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绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹
清楚
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试
卷上答题无效
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1. （ ）
A． B． C． D．
2.设集合 ， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，
请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，
则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面
将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．5.设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，
我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学 科&网给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知
道我的成绩．根据以上信息，则（ ）
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
8.执行右面的程序框图，如果输入的 ，则输出的 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
开始
输入a
S=0，K=1
否
K 6
是
S=S+aK
a=-a
K=K+1
输出S
开始
9.若双曲线 （ ， ）的一条渐近线被圆 所截得的弦长为2，则
的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
10.已知直三棱柱 中， ， ， ，则异面直线 与
所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11.若 是函数 的极值点，则 的极小值为（ ）
A. B. C. D.112.已知 是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.一批产品的二等品率为 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 次， 表示抽到的二
等品件数，则 ．
14.函数 （ ）的最大值是 ．
15.等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 ．
16.已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点 ．若 为 的中
点，则 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生
都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）
的内角 的对边分别为 ,已知 ．
(1)求
(2)若 , 面积为2,求
18.（12分）
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网，收获时各随机抽取了100 个网箱，测
量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：
频率/组距
频率/组距
0.068
0.040
0.046
0.034 0.044
0.032
0.024
0.020
0.014
0.012 0.020
0.010
0 25303540 45 50 55 60 65 70 0.008
0.004
箱产量/kg
0 35 40 45 50 55 60 65 70
旧养殖法 箱产量/kg
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
P（ ） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
19.（12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，
E是PD的中点.
（1）证明：直线 平面PAB
（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为 ，求二面角M-AB-D的余弦值
P
M E
A
D
B
C
20. （12分）
设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： 上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足
.
(1) 求点P的轨迹方程；
(2) 设点Q在直线x=-3上，且 .证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
21.（12分）
已知函数 且 .
（1）求a；（2）证明： 存在唯一的极大值点 ，且 .
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
．
（1）M为曲线 上的动点，点P在线段OM上，且满足 ,求点P的轨迹 的直角坐标
方程；
（2）设点A的极坐标为 ，点B在曲线 上，求 面积的最大值．
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知 ，证明：
（1） ；
（2） ．绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题答案
一、选择题
1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D
7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B
二、填空题
13. 1.96 14. 1 15. 16. 6
三、解答题
17.解：
（1）由题设及 ，故
上式两边平方，整理得
解得
（2）由 ，故
又
由余弦定理学 科&网及 得
所以b=2
18.解：
（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于 ” ， 表示事件“新养殖法的箱产量不低于 ”
由题意知旧养殖法的箱产量低于 的频率为
故 的估计值为0.62
新养殖法的箱产量不低于 的频率为
故 的估计值为0.66
因此，事件A的概率估计值为
（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表
箱产量 箱产量
旧养殖法 62 38
新养殖法 34 66
由于
故有 的把握认为箱产量与养殖方法有关．
（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于 的直方图面积为
，
箱产量低于 的直方图面积为
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为
．
19.解：
（1）取 中点 ，连结 ， ．
因为 为 的中点，所以 , ,由 得 ，又
所以 ．四边形 为平行四边形， ．
又 ， ，故
（2）由已知得 ,以A为坐标原点， 的方向为x轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直
角坐标系A-xyz,则
则 ， ， ， ，
, 则
因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而 是底面ABCD的法向量，所以
，
即（x-1）²+y²-z²=0
又M在棱PC上，学|科网设
由①，②得
所以M ，从而
设 是平面ABM的法向量，则
所以可取m=（0，- ，2）.于是
因此二面角M-AB-D的余弦值为
20.解（1）设P（x,y）,M（x,y）,设N（x,0）,
0 0 0
由 得
因为M（x,y）在C上，所以
0 0
因此点P的轨迹方程为
（2）由题意知F（-1,0）.设Q（-3，t）,P(m,n),则
，
由 得 ，又由（1）知 ，故
3+3m-tn=0
所以 ，即 .学.科网又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直
线l过C的左焦点F.
21.解：
（1） 的定义域为
设 ，则 等价于
因为
若a=1，则 .当0＜x＜1时， 单调递减；当x＞1时， ＞0， 单调递
增.所以x=1是 的极小值点，故
综上，a=1
（2）由（1）知
设当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递减，在
单调递增
又 ，所以 在 有唯一零点 x ，在 有唯一零点 1，且当
0
时， ；当 时， ，当 时， .
因为 ，所以x=x 是f(x)的唯一极大值点
0
由
由 得
因为x=x 是f(x)在（0,1）的最大值点，由 得
0
所以
22.解：
（1）设P的极坐标为 ，M的极坐标为 ，由题设知
由 得 的极坐标方程
因此 的直角坐标方程为
（2）设点B的极坐标为 ,由题设知
,于是△OAB面积当 时，S取得最大值
所以△OAB面积的最大值为
23.解：
（1）
（2）因为
所以 ，因此a+b≤2.
