
的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，
20. （本小题满分12分）
设 , 分别是椭圆C: 的左,右焦点，M是C上一点且 与x轴垂
直，直线 与C的另一个交点为N.
（Ⅰ）若直线MN的斜率为 ，求C的离心率；
（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且 ，求a,b.
21. （本小题满分12分）
已知函数 = zxxk
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）设 ，当 时， ,求 的最大值；
（Ⅲ）已知 ，估计ln2的近似值（精确到0.001）
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，有途高考网同按所做的第一题计
分，做答时请写清题号.
22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲
如图，P是 O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与
O相交于点 B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交
O于点E.证明：
（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD DE=2
23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴
为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为 ，
.zxxk
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线 垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参
数方程，确定D的坐标.
24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲
设函数 =
（Ⅰ）证明： 2；
（Ⅱ）若 ，求 的取值范围.
2014 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
一、 选择题
（1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）C （7）D
（ 8）D （9）B （10）D （11）C （12）C
二、 填空题
（13） （14）1 （15）（-1,3） （16）[-1，1]
三、解答题
（17）解：
（1）由 得
又 ，所以，{ } 是首项为 ，公比为3的等比数列。
= ，因此{ }的通项公式为 =
（2）由（1）知 =
因为当n 1时， 所以，
于是， =所以，
（18）解：
（1）连结BD交AC于点O,连结EO
因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点
又E为的PD的中点，所以EO PB
EO 平面AEC,PB 平面AEC，所以PB 平面AEC
（2）因为PA 平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB,AD,AP两两垂直
如图，以A为坐标原点， 的方向为x轴的正方向， 为单位长，建立空间直角坐标
系，则A—xyz,则D(0, ,0),则E(0, , ), =(0, , )
设B(m,0,0)(m＞0)，则C（m, ，0）
设n(x,y,z)为平面ACE的法向量，
则{ 即{
可取 =（ ,-1, ）
又 =（1,0,0）为平面DAE的法向量，
由题设 = ，即
= ，解得m=
因为E为PD的中点，所以三棱锥E-ACD的高为 ，三棱锥E-ACD的体积为
V= =
19解：
（1） 由所得数据计算得
= （1+2+3+4+5+6+7）=4，
= (2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3
=9+4+1+0+1+4+9=28
=(-3) （-1.4）+（-2） （-1）+（-1） （-0.7）+0 0.1+1 0.5+2 0.9+3
1.6=14，b= = =0.5
a= -b =4.3-0.5 4=2.3
所求回归方程为 =0.5t+2.3
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，b=0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，
平均每年增加0.5千元.
将2015年的年份代号t=9代入（1）中的回归方程，得
y=0.5×9+2.3=6.8
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元
（20）解：
（Ⅰ）根据c= 以及题设知M（c， ），2 =3ac
将 = - 代入2 =3ac，解得 = ， =-2（舍去）
故C的离心率为
（Ⅱ）由题意，原点O的 的中点，M ∥y轴，所以直线M 与y轴的交点D是线段M
的中点，故 =4，即
①
由 = 得 =
设N（x，y），由题意可知y<0,则 即
代入方程C，得 + =1 ②
将①以及c= 代入②得到 + =1
解得a=7，
a=7，
（21）解
（Ⅰ） + -2≥0，等号仅当x=0时成立，所以f（x）在（—∞，+∞）单调递增
（Ⅱ）g（x）=f(2x)-4bf(x)= - -4b( - )+(8b-4)x
(x)=2[ + + ]=2( + )( + )
（1） 当b 2时，g’(x) 0,等号仅当x=0时成立，所以g(x)在(- ,+ )单调递增，
而g(0)=0，所以对任意x>0,g(x)>0;
（2） 当b>2时，若x满足，2< <2b-2即 0<x<ln(b-1+ )时g’(x)<0,而
g（0）=0,因此当0<X ln(b-1+ )时，g(x)<0综上，b的最大值为2
（3） 由（2）知，g(ln )= -2 b+2(2b-1)ln2
当b=2时，g(ln )= -4 +6ln2>0,ln2> >0.6928
当b= +1时，ln(b-1+ )=ln
g(ln )= -2 +(3 +2)ln2<0
in2< <0.693
(22)解：
（1）连结 AB, AC由题设知 PA= PD,故 PAD= PDA
因为 PDA= DAC+ DCA
PAD= BAD+ PAB
DCA= PAB
所以 DAC= BAD,从而。。。。。。。
因此 =
（2）由切割线定理得 =PB*PC
因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB
由相交弦定理得AD*DE=BD*DC
所以，AD*DE=2
(23)解：
（1）C的普通方程为
+ =1(0 )
可得C的参数方程 （t为参数，0
（Ⅱ）设D（1+cost,sint).由（Ⅰ）知C是以G（1,0）为圆心，1为半径的上半圆。
因为C在点D处的切线与I垂直，所以直线GD与I的斜率相同。
tant= ，t=π/3.
故D的直角坐标为（1+cosπ/3，sinπ/3）,即（3/2, /2）.
(24)解：
（Ⅰ）由a>0,有f（x）=｜x+1/a｜+｜x-a｜≥｜x+1/a-(x-a)｜=1/a+a≥2.
所以f（x）≥2.
（Ⅱ）f（x）=｜3+1/a｜+｜3-a｜.
当a＞3时，f（3）=a+1/a，由f（3）＜5得3＜a＜
当0<a≤3时，f（3）=6-a+ ，f（3）<5得 <a≤3
综上所诉，a的取值范围为（ ）选择题填空题解析
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
（1）设集合 ， ，则
(A) (B) (C) (D)
解析：∵ ，∴
答案：D
（2）设复数 ， 在复平面内的对应点关于虚轴对称， ，则
(A) (B) (C) (D)
解析：∵ ，∴ ，∴
答案：A
（3）设向量 ， 满足 ， ，则
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5
解析：∵ ， ，∴ ……①， ……②．
由① ②得：
答案：A
（4）钝角三角形 的面积是 ， ， ，则
(A) 5 (B) (C) 2 (D) 1
解析：∵ ，即： ，∴ ，
即 或 ．又∵
∴ 或5，又∵ 为钝角三角形，∴ ，即：
答案：B
（5）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率
是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是
(A) 0.8 (B) 0.75 (C) 0.6 (D) 0.45
解析：此题为条件概率，所以答案：A
（6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），
图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件有一个底
面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则
切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为
(A) (B)
(C) (D)
解析：原来毛坯体积为： ，由三视图得，该零件由左侧底面半径为
2cm，高为4cm的圆柱和右侧底面半径为3cm，高为2cm的圆柱构成，所以该零件
的 体 积 为 ： ， 则 切 削 掉 部 分 的 体 积 为
，所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为
答案：C
（7）执行右面的程序框图，如果输入的 ， 均为2， 开始
则输出的
(A) 输入，
(B)
，
(C)
(D)
k 1
解析：输入的 ， 均为2． 是， ，
是 k t 否
， ； 是， ， M
M x 输出
， ， 否，输出 k
答案：D 结束
S M S
（8）设曲线 在点 处的切线方程
为 ，则 k k 1
(A) (B) (C) (D)
解析：∵ ，且在点 处的切线的斜率为2，∴ ，即
答案：D
（9）设 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为
(A) (B) (C) (D)
y l
2
解析：作出 ， 满足约束条件 表示
x3y1 0
的平面区域如图阴影部分：做出目标函数 ：
A
，∵ ，∴当 的截距
最小时， 有最大值。
C
∴当 经过 点时， 有最大值。 1
B
x
O 2
x y7 0
l l
3x y5 0
0 1由 得：
此时： 有最大值
答案：B
（10）设 为抛物线 ： 的焦点，过 且倾斜角为 的直线交 于 ， 两点，
为坐标原点，则 的面积为
(A) (B) (C) (D)
解析：∵ ，设 、 ，∴直线 的方程为 ，代入抛物
线方程得： ，∴ ，
由弦长公式得
由点到直线的距离公式得： 到直线 的距离
∴
答案：D
（11）直三棱柱 中， ， ， 分别是 ， 的中点，
，则 与 所成角的余弦值为
(A) (B) (C) (D)
P
C B
解析：如图所示，取 的中点 ，连结 、
∵ ， 分别是 ， 的中点，
A
∴四边形 为平行四边形，∴
∴所求角的余弦值等于 的余弦值
不妨令 ，则 C
1
B
1
，∴ N
M
A
答案：C
1
（12）设函数 ．若存在 的极值点 满足 ，则 的
取值范围是
(A) (B)
(C) (D)
解析：∵ ，令 得：
∴ ，又∵ ，∴即： ，∴ ，故：
∴ ，即： ，故： 或
答案：C
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13题～第21题为必考题，每个试题考生都必
须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13） 的展开式中， 的系数为 ，则 ．（用数字填写答案）
解析：∵ ，∴ ，即 ，
∴ ，解之：
答案：
（14）函数 的最大值为 ．
解析：∵
∴ 的最大值为1
答案：1
（15）已知偶函数 在 单调递减， ．若 ，则 的取值范围
是 ．
解析：∵ 是偶函数，∴ ，
又∵ 在 单调递减，∴ ，解之：
答案：
（16）设点 ，若在圆 ： 上存在点 ，使得 ，则 的取
值范围是 ． y
解析：由图可知点 所在直线 与圆 相切， M
又 ，由正弦定理得：
x
O
∴ ，即： N
又∵ ，∴ ，即 ，解之：
答案：
