2012年高考理科数学试题（天津卷）及参考答案_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_2008-2020年_地方卷_地方卷高考理科数学_天津理科数学08-19

2012年普通高等学校招生统一考试数学天津 （理科） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 7i （1）i是虚数单位，复数 = 3i （A） 2 + i （B）2 – i （C）-2 + i （D）-2 – i （2）设 则“ ”是“ 为偶函 R, 0 f(x) cos(x)(xR) 数”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分与不必要条件 （3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值 为-25时，输出x的值为 （A）-1 （B）1 （C）3 （D）9 （4）函数 在区间(0,1)内的零点个数是 f(x)  2x  x3 2 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 1 （5）在(2x2  )5的二项展开式中，x的系数为 x （A）10 （B）-10 （C）40 （D）-40 （6）在 中，内角A，B，C所对的边分别是 ，已知8b=5c，C=2B，则cosC= ABC a,b,c 7 7 （A） （B） 25 257 24 （C） （D） 25 25 （7）已知 为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足 ， ， ABC AP AB AQ  (1)AC R，若 ，则= （A）1 （B）1 2 2 2 （C）1 10 （D）32 2 2 2 （8）设 ，若直线 与圆 相切，则 m,nR (m1)x(n1)y2 0 (x1)2 (y1)2 1 m + n的取值范围是 （A） （B） [1 3,1 3] (,1 3][1 3,) （C） （D） [22 2,22 2] (,22 2][22 2,) 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校 对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所 学校，中学中抽取________所学校. （10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）， 则该几何体的体积为_________m3. （11）已知集合 集合 ， 且 则m =__________，n = __________. B {xR|(xm)(x2)0}, A B (1,n),  x  2pt2, （12）已知抛物线的参数方程为 （t为参数）,其中p>0，焦点为F，准线为 .  l y  2pt过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E. 若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p = _________. （13）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D. 过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3， 3 FB=1，EF= ，则线段CD的长为____________. 2 x2 1 （14）已知函数 的图象与函数 y  kx2 的图象恰有两个交点，则实数k的取 y  x1 值范围是_________. 三．解答题：本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）   已知函数 f(x) sin(2x )sin(2x )2cos2 x1,xR. 3 3 （Ⅰ）求函数 的最小正周期； f(x)   （Ⅱ）求函数 f(x)在区间[ , ]上的最大值和最小值. 4 4 （16）（本小题满分13分） 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性， 约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的 人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率； （Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； （Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 ，求随机变  X Y 量 的分布列与数学期望 .  E （17）（本小题满分13分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD， AC⊥AD， AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1. （Ⅰ）证明PC⊥AD；（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值； （Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面 直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长. （18）（本小题满分13分） 已知 是等差数列，其前n项和为S， 是等比数列，且 ， {a } n {b } a b  2,a b  27 n n 1 1 4 4 . S b 10 4 4 （Ⅰ）求数列 与 的通项公式； {a } {b } n n （Ⅱ）记 ， ，证明 （ T n  a n b 1 a n1 b 2   a 1 b n nN* T n 12  2a n 10b n nN* ）. （19）（本小题满分14分） 设椭圆 x2 y2 的左、右顶点分别为 ，点 在椭圆上且异于 两  1(ab0) a2 b2 点， 为坐标原点. 1 （Ⅰ）若直线 与 的斜率之积为 ，求椭圆的离心率； 2 （Ⅱ）若 ，证明直线 的斜率 满足 （20）（本小题满分14分） 已知函数 的最小值为0，其中 f(x)  xln(xa) a 0. （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）若对任意的 有 ≤ 成立，求实数 的最小值； x[0,), f(x) kx2 k n 2 （Ⅲ）证明 ln(2n1) 2 （ nN* ）. 2i1 i1试卷解析 【试卷总评】今年天津市高考理科数学试卷所涉及的考点较去年变化不大，试题难度较去 年有一定的下滑，着重考查学生的基础知识的掌握以及推导、运算和数形结合的能力。有 如下特点：1.2012年的数学试题考点与去年几乎相同，而仅有的几处不同的考点在2007- 2010年也相继考过，明细如下： 零点存在定理（小题）——2009年、2010年 线线垂直 ——2007年 错位相减法——2007年 ，解析几何之斜率问题（大题）。 2.2012年削弱了对数列的考察，小题不再涉及数列。而解答题18题是数列中极为传 统的 考法——求等差等比数列的通项公式与错位相减法;而在第20题的第三问继续考查数列不 等式的内容。 3.三角函数解答题在2011年考查了正切函数的性质和运算，而今年则回归了以往的考查方 式，考查了正余弦函数的性质。 4.加大了解析几何的难度，在考查题数不变的情况下，将直线和圆放在了选择压轴题的位 置，椭圆大题放在第数第二题(第19题)的位置。 5.函数大题难度与去年基本持平。 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 7i （1）i是虚数单位，复数 = 3i （A） 2 + i （B）2 – i （C）-2 + i （D）-2 – i R, （2）设 则“ ”是“ 为偶函数”的 0 f(x) cos(x)(xR) （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分与不必要条件（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值 为-25时，输出x的值为 （A）-1 （B）1 （C）3 （D）9 （4）函数 在区间(0,1)内的零点个数是 f(x)  2x  x3 2 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 1 （5）在(2x2  )5的二项展开式中，x的系数为 x （A）10 （B）-10 （C）40 （D）-40（6）在 中，内角A，B，C所对的边分别是 ，已知8b=5c，C=2B，则cosC= ABC a,b,c 7 7 （A） （B） 25 25 7 24 （C） （D） 25 25 （7）已知 为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足 ， ， ABC AP AB AQ  (1)AC R，若 ，则= （A）1 （B）1 2 2 2 （C）1 10 （D）32 2 2 2（8）设 ，若直线 与圆 相切，则 m,nR (m1)x(n1)y2 0 (x1)2 (y1)2 1 m + n的取值范围是 （A） （B） [1 3,1 3] (,1 3][1 3,) （C） （D） [22 2,22 2] (,22 2][22 2,) 应用. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校 对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所 学校，中学中抽取________所学校. （10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_________m3. （11）已知集合 集合 且 ， B {xR|(xm)(x2)0}, 则m =__________，n = __________. A B (1,n),  x  2pt2, （12）已知抛物线的参数方程为 （t为参数）,其中p>0，焦点为F，准线为 .  l y  2pt 过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E. 若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p = _________. 【答案】2 【解析】由抛物线的参数方程可知其普通方程为为等边三角形，E的横坐标为 的横坐标为3， 【考点定位】本题考查抛物线的方程、定义和其几何性质，考查学生的转化能力和计算能 力. （13）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作 D C 圆的切线与AC的延长线相交于点D. 过点C作BD的 A 平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3， F B 3 FB=1，EF= ，则线段CD的长为____________. E 2（14）已知函数 的图象与函数 的图象恰有两个交点，则实数k的取 值范围是_________. 三．解答题：本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）   已知函数 f(x) sin(2x )sin(2x )2cos2 x1,xR. 3 3 （Ⅰ）求函数 的最小正周期； f(x)   （Ⅱ）求函数 f(x)在区间[ , ]上的最大值和最小值. 4 4 （16）（本小题满分13分） 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性， 约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的 人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率； （Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 ，求随机变  X Y 量 的分布列与数学期望 .  E 【解析】依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为 ，去参加乙游戏的概率为 . 设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件 则 .（17）（本小题满分13分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD， AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1. （Ⅰ）证明PC⊥AD； （Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值； （Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面 直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长.【考点定位】本小题主要考查空间两条直线的位置关系、二面角、异面直线所成德角、直 线与平面垂直等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、 运算能力和推理论证能力.试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似， 但底面是非特殊的四边形，一直线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是第三问 中点E的位置是不确定的，需要学生根据已知条件进行确定，如此说来就有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好. （18）（本小题满分13分） 已知 是等差数列，其前n项和为S， 是等比数列，且 ， {a } n {b } a b  2,a b  27 n n 1 1 4 4 . S b 10 4 4 （Ⅰ）求数列 与 的通项公式； {a } {b } n n （Ⅱ）记 ， ，证明 （ T n  a n b 1 a n1 b 2   a 1 b n nN* T n 12  2a n 10b n nN* ）.（19）（本小题满分14分） 设椭圆 x2 y2 的左、右顶点分别为 ，点 在椭圆上且异于 两  1(ab0) a2 b2 点， 为坐标原点. 1 （Ⅰ）若直线 与 的斜率之积为 ，求椭圆的离心率； 2 （Ⅱ）若 ，证明直线 的斜率 满足（20）（本小题满分14分） 已知函数 的最小值为0，其中 f(x)  xln(xa) a 0. （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）若对任意的 有 ≤ 成立，求实数 的最小值； x[0,), f(x) kx2 kn 2 （Ⅲ）证明 ln(2n1) 2 （ nN* ）. 2i1 i1