文档内容
2015 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分
1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（ ）
A．（﹣1，3） B．（﹣1，0） C．（0，2） D．（2，3）
2．（5分）若为a实数，且 =3+i，则a=（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：
万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4．（5分） =（1，﹣1）， =（﹣1，2）则（2 + ） =（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
5．（5分）已知S 是等差数列{a }的前n项和，若a +a +a =3，则S =（ ）
n n 1 3 5 5
A．5 B．7 C．9 D．11
6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则
截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A． B． C． D．
7．（5分）已知三点A（1，0），B（0， ），C（2， ）则△ABC外接圆的
圆心到原点的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的
“更相减损术”．执行该程序框图，若输入 a，b分别为14，18，则输出的a=
（ ）
A．0 B．2 C．4 D．14
9．（5分）已知等比数列{a }满足a = ，a a =4（a ﹣1），则a =（ ）
n 1 3 5 4 2
A．2 B．1 C． D．
10．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）
A．36π B．64π C．144π D．256π
11．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着
边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x
的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
12．（5分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣ ，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成
立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞， ）∪（1，+∞） B．（ ，1）
C．（ ） D．（﹣∞，﹣ ，）
二、填空题
13．（3分）已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a= ．
14．（3分）若x，y满足约束条件 ，则z=2x+y的最大值为 ．15．（3分）已知双曲线过点 且渐近线方程为y=± x，则该双曲线的
标准方程是 ．
16．（3分）已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1
相切，则a= ．
三．解答题
17．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC
（Ⅰ）求 ．
（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．
18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B两地区分别随机调查了40
个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到 A地区用户满意度评分的频率
分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100）
频数 2 8 14 10 6
（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区
满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．
19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A B C D 中，AB=16，BC=10，AA =8，点E，
1 1 1 1 1
F分别在A B ，D C 上，A E=D F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，
1 1 1 1 1 1
交线围成一个正方形
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）
（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．
20．椭圆C： =1，（a＞b＞0）的离心率 ，点（2， ）在C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的
中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．
（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；
（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．四、选修4-1：几何证明选讲
22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于
M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．
（1）证明：EF∥BC；
（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2 ，求四边形EBCF的面积．
五、选修4-4：坐标系与参数方程
23．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C ： （t为参数，t≠0），
1
其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C ：
2
ρ=2sinθ，C ：ρ=2 cosθ．
3
（1）求C 与C 交点的直角坐标；
2 3
（2）若C 与C 相交于点A，C 与C 相交于点B，求|AB|的最大值．
1 2 1 3
六、选修4-5不等式选讲
24．（10分）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则 + ＞ + ；
（2） + ＞ + 是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2015 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分
1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（ ）
A．（﹣1，3） B．（﹣1，0） C．（0，2） D．（2，3）
【考点】1D：并集及其运算．
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【专题】5J：集合．
【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．
【解答】解：∵A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，
∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}，
故选：A．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．（5分）若为a实数，且 =3+i，则a=（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
【考点】A1：虚数单位i、复数．
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【专题】5N：数系的扩充和复数．
【分析】根据复数相等的条件进行求解即可．
【解答】解：由 ，得2+ai=（1+i）（3+i）=2+4i，
则a=4，
故选：D．
【点评】本题主要考查复数相等的应用，比较基础．
3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【考点】B8：频率分布直方图．
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【专题】5I：概率与统计．
【分析】A从图中明显看出 2008年二氧化硫排放量比 2007年的二氧化硫排放
量减少的最多，故A正确；
B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；
C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；
D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．
【解答】解：A从图中明显看出 2008年二氧化硫排放量比 2007年的二氧化硫
排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；
B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，
故B正确；
C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；
D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故 D错
误．
故选：D．
【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．
4．（5分） =（1，﹣1）， =（﹣1，2）则（2 + ） =（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．
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【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】利用向量的加法和数量积的坐标运算解答本题．
【解答】解：因为 =（1，﹣1）， =（﹣1，2）则（2 + ） =（1，0）•
（1，﹣1）=1；
故选：C．
【点评】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目．
5．（5分）已知S 是等差数列{a }的前n项和，若a +a +a =3，则S =（ ）
n n 1 3 5 5
A．5 B．7 C．9 D．11
【考点】85：等差数列的前n项和．
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【专题】35：转化思想；4A：数学模型法；54：等差数列与等比数列．
【分析】由等差数列{a }的性质，a +a +a =3=3a ，解得a ．再利用等差数列的
n 1 3 5 3 3
前n项和公式即可得出．
【解答】解：由等差数列{a }的性质，a +a +a =3=3a ，解得a =1．
n 1 3 5 3 3
则S = =5a =5．
5 3
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式，考查了推
理能力与计算能力，属于中档题．
6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则
截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A． B． C． D．
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
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【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥
的体积公式计算即可．
【解答】解：设正方体的棱长为 1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三
棱锥，
∴正方体切掉部分的体积为 ×1×1×1= ，
∴剩余部分体积为1﹣ = ，
∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ．
故选：D．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．
7．（5分）已知三点A（1，0），B（0， ），C（2， ）则△ABC外接圆的
圆心到原点的距离为（ ）
A． B． C． D．【考点】J1：圆的标准方程．
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【专题】5B：直线与圆．
【分析】利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即
可求出结论．
【解答】解：因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x=1上，
可设圆心P（1，p），由PA=PB得
|p|= ，
得p=
圆心坐标为P（1， ），
所以圆心到原点的距离|OP|= = = ，
故选：B．
【点评】本题主要考查圆性质及△ABC外接圆的性质，了解性质并灵运用是解
决本题的关键．
8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的
“更相减损术”．执行该程序框图，若输入 a，b分别为14，18，则输出的a=
（ ）A．0 B．2 C．4 D．14
【考点】EF：程序框图．
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【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=b=2时
不满足条件a≠b，输出a的值为2．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
a=14，b=18
满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=4
满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=10
满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=6
满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=2
满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=2
不满足条件a≠b，输出a的值为2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构程序框图，属于基础题．
9．（5分）已知等比数列{a }满足a = ，a a =4（a ﹣1），则a =（ ）
n 1 3 5 4 2A．2 B．1 C． D．
【考点】88：等比数列的通项公式．
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【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：设等比数列{a }的公比为q，
n
∵ ，a a =4（a ﹣1），
3 5 4
∴ =4 ，
化为q3=8，解得q=2
则a = = ．
2
故选：C．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．
10．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动
点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）
A．36π B．64π C．144π D．256π
【考点】LG：球的体积和表面积．
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【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，
利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．
【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣
ABC 的体积最大，设球 O 的半径为 R，此时 V =V = =
O﹣ABC C﹣AOB
=36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，
故选：C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点 C位于垂直于
面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．
11．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着
边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x
的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】HC：正切函数的图象．
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【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．
【解答】解：当0≤x≤ 时，BP=tanx，AP= = ，
此时f（x）= +tanx，0≤x≤ ，此时单调递增，当P在CD边上运动时， ≤x≤ 且x≠ 时，
如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣ =﹣ ，
∴OQ=﹣ ，
∴PD=AO﹣OQ=1+ ，PC=BO+OQ=1﹣ ，
∴PA+PB= ，
当x= 时，PA+PB=2 ，
当P在AD边上运动时， ≤x≤π，PA+PB= ﹣tanx，
由对称性可知函数f（x）关于x= 对称，
且f（ ）＞f（ ），且轨迹为非线型，
排除A，C，D，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤ 时的
解析式是解决本题的关键．
12．（5分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣ ，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞， ）∪（1，+∞） B．（ ，1）
C．（ ） D．（﹣∞，﹣ ，）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
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【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到
结论．
【解答】解：∵函数f（x）=ln（1+|x|）﹣ 为偶函数，
且在x≥0时，f（x）=ln（1+x）﹣ ，
导数为f′（x）= + ＞0，
即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，
∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），
即|x|＞|2x﹣1|，
平方得3x2﹣4x+1＜0，
解得： ＜x＜1，
所求x的取值范围是（ ，1）．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合
应用，运用偶函数的性质是解题的关键．
二、填空题
13．（3分）已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a= ﹣ 2 ．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．
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【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．
【分析】f（x）是图象过点（﹣1，4），从而该点坐标满足函数f（x）解析式，
从而将点（﹣1，4）带入函数f（x）解析式即可求出a．
【解答】解：根据条件得：4=﹣a+2；
∴a=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系，考查学生的计算能
力，比较基础．
14．（3分）若x，y满足约束条件 ，则z=2x+y的最大值为 8 ．
【考点】7C：简单线性规划．
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【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形
结合确定z的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由z=2x+y得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，
此时z最大．
由 ，解得 ，即A（3，2）
将A（3，2）的坐标代入目标函数z=2x+y，
得z=2×3+2=8．即z=2x+y的最大值为8．
故答案为：8．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形
结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
15．（3分）已知双曲线过点 且渐近线方程为y=± x，则该双曲线的
标准方程是 x 2 ﹣y 2 =1 ．
【考点】KB：双曲线的标准方程．
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【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设双曲线方程为y2﹣ x2=λ，代入点 ，求出λ，即可求出双曲
线的标准方程．
【解答】解：设双曲线方程为y2﹣ x2=λ，
代入点 ，可得3﹣ =λ，
∴λ=﹣1，
∴双曲线的标准方程是 x2﹣y2=1．
故答案为： x2﹣y2=1．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线
的方程是关键．16．（3分）已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1
相切，则a= 8 ．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
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【专题】26：开放型；53：导数的综合应用．
【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与
曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，
根据△=0得到a的值．
【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+ ，
曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，
则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．
由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，
故y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，
得ax2+ax+2=0，
又a≠0，两线相切有一切点，
所以有△=a2﹣8a=0，
解得a=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数
在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性
质是解题的关键．
三．解答题
17．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC
（Ⅰ）求 ．
（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．
【考点】HP：正弦定理．
菁优网版权所有【专题】58：解三角形．
【分析】（Ⅰ）由题意画出图形，再由正弦定理结合内角平分线定理得答案；
（Ⅱ）由∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），两边取正弦后展开两角和的正弦，再结合
（Ⅰ）中的结论得答案．
【解答】解：（Ⅰ）如图，
由正弦定理得：
，
∵AD平分∠BAC，BD=2DC，
∴ ；
（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°，
∴ ，
由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，
∴tan∠B= ，即∠B=30°．
【点评】本题考查了内角平分线的性质，考查了正弦定理的应用，是中档题．
18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B两地区分别随机调查了40
个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到 A地区用户满意度评分的频率
分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100）
频数 2 8 14 10 6
（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区
满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．
【考点】B8：频率分布直方图；CB：古典概型及其概率计算公式．
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【专题】5I：概率与统计．
【分析】（I）根据分布表的数据，画出频率直方图，求解即可．
（II）计算得出C 表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，C 表示事件：
A B
“B地区用户的满意度等级为不满意”，
P（C ），P（C ），即可判断不满意的情况．
A B
【解答】解：（Ⅰ）通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度
评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，
B 地区的用户满意度评分的比较集中，而A地区的用户满意度评分的比较分散．
（Ⅱ）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
记C 表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，C 表示事件：“B地区用
A B
户的满意度等级为不满意”，
由直方图得P（C ）=（0.01+0.02+0.03）×10=0.6
A
得P（C ）=（0.005+0.02）×10=0.25
B
∴A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
【点评】本题考查了频率直方图，频率表达运用，考查了阅读能力，属于中档
题．
19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A B C D 中，AB=16，BC=10，AA =8，点E，
1 1 1 1 1
F分别在A B ，D C 上，A E=D F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，
1 1 1 1 1 1
交线围成一个正方形
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）
（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LJ：平面的基本性质及推论．
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【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；
（Ⅱ）求出MH= =6，AH=10，HB=6，即可求平面a把该长方体分成的
两部分体积的比值．
【解答】解：（Ⅰ）交线围成的正方形EFGH如图所示；
（Ⅱ）作EM⊥AB，垂足为M，则AM=A E=4，EB =12，EM=AA =8．
1 1 1
因为EFGH为正方形，所以EH=EF=BC=10，
于是MH= =6，AH=10，HB=6．
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，
所以其体积的比值为 ．
【点评】本题考查平面与平面平行的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
20．椭圆C： =1，（a＞b＞0）的离心率 ，点（2， ）在C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的
中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．
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【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然
后得到椭圆的方程．（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x ，y ），B（x ，y ），M（x ，
1 1 2 2 M
y ），联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解K ，然后推出直线OM
M OM
的斜率与l的斜率的乘积为定值．
【解答】解：（1）椭圆C： =1，（a＞b＞0）的离心率 ，点（2，
）在C上，可得 ， ，解得a2=8，b2=4，所求椭圆C方
程为： ．
（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x ，y ），B（x ，y ），M（x ，
1 1 2 2 M
y ），
M
把直线y=kx+b代入 可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣8=0，
故x = = ，y =kx +b= ，
M M M
于是在OM的斜率为：K = = ，即K •k= ．
OM OM
∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解
决问题的能力．
21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．
（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；
（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．
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【专题】26：开放型；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；
（2）先求出函数的最大值，再构造函数（a）=lna+a﹣1，根据函数的单调性即
可求出a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）= ﹣a= ，
若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
若a＞0，则当x （0， ）时，f′（x）＞0，当x （ ，+∞）时，f′（x）＜0，
∈ ∈
所以f（x）在（0， ）上单调递增，在（ ，+∞）上单调递减，
（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，
f（x）在x= 取得最大值，最大值为f（ ）=﹣lna+a﹣1，
∵f（ ）＞2a﹣2，
∴lna+a﹣1＜0，
令g（a）=lna+a﹣1，
∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0，
∴当0＜a＜1时，g（a）＜0，
当a＞1时，g（a）＞0，
∴a的取值范围为（0，1）．
【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，
属于中档题．
四、选修4-1：几何证明选讲
22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于
M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．
（1）证明：EF∥BC；
（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2 ，求四边形EBCF的面积．【考点】N4：相似三角形的判定．
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【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、
F，利用相似的性质即得结论；
（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用
S ﹣S 计算即可．
△ABC △AEF
【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，
∴AD是∠CAB的角平分线，
又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，
∴AE=AF，∴AD⊥EF，
∴EF∥BC；
（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，
又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，
连结OE、OM，则OE⊥AE，
由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，
∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，
∵AE=2 ，∴AO=4，OE=2，
∵OM=OE=2，DM= MN= ，∴OD=1，
∴AD=5，AB= ，
∴四边形EBCF的面积为 × ﹣ × × = ．【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注
意解题方法的积累，属于中档题．
五、选修4-4：坐标系与参数方程
23．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C ： （t为参数，t≠0），
1
其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C ：
2
ρ=2sinθ，C ：ρ=2 cosθ．
3
（1）求C 与C 交点的直角坐标；
2 3
（2）若C 与C 相交于点A，C 与C 相交于点B，求|AB|的最大值．
1 2 1 3
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．
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【专题】5S：坐标系和参数方程．
【分析】（I）由曲线C ：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把 代入可得直
2
角坐标方程．同理由 C ：ρ=2 cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得 C
3 2
与C 交点的直角坐标．
3
（2）由曲线 C 的参数方程，消去参数 t，化为普通方程：y=xtanα，其中
1
0≤α≤π，α≠ ；α= 时，为 x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α
（ρ R，ρ≠0），利用|AB|= 即可得出．
【解答】解：（I）由曲线C ：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，
∈ 2
∴x2+y2=2y．
同理由C ：ρ=2 cosθ．可得直角坐标方程： ，
3联立 ，
解得 ， ，
∴C 与C 交点的直角坐标为（0，0）， ．
2 3
（2）曲线C ： （t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中
1
0≤α≤π，α≠ ；α= 时，为 x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α
（ρ R，ρ≠0），
∵A，B都在C 上，
∈ 1
∴A（2sinα，α），B ．
∴|AB|= =4 ，
当 时，|AB|取得最大值4．
【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、
曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与
计算能力，属于中档题．
六、选修4-5不等式选讲
24．（10分）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：
（1）若ab＞cd，则 + ＞ + ；
（2） + ＞ + 是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；R6：不等式的证明．
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【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．
【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件 a，b，c，d 均为正数，且
a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；（2）从两方面证，①若 + ＞ + ，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|
＜|c﹣d|，证得 + ＞ + ，注意运用不等式的性质，即可得证．
【解答】证明：（1）由于（ + ）2=a+b+2 ，
（ + ）2=c+d+2 ，
由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，
则 ＞ ，
即有（ + ）2＞（ + ）2，
则 + ＞ + ；
（2）①若 + ＞ + ，则（ + ）2＞（ + ）2，
即为a+b+2 ＞c+d+2 ，
由a+b=c+d，则ab＞cd，
于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，
（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，
即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；
②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，
即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，
由a+b=c+d，则ab＞cd，
则有（ + ）2＞（ + ）2．
综上可得， + ＞ + 是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．
【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充
要条件的判断，属于基础题．
