文档内容
2017 年天津市高考数学试卷（文科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合 A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A∪B）
∩C=（ ）
A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，6}
2．（5分）设x R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
∈
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．
从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的 2支彩笔中含有红色彩笔
的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输
出N的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．35．（5分）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线
的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程
为（ ）
A． B． C． D．
6．（5 分）已知奇函数 f（x）在 R 上是增函数．若 a=﹣f（ ），b=f
（log 4.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（ ）
2
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
7．（5分）设函数 f（x）=2sin（ωx+φ），x R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（
∈
）=2，f（ ）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（ ）
A．ω= ，φ= B．ω= ，φ=﹣
C．ω= ，φ=﹣ D．ω= ，φ=
8．（5分）已知函数f（x）= ，设a R，若关于x的不等式f（x）
∈
≥| +a|在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．[﹣2，2] B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．（5分）已知a R，i为虚数单位，若 为实数，则a的值为 ．
∈
10．（5分）已知a R，设函数f（x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切
线为l，则l在y轴上
∈
的截距为 ．
11．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面
积为18，则这个球的体积为 ．12．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆
心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为 ．
13．（5分）若a，b R，ab＞0，则 的最小值为 ．
∈
14．（5 分）在△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ， =λ ﹣
（λ R），且 =﹣4，则λ的值为 ．
∈
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤．
15．（13 分）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知
asinA=4bsinB，ac= （a2﹣b2﹣c2）．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．
16．（13分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广
告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收
视人次如下表所示：
连续剧播放时长（分 广告播放时长（分 收视人次
钟） 钟） （万）
甲 70 5 60
乙 60 5 25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600分钟，广告的总
播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2
倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
17．（13 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，AD⊥平面 PDC，AD∥BC，
PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．
（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；
（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．18．（13分）已知{a }为等差数列，前 n项和为S （n N*），{b }是首项为2
n n n
的等比数列，且公比大于0，b
2
+b
3
=12，b
3
=a
4
﹣2a
1
，S
11
=∈11b
4
．
（Ⅰ）求{a }和{b }的通项公式；
n n
（Ⅱ）求数列{a b }的前n项和（n N*）．
2n n
19．（14分）设a，b R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，
∈
g（x）=exf（x）．
∈
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=ex的图象在公共点（x ，y ）处有相同的切线，
0 0
（i）求证：f（x）在x=x 处的导数等于0；
0
（ii）若关于x的不等式g（x）≤ex在区间[x ﹣1，x +1]上恒成立，求b的取值
0 0
范围．
20．（14分）已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点
为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为 ．
（I）求椭圆的离心率；
（II）设点Q在线段AE上，|FQ|= c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N
在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面
积为3c．
（i）求直线FP的斜率；
（ii）求椭圆的方程．2017 年天津市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）（2017•天津）设集合 A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，
4}，则（A∪B）∩C=（ ）
A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，6}
【分析】由并集定义先求出A∪B，再由交集定义能求出（A∪B）∩C．
【解答】解：∵集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，
∴（A∪B）∩C={1，2，4，6}∩{1，2，3，4}={1，2，4}．
故选：B．
【点评】本题考查并集和交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交
集和交集定义的合理运用．
2．（5分）（2017•天津）设x R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
∈
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即
可．
【解答】解：由2﹣x≥0得x≤2，
由|x﹣1|≤1得﹣1≤x﹣1≤1，
得0≤x≤2．
则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分条件，
故选：B
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件
的定义以及不等式的性质是解决本题的关键．
3．（5分）（2017•天津）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、
黄、蓝、绿、紫．从这 5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的 2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求出基本事件总数n= =10，再求出取出的2支彩笔中含有红色彩
笔包含的基本事件个数 m= =4，由此能求出取出的 2支彩笔中含有红色彩
笔的概率．
【解答】解：有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、
紫，
从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，
基本事件总数n= =10，
取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m= =4，
∴取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为p= = ．
故选：C．
【点评】本小题主要考查概率、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求
解能力和推理论证能力，是基础题．
4．（5分）（2017•天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 N
的值为19，则输出N的值为（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可．
【解答】解：第一次N=19，不能被3整除，N=19﹣1=18≤3不成立，
第二次N=18，18能被3整除，N= =6，N=6≤3不成立，
第三次N=6，能被3整除，N═ =2≤3成立，
输出N=2，
故选：C
【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决
本题的关键．
5．（5分）（2017•天津）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为
F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），
则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．【分析】利用三角形是正三角形，推出a，b关系，通过c=2，求解a，b，然后
等到双曲线的方程．
【解答】解：双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的
渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），
可得c=2， ，即 ， ，
解得a=1，b= ，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为： ．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
6．（5 分）（2017•天津）已知奇函数 f（x）在 R 上是增函数．若 a=﹣f（
），b=f（log 4.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（ ）
2
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
【分析】根据奇函数f（x）在R上是增函数，化简a、b、c，即可得出a，b，c
的大小．
【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，
∴a=﹣f（ ）=f（log 5），
2
b=f（log 4.1），
2
c=f（20.8），
又1＜20.8＜2＜log 4.1＜log 5，
2 2
∴f（20.8）＜f（log 4.1）＜f（log 5），
2 2
即c＜b＜a．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题．7．（5分）（2017•天津）设函数 f（x）=2sin（ωx+φ），x R，其中ω＞0，|
∈
φ|＜π．若f（ ）=2，f（ ）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（
）
A．ω= ，φ= B．ω= ，φ=﹣
C．ω= ，φ=﹣ D．ω= ，φ=
【分析】由题意求得 ，再由周期公式求得ω，最后由若f（ ）=2求得φ值．
【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得 ，
又f（ ）=2，f（ ）=0，得 ，
∴T=3π，则 ，即 ．
∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（ x+φ），
由f（ ）= ，得sin（φ+ ）=1．
∴φ+ = ，k Z．
∈
取k=0，得φ= ＜π．
∴ ，φ= ．
故选：A．
【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查 y=Asin（ωx+φ）型函
数的性质，是中档题．
8．（5分）（2017•天津）已知函数f（x）= ，设a R，若关于x
∈的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．[﹣2，2] B． C． D．
【分析】根据题意，作出函数f（x）的图象，令g（x）=| +a|，分析g（x）的
图象特点，将不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立转化为函数f（x）的图象在g
（x）上的上方或相交的问题，分析可得f（0）≥g（0），即2≥|a|，解可得a
的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）= 的图象如图：
令g（x）=| +a|，其图象与x轴相交与点（﹣2a，0），
在区间（﹣∞，﹣2a）上为减函数，在（﹣2a，+∞）为增函数，
若不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，则函数f（x）的图象在
g（x）上的上方或相交，
则必有f（0）≥g（0），
即2≥|a|，
解可得﹣2≤a≤2，
故选：A．
【点评】本题考查分段函数的应用，关键是作出函数 f（x）的图象，将函数的
恒成立问题转化为图象的上下位置关系．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．（5分）（2017•天津）已知a R，i为虚数单位，若 为实数，则a的值
∈
为 ﹣ 2 ．
【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简 ，再由复数为实数的
条件：虚部为0，解方程即可得到所求值．
【解答】解：a R，i为虚数单位，
= ∈ = = ﹣ i
由 为实数，
可得﹣ =0，
解得a=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数
的条件：虚部为0，考查运算能力，属于基础题．
10．（5分）（2017•天津）已知a R，设函数f（x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f
（1））处的切线为l，则l在y轴上 ∈ 的截距为 1 ．
【分析】求出函数的导数，然后求解切线斜率，求出切点坐标，然后求解切线
方程，推出l在y轴上的截距．
【解答】解：函数 f（x）=ax﹣lnx，可得 f′（x）=a﹣ ，切线的斜率为：
k=f′（1）=a﹣1，
切点坐标（1，a），切线方程l为：y﹣a=（a﹣1）（x﹣1），
l在y轴上的截距为：a+（a﹣1）（﹣1）=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查曲线的切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．11．（5分）（2017•天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个
正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ．
【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的
体积公式进行计算即可．
【解答】解：设正方体的棱长为a，
∵这个正方体的表面积为18，
∴6a2=18，
则a2=3，即a= ，
∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，
∴正方体的体对角线等于球的直径，
即 a=2R，
即R= ，
则球的体积V= π•（ ）3= ；
故答案为： ．
【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直
径，结合球的体积公式是解决本题的关键．
12．（5分）（2017•天津）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l
上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为
（ x + 1 ） 2 + =1 ．
【分析】根据题意可得F（﹣1，0），∠FAO=30°，OA= =1，由此求得
OA的值，可得圆心C的坐标以及圆的半径，从而求得圆C方程．
【解答】解：设抛物线 y2=4x的焦点为F（1，0），准线l：x=﹣1，∵点C在l
上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切与点A，∵∠FAC=120°，∴∠FAO=30°，∴OA= = =1，∴OA= ，∴A（0，
），如图所示：
∴ C （ ﹣ 1 ， ） ， 圆 的 半 径 为 CA=1 ， 故 要 求 的 圆 的 标 准 方 程 为
，
故答案为：（x+1）2+ =1．
【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，抛物线的简单几何性质，属于
中档题．
13．（5分）（2017•天津）若a，b R，ab＞0，则 的最小值为 4
∈
．
【分析】【方法一】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式
等号成立的条件是什么．
【方法二】将 拆成 + ，利用柯西不等式求出最小值．
【解答】解：【解法一】a，b R，ab＞0，
∈
∴ ≥=
=4ab+ ≥2 =4，
当且仅当 ，
即 ，
即a= ，b= 或a=﹣ ，b=﹣ 时取“=”；
∴上式的最小值为4．
【解法二】a，b R，ab＞0，
∈
∴ = + + + ≥4 =4，
当且仅当 ，
即 ，
即a= ，b= 或a=﹣ ，b=﹣ 时取“=”；
∴上式的最小值为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．
14．（5分）（2017•天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ，=λ ﹣ （λ R），且 =﹣4，则λ的值为 ．
∈
【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用 、 表示出 ，
再根据平面向量的数量积 列出方程求出λ的值．
【解答】解：如图所示，
△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，
=2 ，
∴ = +
= +
= + （ ﹣ ）
= + ，
又 =λ ﹣ （λ R），
∴ =（ +∈ ）•（λ ﹣ ）
=（ λ﹣ ） • ﹣ + λ
=（ λ﹣ ）×3×2×cos60°﹣ ×32+ λ×22=﹣4，
∴ λ=1，
解得λ= ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤．
15．（13分）（2017•天津）在△ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，
b，c．已知asinA=4bsinB，ac= （a2﹣b2﹣c2）．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理得 asinB=bsinA，结合 asinA=4bsinB，得 a=2b．再由
，得 ，代入余弦定理的推论可求 cosA
的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ，代入asinA=4bsinB，得sinB，进一步求得cosB．
利用倍角公式求sin2B，cos2B，展开两角差的正弦可得sin（2B﹣A）的值．
【解答】（Ⅰ）解：由 ，得asinB=bsinA，
又asinA=4bsinB，得4bsinB=asinA，
两式作比得： ，∴a=2b．
由 ，得 ，
由余弦定理，得 ；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得 ，代入asinA=4bsinB，得 ．
由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，
∴ ．
于是 ， ，
故 ．【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应
用，是中档题．
16．（13分）（2017•天津）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧
时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广
告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放时长（分 广告播放时长（分 收视人次
钟） 钟） （万）
甲 70 5 60
乙 60 5 25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600分钟，广告的总
播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2
倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
【分析】（Ⅰ）直接由题意结合图表列关于x，y所满足得不等式组，化简后即可
画出二元一次不等式所表示的平面区域；
（Ⅱ）写出总收视人次z=60x+25y．化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合
得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】（Ⅰ）解：由已知，x，y 满足的数学关系式为 ，即
．
该二元一次不等式组所表示的平面区域如图：（Ⅱ）解：设总收视人次为z万，则目标函数为z=60x+25y．
考虑z=60x+25y，将它变形为 ，这是斜率为 ，随z变化的一族
平行直线．
为直线在y轴上的截距，当 取得最大值时，z的值最大．
又∵x，y满足约束条件，
∴由图可知，当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时，截距 最大，即z最
大．
解方程组 ，得点M的坐标为（6，3）．
∴电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．
【点评】本题考查解得线性规划的应用，考查数学建模思想方法及数形结合的
解题思想方法，是中档题．
17．（13 分）（2017•天津）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，AD⊥平面 PDC，
AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．
（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；
（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）由已知AD∥BC，从而∠DAP或其补角即为异面直线 AP与BC所
成的角，由此能求出异面直线AP与BC所成角的余弦值．
（Ⅱ）由AD⊥平面PDC，得AD⊥PD，由BC∥AD，得PD⊥BC，再由PD⊥PB，
得到PD⊥平面PBC．
（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角
等于AB与平面PBC所成的角，由PD⊥平面PBC，得到∠DFP为直线DF和平面
PBC所成的角，由此能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）如图，由已知AD∥BC，
故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．
因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．
在Rt△PDA中，由已知，得 ，
故 ．
所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为 ．
证明：（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，直线PD 平面PDC，
所以AD⊥PD．
⊂
又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，
又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．
解：（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，
则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．
因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，
所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．
由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC﹣BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，
在Rt△DCF中，可得 ．
所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为 ．
【点评】本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平
面所成的角等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，
是中档题．
18．（13分）（2017•天津）已知{a }为等差数列，前 n项和为S （n N*），
n n
{b
n
}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b
2
+b
3
=12，b
3
=a
4
﹣2a
1
，S
11
=∈11b
4
．
（Ⅰ）求{a }和{b }的通项公式；
n n
（Ⅱ）求数列{a b }的前n项和（n N*）．
2n n
【分析】（Ⅰ）设等差数列{a }的公差为 d，等比数列{b }的公比为 q．通过
n ∈ n
b +b =12，求出q，得到 ．然后求出公差d，推出a =3n﹣2．
2 3 n
（Ⅱ）设数列{a b }的前n项和为T ，利用错位相减法，转化求解数列{a b }的
2n n n 2n n
前n项和即可．
【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{a }的公差为d，等比数列{b }的公比为q．由已
n n
知b +b =12，得 ，而b =2，所以 q2+q﹣6=0．又因为 q＞0，解得
2 3 1
q=2．所以， ．
由b =a ﹣2a ，可得3d﹣a =8．
3 4 1 1
由S =11b ，可得a +5d=16，联立①②，解得a =1，d=3，
11 4 1 1由此可得a =3n﹣2．
n
所以，{a }的通项公式为a =3n﹣2，{b }的通项公式为 ．
n n n
（ Ⅱ ） 解 ： 设 数 列 {a b } 的 前 n 项 和 为 T ， 由 a =6n﹣2 ， 有
2n n n 2n
，
，
上 述 两 式 相 减 ， 得 =
．
得 ．
所以，数列{a b }的前n项和为（3n﹣4）2n+2+16．
2n n
【点评】本题考查等差数列以及等比数列通项公式的求法，数列求和，考查转
化思想以及计算能力．
19．（14分）（2017•天津）设a，b R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a
（a﹣4）x+b，g（x）=exf（x）．
∈
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=ex的图象在公共点（x ，y ）处有相同的切线，
0 0
（i）求证：f（x）在x=x 处的导数等于0；
0
（ii）若关于x的不等式g（x）≤ex在区间[x ﹣1，x +1]上恒成立，求b的取值
0 0
范围．
【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点
对定义域分段，列表后可得f（x）的单调区间；
（Ⅱ）（i）求出 g（x）的导函数，由题意知 ，求解可得．得到f（x）在x=x 处的导数等于0；
0
（ii）由（I）知x =a．且f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单
0
调递减，故当x =a时，f（x）≤f（a）=1在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）
0
≤ex在[x ﹣1，x +1]上恒成立．由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a3
0 0
﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．构造函数t（x）=2x3﹣6x2+1，x [﹣1，1]，利用导数求
其值域可得b的范围．
∈
【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，可得f'（x）=3x2﹣12x﹣
3a（a﹣4）=3（x﹣a）（x﹣（4﹣a）），
令f'（x）=0，解得x=a，或x=4﹣a．由|a|≤1，得a＜4﹣a．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （﹣∞，a） （a，4﹣a） （4﹣a，
+∞）
f'（x） + ﹣ +
f（x） ↗ ↘ ↗
∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，a），（4﹣a，+∞），单调递减区间为
（a，4﹣a）；
（Ⅱ）（i）证明：∵g'（x）=ex（f（x）+f'（x）），由题意知 ，
∴ ，解得 ．
∴f（x）在x=x 处的导数等于0；
0
（ii）解：∵g（x）≤ex，x [x ﹣1，x +1]，由ex＞0，可得f（x）≤1．
0 0
又∵f（x ）=1，f'（x ）=0，
0 0 ∈
故x 为f（x）的极大值点，由（I）知x =a．
0 0
另一方面，由于|a|≤1，故a+1＜4﹣a，
由（Ⅰ）知f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，
故当x =a时，f（x）≤f（a）=1在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤ex在[x
0 0﹣1，x +1]上恒成立．
0
由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．
令t（x）=2x3﹣6x2+1，x [﹣1，1]，
∴t'（x）=6x2﹣12x，
∈
令t'（x）=0，解得x=2（舍去），或x=0．
∵t（﹣1）=﹣7，t（1）=﹣3，t（0）=1，故t（x）的值域为[﹣7，1]．
∴b的取值范围是[﹣7，1]．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用研究过曲线上某点
处的切线方程，训练了恒成立问题的求解方法，体现了数学转化思想方法，是
压轴题．
20．（14分）（2017•天津）已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣
c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为 ．
（I）求椭圆的离心率；
（II）设点Q在线段AE上，|FQ|= c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N
在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面
积为3c．
（i）求直线FP的斜率；
（ii）求椭圆的方程．
【分析】（Ⅰ）设椭圆的离心率为 e．通过 ．转化求解椭圆的离心
率．
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线 FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率
为 ．通过 a=2c，可得直线 AE 的方程为 ，求解点 Q 的坐标为
．利用|FQ|= ，求出m，然后求解直线FP的斜率．（ii）求出椭圆方程的表达式你，求出直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方
程联立通过 ，结合直线 PM 和 QN 都垂直于直线
FP．结合四边形PQNM的面积为3c，求解c，然后求椭圆的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的离心率为 e．由已知，可得 ．又由
b2=a2﹣c2，可得2c2+ac﹣a2=0，即2e2+e﹣1=0．又因为0＜e＜1，解得 ．
所以，椭圆的离心率为 ；
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线 FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率
为 ．
由（Ⅰ）知a=2c，可得直线AE的方程为 ，即x+2y﹣2c=0，与直线FP的
方程联立，可解得 ，即点Q的坐标为 ．
由已知|FQ|= ，有 ，整理得3m2﹣4m=0，所
以 ，即直线FP的斜率为 ．
（ii）解：由a=2c，可得 ，故椭圆方程可以表示为 ．
由（i）得直线 FP 的方程为 3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立 消去
y，整理得 7x2+6cx﹣13c2=0，解得 （舍去），或 x=c．因此可得点， 进 而 可 得 ， 所 以
．由已知，线段 PQ的长即为PM与QN这两条平行
直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP．
因为 QN⊥FP，所以 ，所以¡÷FQN 的面积为
，同理¡÷FPM的面积等于 ，由四边形 PQNM的面积为
3c，得 ，整理得c2=2c，又由c＞0，得c=2．
所以，椭圆的方程为 ．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考
查转化思想以及计算能力．
