文档内容
2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{﹣4，1，3，5}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣4，1} B．{1，5} C．{3，5} D．{1，3}
2．（5分）若z＝1+2i+i3，则|z|＝（ ）
A．0 B．1 C． D．2
3．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以
该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角
形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点
共线的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y和温度x（单位：℃）的
关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（x，y）（i＝1，
i i
2，…，20）得到下面的散点图：
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ）
A．y＝a+bx B．y＝a+bx2 C．y＝a+bex D．y＝a+blnx
6．（5分）已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值
为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（5分）设函数f（x）＝cos（ x+ ）在[﹣ ， ]的图象大致如图，则f（x）的最小正
ω π π
周期为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）设alog 4＝2，则4﹣a＝（ ）
3
A． B． C． D．
9．（5分）执行如图的程序框图，则输出的n＝（ ）
A．17 B．19 C．21 D．23
10．（5分）设{a }是等比数列，且a +a +a ＝1，a +a +a ＝2，则a +a +a ＝（ ）
n 1 2 3 2 3 4 6 7 8A．12 B．24 C．30 D．32
11．（5分）设F ，F 是双曲线C：x2﹣ ＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上
1 2
且|OP|＝2，则△PF F 的面积为（ ）
1 2
A． B．3 C． D．2
12．（5分）已知A，B，C为球O的球面上的三个点， O 为△ABC的外接圆．若 O 的
1 1
面积为4 ，AB＝BC＝AC＝OO ，则球O的表面积为⊙（ ） ⊙
1
A．64 π B．48 C．36 D．32
二、填空题π ：本题共4小题，每π小题5分，共20分。 π π
13．（5分）若x，y满足约束条件 则z＝x+7y的最大值为 ．
14．（5分）设向量 ＝（1，﹣1）， ＝（m+1，2m﹣4），若 ⊥ ，则m＝ ．
15．（5分）曲线y＝lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ．
16．（5分）数列{a }满足a +（﹣1）na ＝3n﹣1，前16项和为540，则a ＝ ．
n n+2 n 1
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考
题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：
共60分。
17．（12分）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为 A，
B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取
加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有
甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为
20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产
品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂
家应选哪个分厂承接加工业务？
18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知B＝150°．
（1）若a＝ c，b＝2 ，求△ABC的面积；
（2）若sinA+ sinC＝ ，求C．
19．（12分）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角
形，P为DO上一点，∠APC＝90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；
（2）设DO＝ ，圆锥的侧面积为 ，求三棱锥P﹣ABC的体积．
π
20．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣a（x+2）．（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
21．（12分）已知A，B分别为椭圆E： +y2＝1（a＞1）的左、右顶点，G为E的上顶
点， • ＝8．P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交
点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为 （t为参数）．以
1
坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4 cos ﹣
2
16 sin +3＝0． ρ θ
（ρ1）当θ k＝1时，C
1
是什么曲线？
（2）当k＝4时，求C 与C 的公共点的直角坐标．
1 2
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数f（x）＝|3x+1|﹣2|x﹣1|．（1）画出y＝f（x）的图象；
（2）求不等式f（x）＞f（x+1）的解集．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{﹣4，1，3，5}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣4，1} B．{1，5} C．{3，5} D．{1，3}
【分析】求解一元二次不等式得到集合A，再由交集运算得答案．
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}＝（﹣1，4），B＝{﹣4，1，3，5}，
则A∩B＝{1，3}，
故选：D．
【点评】本题考查交集及其运算，考查一元二次不等式的解法，是基础题．
2．（5分）若z＝1+2i+i3，则|z|＝（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【分析】根据复数的定义化简原式，并通过模长公式求解即可．
【解答】解：z＝1+2i+i3＝1+2i﹣i＝1+i，
∴|z|＝ ＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的定义以及复数模的求法，是基础题．
3．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以
该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角
形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A． B． C． D．
【分析】先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论．
【解答】解：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为h′，
则依题意有： ，
因此有h′2﹣（ ）2＝ ah′ 4（ ）2﹣2（ ）﹣1＝0 ＝ （负值
⇒ ⇒
舍去）；
故选：C．
【点评】本题主要考查棱锥的几何性质，属于中档题．
4．（5分）设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点
共线的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据古典概率公式即可求出．
【解答】解：O，A，B，C，D中任取3点，共有 ＝10种，
其中共线为A，O，C和B，O，D两种，
故取到的3点共线的概率为P＝ ＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查了古典概型概率问题，属于基础题．
5．（5分）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y和温度x（单位：℃）的
关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（x，y）（i＝1，
i i
2，…，20）得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度
x的回归方程类型的是（ ）
A．y＝a+bx B．y＝a+bx2 C．y＝a+bex D．y＝a+blnx
【分析】直接由散点图结合给出的选项得答案．
【解答】解：由散点图可知，在10℃至40℃之间，发芽率y和温度x所对应的点（x，
y）在一段对数函数的曲线附近，
结合选项可知，y＝a+blnx可作为发芽率y和温度x的回归方程类型．
故选：D．
【点评】本题考查回归方程，考查学生的读图视图能力，是基础题．
6．（5分）已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值
为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由相交弦长|AB|和圆的半径r及圆心C到过D（1，2）的直线的距离d之间的
勾股关系，求出弦长的最小值，即圆心到直线的距离的最大时，而当直线与 CD垂直时
d最大，求出d的最大值，进而求出弦长的最小值．
【解答】解：由圆的方程可得圆心坐标C（3，0），半径r＝3；
设圆心到直线的距离为d，则过D（1，2）的直线与圆的相交弦长|AB|＝2 ，
当d最大时弦长|AB|最小，当直线与 CD所在的直线垂直时d最大，这时d＝|CD|＝
＝2 ，
所以最小的弦长|AB|＝2 ＝2，
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆相交的弦长公式，属于中档题．7．（5分）设函数f（x）＝cos（ x+ ）在[﹣ ， ]的图象大致如图，则f（x）的最小正
ω π π
周期为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由图象观察可得最小正周期小于 ，大于 ，排除A，D；再由f（﹣
）＝0，求得 ，对照选项B，C，代入计算，即可得到结论．
ω
【解答】解：由图象可得最小正周期小于 ﹣（﹣ ）＝ ，大于2×（
π
）＝ ，排除A，D；
由图象可得f（﹣ ）＝cos（﹣ + ）＝0，
ω
即为﹣ + ＝k + ，k Z，（*）
ω π ∈
若选B，即有 ＝ ＝ ，由﹣ × + ＝k + ，可得k不为整数，排除
ω π
B；
若选C，即有 ＝ ＝ ，由﹣ × + ＝k + ，可得k＝﹣1，成立．
ω π
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的图象和性质，主要是函数的周期的求法，运用排除法是迅
速解题的关键，属于中档题．
8．（5分）设alog 4＝2，则4﹣a＝（ ）
3A． B． C． D．
【分析】直接根据对数和指数的运算性质即可求出．
【解答】解：因为alog 4＝2，则log 4a＝2，则4a＝32＝9
3 3
则4﹣a＝ ＝ ，
故选：B．
【点评】本题考查了对数和指数的运算性质，属于基础题．
9．（5分）执行如图的程序框图，则输出的n＝（ ）
A．17 B．19 C．21 D．23
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的
值，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：n＝1，S＝0，
第一次执行循环体后，S＝1，不满足退出循环的条件，n＝3；
第二次执行循环体后，S＝4，不满足退出循环的条件，n＝5；
第三次执行循环体后，S＝9，不满足退出循环的条件，n＝7；
第四次执行循环体后，S＝16，不满足退出循环的条件，n＝9；
第五次执行循环体后，S＝25，不满足退出循环的条件，n＝11；
第六次执行循环体后，S＝36，不满足退出循环的条件，n＝13；
第七次执行循环体后，S＝49，不满足退出循环的条件，n＝15；
第八次执行循环体后，S＝64，不满足退出循环的条件，n＝17；第九次执行循环体后，S＝81，不满足退出循环的条件，n＝19；
第十次执行循环体后，S＝100，不满足退出循环的条件，n＝21；
第十一次执行循环体后，S＝121，满足退出循环的条件，
故输出n值为21，
故选：C．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得
出正确的结论，是基础题．
10．（5分）设{a }是等比数列，且a +a +a ＝1，a +a +a ＝2，则a +a +a ＝（ ）
n 1 2 3 2 3 4 6 7 8
A．12 B．24 C．30 D．32
【分析】根据等比数列的性质即可求出．
【解答】解：{a }是等比数列，且a +a +a ＝1，
n 1 2 3
则a +a +a ＝q（a +a +a ），即q＝2，
2 3 4 1 2 3
∴a +a +a ＝q5（a +a +a ）＝25×1＝32，
6 7 8 1 2 3
故选：D．
【点评】本题考查了等比数列的性质和通项公式，属于基础题．
11．（5分）设F ，F 是双曲线C：x2﹣ ＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上
1 2
且|OP|＝2，则△PF F 的面积为（ ）
1 2
A． B．3 C． D．2
【分析】先判断△PF F 为直角三角形，再根据双曲线的定义和直角三角形的性质即可
1 2
求出．
【解答】解：由题意可得a＝1，b＝ ，c＝2，
∴|F F |＝2c＝4，
1 2
∵|OP|＝2，
∴|OP|＝ |F F |，
1 2
∴△PF F 为直角三角形，
1 2
∴PF ⊥PF ，
1 2
∴|PF |2+|PF |2＝4c2＝16，
1 2
∵||PF |﹣|PF ||＝2a＝2，
1 2∴|PF |2+|PF |2﹣2|PF |•|PF |＝4，
1 2 1 2
∴|PF |•|PF |＝6，
1 2
∴△PF F 的面积为S＝ |PF |•|PF |＝3，
1 2 1 2
故选：B．
【点评】本题考查了双曲线的性质，直角三角形的性质，双曲线的定义，三角形的面积，
属于中档题．
12．（5分）已知A，B，C为球O的球面上的三个点， O 为△ABC的外接圆．若 O 的
1 1
面积为4 ，AB＝BC＝AC＝OO ，则球O的表面积为⊙（ ） ⊙
1
A．64 π B．48 C．36 D．32
【分析π】画出图形，利用已知π条件求出OO
1
，然后求π解球的半径，即可求π解球的表面积．
【解答】解：由题意可知图形如图： O 的面积为4 ，可得O A＝2，则
1 1
⊙ π
AO ＝ABsin60°， ，
1
∴AB＝BC＝AC＝OO ＝2 ，
1
外接球的半径为：R＝ ＝4，
球O的表面积：4× ×42＝64 ．
故选：A． π π
【点评】本题考查球的内接体问题，球的表面积的求法，求解球的半径是解题的关键．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）若x，y满足约束条件 则z＝x+7y的最大值为 1 ．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．
【解答】解：x，y满足约束条件 ，
不等式组表示的平面区域如图所示，
由 ，可得A（1，0）时，目标函数z＝x+7y，可得y＝ x+ ，
当直线y＝ x+ 过点A时，在y轴上截距最大，
此时z取得最大值：1+7×0＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
14．（5分）设向量 ＝（1，﹣1）， ＝（m+1，2m﹣4），若 ⊥ ，则m＝ 5 ．
【分析】根据向量垂直的条件可得关于m的方程，解之可得结果．
【解答】解：向量 ＝（1，﹣1）， ＝（m+1，2m﹣4），若 ⊥ ，
则 • ＝m+1﹣（2m﹣4）＝﹣m+5＝0，
则m＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了向量的垂直的条件和向量数量积的运算，属于基础题．
15．（5分）曲线y＝lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 y ＝ 2 x ．
【分析】求得函数y＝lnx+x+1的导数，设切点为（m，n），可得切线的斜率，解方程
可得切点，进而得到所求切线的方程．【解答】解：y＝lnx+x+1的导数为y′＝ +1，
设切点为（m，n），可得k＝1+ ＝2，
解得m＝1，即有切点（1，2），
则切线的方程为y﹣2＝2（x﹣1），即y＝2x，
故答案为：y＝2x．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和
运算能力，属于基础题．
16．（5分）数列{a }满足a +（﹣1）na ＝3n﹣1，前16项和为540，则a ＝ 7 ．
n n+2 n 1
【分析】在已知数列递推式中，分别取n为奇数与偶数，可得a
n
﹣a
n﹣2
＝3（n﹣2）﹣1
与a +a ＝3n﹣1，利用累加法得到n为奇数时a 与a 的关系，求出偶数项的和，然后
n+2 n n 1
列式求解a ．
1
【解答】解：由a +（﹣1）na ＝3n﹣1，
n+2 n
当n为奇数时，有a ﹣a ＝3n﹣1，
n+2 n
可得a
n
﹣a
n﹣2
＝3（n﹣2）﹣1，
…
a ﹣a ＝3•1﹣1，
3 1
累加可得a ﹣a ＝3[1+3+…+（n﹣2）]﹣
n 1
＝3• ＝ ；
当n为偶数时，a +a ＝3n﹣1，
n+2 n
可得a +a ＝5，a +a ＝17，a +a ＝29，a +a ＝41．
4 2 8 6 12 10 16 14
可得a +a +…+a ＝92．
2 4 16
∴a +a +…+a ＝448．
1 3 15
∴ ＝448，
∴8a ＝56，即a ＝7．
1 1
故答案为：7．
【点评】本题考查数列递推式，考查等差数列的前n项和，考查运算求解能力，是中档
题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考
题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：
共60分。
17．（12分）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为 A，
B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取
加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有
甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为
20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产
品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂
家应选哪个分厂承接加工业务？
【分析】（1）根据表格数据得到甲乙A级品的频数分别为40，28，即可求得相应频率；
（2）根据所给数据分别求出甲乙的平均利润即可．
【解答】解：（1）由表格可得，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的频数为40，故
频率为 ＝0.4，
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的频数为28，故频率为 ＝0.28，
故甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率分别是0.4，0.28；
（2）由表格可知甲分厂加工四个等级的频率分别为0.4，0.2，0.2，0.2，
故其平均利润为（90﹣25）×0.4+（50﹣25）×0.2+（20﹣25）×0.2+（﹣50﹣25）×0.2＝
15（元）；
同理乙分厂加工四个等级的频率分别为0.28，0.17，0.34，0.21，
故其平均利润为（90﹣20）×0.28+（50﹣20）×0.17+（20﹣20）×0.34+（﹣50﹣20）×0.21＝10（元）；
因为15＞10，所以选择甲分厂承接更好．
【点评】本题考查频率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中
档题．
18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知B＝150°．
（1）若a＝ c，b＝2 ，求△ABC的面积；
（2）若sinA+ sinC＝ ，求C．
【分析】（1）根据题意，B＝150°，通过余弦定理，即可求得c＝2，a＝2 ，进而通
过三角形面积公式 ＝ ．
（2）通过三角形三边和为180°，将A＝180°﹣150°﹣C代入sinA+ sinC＝ ，根据
C的范围，即可求得C＝15°．
【解答】解：（1）△ABC中，B＝150°，a＝ c，b＝2 ，
cosB＝ ＝ ＝ ，
∴c＝2（负值舍去），a＝2 ，
∴ ＝ ．
（2）sinA+ sinC＝ ，
即sin（180°﹣150°﹣C）+ ＝ ，
化简得 ＝ ，
sin（C+30°）＝ ，
∵0°＜C＜30°，
∴30°＜C+30°＜60°，
∴C+30°＝45°，
∴C＝15°．
【点评】本题主要考查解三角形中余弦定理的应用，结合三角恒等变换中辅助角公式的应用，属于基础题．
19．（12分）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角
形，P为DO上一点，∠APC＝90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；
（2）设DO＝ ，圆锥的侧面积为 ，求三棱锥P﹣ABC的体积．
π
【分析】（1）首先利用三角形的全等的应用求出AP⊥BP，CP⊥BP，进一步求出二面
角的平面角为直角，进一步求出结论．
（2）利用锥体的体积公式和圆锥的侧面积公式的应用及勾股定理的应用求出结果．
【解答】解：（1）连接OA，OB，OC，△ABC是底面的内接正三角形，
所以AB＝BC＝AC．
O是圆锥底面的圆心，所以：OA＝OB＝OC，
所以AP＝BP＝CP＝OA2+OP2＝OB2+OP2＝OC2+OP2，
所以△APB≌△BPC≌△APC，
由于∠APC＝90°，
所以∠APB＝∠BPC＝90°，
所以AP⊥BP，CP⊥BP，
由于AP∩CP＝P，
所以BP⊥平面APC，
由于BP 平面PAB，
所以：平⊂面PAB⊥平面PAC．
（2）设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，
所以 ．
由于圆锥的侧面积为 ，
π所以 ，整理得（r2+3）（r2﹣1）＝0，
解得r＝1．
所以AB＝ ＝ ．
由于AP2+BP2＝AB2，解得
则： ＝ ．
【点评】本题考查的知识要点：面面垂直的判定和性质的应用，几何体的体积公式的应
用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．
20．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣a（x+2）．
（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
【分析】（1）当a＝1时，f′（x）＝ex﹣1，求出导函数的零点，由导函数的零点对定
义域分段，再由导函数在各区间段内的符号求得原函数的单调性；
（2）当a≤0时，f′（x）＝ex﹣a＞0恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，不
合题意；当a＞0时，利用导数可得函数单调性，得到函数极值，结合题意由极小值小
于0即可求得a的取值范围．
【解答】解：由题意，f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），且f′（x）＝ex﹣a．
（1）当a＝1时，f′（x）＝ex﹣1，令f′（x）＝0，解得x＝0．
∴当x （﹣∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x （∈0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴f（∈x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
（2）当a≤0时，f′（x）＝ex﹣a＞0恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，不
合题意；当a＞0时，令f′（x）＝0，解得x＝lna，
当x （﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴f（∈x）的极小值也是最小值为f（lna）＝a﹣a（lna+2）＝﹣a（1+lna）．
又当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→+∞．
∴要使f（x）有两个零点，只要f（lna）＜0即可，
则1+lna＞0，可得a＞ ．
综上，若f（x）有两个零点，则a的取值范围是（ ，+∞）．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求极值，考查利用函数
零点的个数求参数的取值范围，是中档题．
21．（12分）已知A，B分别为椭圆E： +y2＝1（a＞1）的左、右顶点，G为E的上顶
点， • ＝8．P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交
点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点．
【分析】（1）根据椭圆的几何性质，可写出A、B和G的坐标，再结合平面向量的坐标
运算列出关于a的方程，解之即可；
（2）设C（x ，y ），D（x ，y ），P（6，t），然后分两类讨论： t≠0，设直线
1 1 2 2
CD的方程为x＝my+n，写出直线 PA和PB的方程后，消去 t可得3①y （x ﹣3）＝y
1 2 2
（ x +3 ） ， 结 合 ， 消 去 x ﹣ 3 ， 可 得
1 2
，然后联立直线CD和椭圆的方程，消
去x，写出韦达定理，并将其代入上式化简整理得关于m和n的恒等式，可解得n＝
或﹣3（舍），从而得直线CD过定点（ ，0）； 若t＝0，则直线CD的方程为y＝
②0，只需验证直线CD是否经过点（ ，0）即可．
【解答】解：（1）由题设得，A（﹣a，0），B （a，0），G（0，1），则
， ，
由 得a2﹣1＝8，即a＝3，
所以E的方程为 ．
（2）设C（x ，y ），D（x ，y ），P（6，t），
1 1 2 2
若t≠0，设直线CD的方程为x＝my+n，由题可知，﹣3＜n＜3，
由于直线PA的方程为 ，所以 ，同理可得 ，
于是有3y （x ﹣3）＝y （x +3） ．
1 2 2 1
①
由于 ，所以 ，
将 其 代 入 式 ， 消 去 x ﹣ 3 ， 可 得 27y y ＝ ﹣ （ x +3 ） （ x +3 ） ， 即
2 1 2 1 2
①
，
②
联立 得，（m2+9）y2+2mny+n2﹣9＝0，
所以 ， ，
代入 式得（27+m2）（n2﹣9）﹣2m（n+3）mn+（n+3）2（m2+9）＝0，
②
解得n＝ 或﹣3（因为﹣3＜n＜3，所以舍﹣3），
故直线CD的方程为 ，即直线CD过定点（ ，0）．
若t＝0，则直线CD的方程为y＝0，也过点（ ，0）．
综上所述，直线CD过定点（ ，0）．【点评】本题考查椭圆方程的求法、直线与椭圆的位置关系中的定点问题，涉及分类讨
论的思想，有一定的计算量，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为 （t为参数）．以
1
坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4 cos ﹣
2
16 sin +3＝0． ρ θ
（ρ1）当θ k＝1时，C
1
是什么曲线？
（2）当k＝4时，求C 与C 的公共点的直角坐标．
1 2
【分析】（1）当k＝1时，曲线C 的参数方程为 ，（t为参数），利用平方关
1
系消去参数t，可得x2+y2＝1，故C 是以原点为圆心，以1为半径的圆；
1
（2）当k＝4时，曲线C 的参数方程为 ，（t为参数），消去参数t，可得
1
＝1，由4 cos ﹣16 sin +3＝0，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得4x﹣
ρ θ ρ θ
16y+3＝0．联立方程组即可求得C 与C 的公共点的直角坐标为（ ）．
1 2
【解答】解：（1）当k＝1时，曲线C 的参数方程为 ，（t为参数），
1
消去参数t，可得x2+y2＝1，
故C 是以原点为圆心，以1为半径的圆；
1
（2）法一：当k＝4时，C ： ，消去t得到C 的直角坐标方程为 ＝
1 11，
C 的极坐标方程为4 cos ﹣16 sin +3＝0可得C 的直角坐标方程为4x﹣16y+3＝0，
2 2
ρ θ ρ θ
，解得 ．
∴C 与C 的公共点的直角坐标为（ ）．
1 2
法二：当k＝4时，曲线C 的参数方程为 ，（t为参数），
1
两式作差可得x﹣y＝cos4t﹣sin4t＝cos2t﹣sin2t＝2cos2t﹣1，
∴ ，得 ，
整理得：（x﹣y）2﹣2（x+y）+1＝0（0≤x≤1，0≤y≤1）．
由4 cos ﹣16 sin +3＝0，又x＝ cos ，y＝ sin ，
∴4xρ﹣16θy+3＝ρ0．θ ρ θ ρ θ
联立 ，解得 （舍），或 ．
∴C 与C 的公共点的直角坐标为（ ）．
1 2
【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，
是中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数f（x）＝|3x+1|﹣2|x﹣1|．
（1）画出y＝f（x）的图象；
（2）求不等式f（x）＞f（x+1）的解集．【分析】（1）将函数零点分段，即可作出图象；
（2）由于f（x+1）是函数f（x）向左平移了一个1单位，作出图象可得答案；
【解答】解：函数f（x）＝|3x+1|﹣2|x﹣1|＝ ，
图象如图所示
（2）由于f（x+1）的图象是函数f（x）的图象向左平移了一个1单位所得，（如图所
示）直线y＝5x﹣1向左平移一个单位后表示为y＝5（x+1）﹣1＝5x+4，
联立 ，解得横坐标为x＝ ，
∴不等式f（x）＞f（x+1）的解集为{x|x }．
【点评】本题考查了绝对值函数的解法，分段作出图象是解题的关键．属于基础题．
