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2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分） =（ ）
A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i
2．（5分）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（
）
A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5}
3．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层
红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7层
塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔
的顶层共有灯（ ）
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的
三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积
为（ ）
A．90π B．63π C．42π D．36π5．（5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最小值是
（ ）
A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9
6．（5分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1
人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师
说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙
看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．
根据以上信息，则（ ）
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
9．（5分）若双曲线 C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣
2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A B C 中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC =1，则
1 1 1 1
异面直线AB 与BC 所成角的余弦值为（ ）
1 1
A． B． C． D．
11．（5分）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则f（x）的极
小值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．1
12．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（ + ）的最小值是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有
放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则DX= ．
14．（5分）函数f（x）=sin2x+ cosx﹣ （x [0， ]）的最大值是 ．
∈
15．（5分）等差数列{a }的前n项和为S ，a =3，S =10，则 = ．
n n 3 4
16．（5分）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交
y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|= ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～
21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23题为选考题，考生根
据要求作答．（一）必考题：共60分。
17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）
=8sin2 ．
（1）求cosB；
（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．
18．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收
获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频
率分布直方图如图：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低
于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养
殖方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值
（精确到0.01）．
附：
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
K2= ．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．
（1）证明：直线CE∥平面PAB；
（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣
AB﹣D的余弦值．
20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C： +y2=1上，过M作x轴的
垂线，垂足为N，点P满足 = ．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线x=﹣3上，且 • =1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l
过C的左焦点F．
21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．（1）求a；
（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x ，且e﹣2＜f（x ）＜2﹣2．
0 0
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，
则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcosθ=4．
1
（1）M为曲线C 上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点
1
P的轨迹C 的直角坐标方程；
2
（2）设点A的极坐标为（2， ），点B在曲线C 上，求△OAB面积的最大值．
2
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知a＞0，b＞0，a3+b3=2．证明：
（1）（a+b）（a5+b5）≥4；
（2）a+b≤2．2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分） =（ ）
A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i
【考点】A5：复数的运算．
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【专题】11：计算题．
【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位 i的幂运算性
质，求出结果．
【解答】解： = = =2﹣i，
故选：D．
【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i的幂运算性质，两
个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．
2．（5分）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（
）
A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5}
【考点】1E：交集及其运算．
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【专题】34：方程思想；4O：定义法；5J：集合．
【分析】由交集的定义可得1 A且1 B，代入二次方程，求得m，再解二次方
程可得集合B．
∈ ∈
【解答】解：集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．
若A∩B={1}，则1 A且1 B，
∈ ∈可得1﹣4+m=0，解得m=3，
即有B={x|x2﹣4x+3=0}={1，3}．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法，
运用定义法是解题的关键，属于基础题．
3．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层
红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7层
塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔
的顶层共有灯（ ）
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
【考点】89：等比数列的前n项和．
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【专题】34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．
【分析】设塔顶的a 盏灯，由题意{a }是公比为2的等比数列，利用等比数列
1 n
前n项和公式列出方程，能求出结果．
【解答】解：设塔顶的a 盏灯，
1
由题意{a }是公比为2的等比数列，
n
∴S = =381，
7
解得a =3．
1
故选：B．
【点评】本题考查等比数列的首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注
意等比数列的性质的合理运用．
4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的
三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积
为（ ）A．90π B．63π C．42π D．36π
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
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【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．
【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6的圆柱的一
半，即可求出几何体的体积．
【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6的圆柱
的一半，
V=π•32×10﹣ •π•32×6=63π，
故选：B．
【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．（5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最小值是（ ）
A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9
【考点】7C：简单线性规划．
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【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小
值即可．
【解答】解：x、y满足约束条件 的可行域如图：
z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值，
由 解得A（﹣6，﹣3），
则z=2x+y 的最小值是：﹣15．
故选：A．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．
6．（5分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1
人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．
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【专题】11：计算题；49：综合法；5O：排列组合．
【分析】把工作分成3组，然后安排工作方式即可．【解答】解：4项工作分成3组，可得： =6，
安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，
可得：6× =36种．
故选：D．
【点评】本题考查排列组合的实际应用，注意分组方法以及排列方法的区别，
考查计算能力．
7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师
说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙
看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．
根据以上信息，则（ ）
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
【考点】F4：进行简单的合情推理．
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【专题】2A：探究型；35：转化思想；48：分析法；5M：推理和证明．
【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出
正确答案
【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，
甲不知自己的成绩
→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会
知道自己的成绩）
→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩
→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，
给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，
则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙
看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道
自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲
丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了
故选：D．
【点评】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师
所说及最后甲说话，属于中档题．
8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】EF：程序框图．
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【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．
【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，K值，当K=7时，程序终
止即可得到结论．
【解答】解：执行程序框图，有S=0，K=1，a=﹣1，代入循环，
第一次满足循环，S=﹣1，a=1，K=2；满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，K=3；
满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，K=4；
满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，K=5；
满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，K=6；
满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，K=7；
K≤6不成立，退出循环输出S的值为3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础．
9．（5分）若双曲线 C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣
2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【考点】KC：双曲线的性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性
质与方程．
【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲
线的离心率即可．
【解答】解：双曲线 C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：
bx+ay=0，
圆（x﹣2）2+y2=4的圆心（2，0），半径为：2，
双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得
的弦长为2，
可得圆心到直线的距离为： = ，解得： ，可得e2=4，即e=2．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力．
10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A B C 中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC =1，则
1 1 1 1
异面直线AB 与BC 所成角的余弦值为（ ）
1 1
A． B． C． D．
【考点】LM：异面直线及其所成的角．
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【专题】31：数形结合；4O：定义法；5G：空间角．
【分析】【解法一】设M、N、P分别为AB，BB 和B C 的中点，得出AB 、BC
1 1 1 1 1
夹角为MN和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出 AC、
MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．
【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁．
【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB 和B C 的中点，
1 1 1
则AB 、BC 夹角为MN和NP夹角或其补角
1 1
（因异面直线所成角为（0， ]），
可知MN= AB = ，
1
NP= BC = ；
1
作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；
∵PQ=1，MQ= AC，
△ABC中，由余弦定理得
AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC
=4+1﹣2×2×1×（﹣ ）
=7，∴AC= ，
∴MQ= ；
在△MQP中，MP= = ；
在△PMN中，由余弦定理得
cos∠MNP= = =﹣ ；
又异面直线所成角的范围是（0， ]，
∴AB 与BC 所成角的余弦值为 ．
1 1
【解法二】如图所示，
补成四棱柱ABCD﹣A B C D ，求∠BC D即可；
1 1 1 1 1
BC = ，BD= = ，
1
C D= ，
1
∴ +BD2= ，
∴∠DBC =90°，
1
∴cos∠BC D= = ．
1
故选：C．【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间
中的平行关系应用问题，是中档题．
11．（5分）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则f（x）的极
小值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．1
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求
解函数的极小值即可．
【解答】解：函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1，
可得f′（x）=（2x+a）ex﹣1+（x2+ax﹣1）ex﹣1，
x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，
可得：f′（﹣2）=（﹣4+a）e﹣3+（4﹣2a﹣1）e﹣3=0，即﹣4+a+（3﹣2a）=0．
解得a=﹣1．
可得f′（x）=（2x﹣1）ex﹣1+（x2﹣x﹣1）ex﹣1，
=（x2+x﹣2）ex﹣1，函数的极值点为：x=﹣2，x=1，
当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x （﹣2，1）时，函数是减
函数，
∈
x=1时，函数取得极小值：f（1）=（12﹣1﹣1）e1﹣1=﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力．
12．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则
•（ + ）的最小值是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．
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【专题】31：数形结合；4R：转化法；5A：平面向量及应用．
【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的
公式进行计算即可．
【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，
则A（0， ），B（﹣1，0），C（1，0），
设P（x，y），则 =（﹣x， ﹣y）， =（﹣1﹣x，﹣y）， =（1﹣x，﹣
y），
则 •（ + ）=2x2﹣2 y+2y2=2[x2+（y﹣ ）2﹣ ]
∴当x=0，y= 时，取得最小值2×（﹣ ）=﹣ ，
故选：B．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐
标法是解决本题的关键．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有
放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则DX= 1.96 ．
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计．
【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可．
【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，
其中，p=0.02，n=100，
则DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96．
故答案为：1.96．
【点评】本题考查离散性随机变量的期望与方差的求法，判断概率类型满足二
项分布是解题的关键．
14．（5分）函数f（x）=sin2x+ cosx﹣ （x [0， ]）的最大值是 1 ．
∈
【考点】HW：三角函数的最值．
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【专题】11：计算题；33：函数思想；4J：换元法；51：函数的性质及应用；
57：三角函数的图像与性质．
【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出．
【解答】解：f（x）=sin2x+ cosx﹣ =1﹣cos2x+ cosx﹣ ，
令cosx=t且t [0，1]，
∈
则y=﹣t2+ t+ =﹣（t﹣ ）2+1，
当t= 时，f（t） =1，
max
即f（x）的最大值为1，
故答案为：1
【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质，属于基础题15．（5分）等差数列{a }的前n项和为S ，a =3，S =10，则 = ．
n n 3 4
【考点】85：等差数列的前n项和；8E：数列的求和．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．
【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求
解即可．
【解答】解：等差数列{a }的前n项和为S ，a =3，S =10，S =2（a +a ）=10，
n n 3 4 4 2 3
可得a =2，数列的首项为1，公差为1，
2
S = ， = ，
n
则 =2[1﹣ + +…+ ]=2（1﹣ ）= ．
故答案为： ．
【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力．
16．（5分）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交
y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|= 6 ．
【考点】K8：抛物线的性质．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可．
【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线
交y轴于点N．若M为FN的中点，
可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为： ，
|FN|=2|FM|=2 =6．
故答案为：6．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～
21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23题为选考题，考生根
据要求作答．（一）必考题：共60分。
17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）
=8sin2 ．
（1）求cosB；
（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．
【考点】GS：二倍角的三角函数；HP：正弦定理．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形．
【分析】（1）利用三角形的内角和定理可知 A+C=π﹣B，再利用诱导公式化简
sin（A+C），利用降幂公式化简8sin2 ，结合sin2B+cos2B=1，求出cosB，
（2）由（1）可知sinB= ，利用勾面积公式求出ac，再利用余弦定理即可求
出b．
【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2 ，
∴sinB=4（1﹣cosB），
∵sin2B+cos2B=1，
∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，
∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1=0，
∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）=0，
∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，
∴cosB= ；
（2）由（1）可知sinB= ，
∵S = ac•sinB=2，
△ABC∴ac= ，
∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2× ×
=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，
∴b=2．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和
同角的三角函数的关系，属于中档题
18．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收
获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频
率分布直方图如图：
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低
于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养
殖方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值
（精确到0.01）．
附：
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828
K2= ．
【考点】B8：频率分布直方图；BE：用样本的数字特征估计总体的数字特征；
BL：独立性检验．
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【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5I：概率与统计．
【分析】（1）由题意可知：P（A）=P（BC）=P（B）P（C），分布求得发生的
频率，即可求得其概率；
（2）完成2×2列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有99%的把握
认为箱产量与养殖方法有关：
（3）根据频率分布直方图即可求得其中位数．
【解答】解：（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件
“新养殖法的箱产量不低于50kg”，
由P（A）=P（BC）=P（B）P（C），
则旧养殖法的箱产量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62，
故P（B）的估计值0.62，
新养殖法的箱产量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5=0.66，
故P（C）的估计值为，
则事件A的概率估计值为P（A）=P（B）P（C）=0.62×0.66=0.4092；
∴A发生的概率为0.4092；
（2）2×2列联表：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 总计
旧养殖法 62 38 100
新养殖法 34 66 100
总计 96 104 200
则K2= ≈15.705，
由15.705＞6.635，
∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面
积：
（0.004+0.020+0.044）×5=0.34，
箱产量低于55kg的直方图面积为：
（0.004+0.020+0.044+0.068）×5=0.68＞0.5，
故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+ ≈52.35（kg），
新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查独立性检验，考查计算能力，
属于中档题．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底
面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．
（1）证明：直线CE∥平面PAB；
（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣
AB﹣D的余弦值．
【考点】LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．
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【专题】31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距
离；5G：空间角．
【分析】（1）取PA的中点F，连接EF，BF，通过证明CE∥BF，利用直线与平
面平行的判定定理证明即可．
（2）利用已知条件转化求解M到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求
解二面角M﹣AB﹣D的余弦值即可．【解答】（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，
所以EF AD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥ AD，
∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF 平面PAB，CE 平面PAB，
∴直线CE∥平面PAB；
⊂ ⊄
（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，
侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，
∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．
取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，
OP= ，
∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，
可得：BN=MN，CN= MN，BC=1，
可得：1+ BN2=BN2，BN= ，MN= ，
作NQ⊥AB于Q，连接MQ，AB⊥MN，
所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ=
= ，
二面角M﹣AB﹣D的余弦值为： = ．【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，
考查空间想象能力以及计算能力．
20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C： +y2=1上，过M作x轴的
垂线，垂足为N，点P满足 = ．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线x=﹣3上，且 • =1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l
过C的左焦点F．
【考点】J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的综合．
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【专题】34：方程思想；48：分析法；5A：平面向量及应用；5B：直线与圆．
【分析】（1）设M（x ，y ），由题意可得N（x ，0），设P（x，y），运用
0 0 0
向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程；
（2）设Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π），运用向量的
数量积的坐标表示，可得m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得
OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：向量数量积为0，即可得证．
【解答】解：（1）设M（x ，y ），由题意可得N（x ，0），
0 0 0
设P（x，y），由点P满足 = ．
可得（x﹣x ，y）= （0，y ），
0 0
可得x﹣x =0，y= y ，
0 0
即有x =x，y = ，
0 0
代入椭圆方程 +y2=1，可得 + =1，即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2；
（2）证明：设Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π），
• =1，可得（ cosα， sinα）•（﹣3﹣ cosα，m﹣ sinα）=1，
即为﹣3 cosα﹣2cos2α+ msinα﹣2sin2α=1，
当α=0时，上式不成立，则0＜α＜2π，
解得m= ，
即有Q（﹣3， ），
椭圆 +y2=1的左焦点F（﹣1，0），
由 • =（﹣1﹣ cosα，﹣ sinα）•（﹣3， ）
=3+3 cosα﹣3（1+ cosα）=0．
可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
另解：设Q（﹣3，t），P（m，n），由 • =1，
可得（m，n）•（﹣3﹣m，t﹣n）=﹣3m﹣m2+nt﹣n2=1，
又P在圆x2+y2=2上，可得m2+n2=2，
即有nt=3+3m，
又椭圆的左焦点F（﹣1，0），
• =（﹣1﹣m，﹣n）•（﹣3，t）=3+3m﹣nt
=3+3m﹣3﹣3m=0，
则 ⊥ ，
可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，
考查圆的参数方程的运用和直线的斜率公式，以及向量的数量积的坐标表示
和两直线垂直的条件：向量数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于中
档题．
21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．
（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x ，且e﹣2＜f（x ）＜2﹣2．
0 0
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）通过分析可知f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，进而利
用h′（x）=a﹣ 可得h（x） =h（ ），从而可得结论；
min
（2）通过（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，记t（x）=f′（x）=2x﹣2﹣lnx，解不
等式可知 t（x） =t（ ）=ln2﹣1＜0，从而可知 f′（x）=0 存在两根 x ，
min 0
x ，利用f（x）必存在唯一极大值点 x 及x ＜ 可知f（x ）＜ ，另一方面
2 0 0 0
可知f（x ）＞f（ ）= ．
0
【解答】（1）解：因为f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），
则f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知h′（x）=a﹣ ．
则当a≤0时h′（x）＜0，即y=h（x）在（0，+∞）上单调递减，
所以当x ＞1时，h（x ）＜h（1）=0，矛盾，故a＞0．
0 0
因为当0＜x＜ 时h′（x）＜0、当x＞ 时h′（x）＞0，
所以h（x） =h（ ），
min
又因为h（1）=a﹣a﹣ln1=0，
所以 =1，解得a=1；
另解：因为 f（1）=0，所以 f（x）≥0 等价于 f（x）在 x＞0 时的最小值为 f
（1），
所以等价于f（x）在x=1处是极小值，
所以解得a=1；
（2）证明：由（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx，令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，记t（x）=2x﹣2﹣lnx，则t′（x）=2﹣ ，
令t′（x）=0，解得：x= ，
所以t（x）在区间（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增，
所以t（x） =t（ ）=ln2﹣1＜0，从而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在两根
min
x ，x ，
0 2
且不妨设f′（x）在（0，x ）上为正、在（x ，x ）上为负、在（x ，+∞）上为
0 0 2 2
正，
所以f（x）必存在唯一极大值点x ，且2x ﹣2﹣lnx =0，
0 0 0
所以f（x ）= ﹣x ﹣x lnx = ﹣x +2x ﹣2 =x ﹣ ，
0 0 0 0 0 0 0
由x ＜ 可知f（x ）＜（x ﹣ ） =﹣ + = ；
0 0 0 max
由f′（ ）＜0可知x ＜ ＜ ，
0
所以f（x）在（0，x ）上单调递增，在（x ， ）上单调递减，
0 0
所以f（x ）＞f（ ）= ；
0
综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x ，且e﹣2＜f（x ）＜2﹣2．
0 0
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思
想，注意解题方法的积累，属于难题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，
则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcosθ=4．
1
（1）M为曲线C 上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点
1
P的轨迹C 的直角坐标方程；
2（2）设点A的极坐标为（2， ），点B在曲线C 上，求△OAB面积的最大值．
2
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
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【专题】38：对应思想；49：综合法；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）设P（x，y），利用相似得出M点坐标，根据|OM|•|OP|=16列
方程化简即可；
（2）求出曲线C 的圆心和半径，得出B到OA的最大距离，即可得出最大面积．
2
【解答】解：（1）曲线C 的直角坐标方程为：x=4，
1
设P（x，y），M（4，y ），则 ，∴y = ，
0 0
∵|OM||OP|=16，
∴ =16，
即（x2+y2）（1+ ）=16，
∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2，
两边开方得：x2+y2=4x，
整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），
∴点P的轨迹C 的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．
2
（2）点A的直角坐标为A（1， ），显然点A在曲线C 上，|OA|=2，
2
∴曲线C 的圆心（2，0）到弦OA的距离d= = ，
2
∴△AOB的最大面积S= |OA|•（2+ ）=2+ ．
【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直
线与圆的位置关系，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知a＞0，b＞0，a3+b3=2．证明：
（1）（a+b）（a5+b5）≥4；（2）a+b≤2．
【考点】R6：不等式的证明．
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【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．
【分析】（1）由柯西不等式即可证明，
（2）由a3+b3=2转化为 =ab，再由均值不等式可得： =ab≤
（ ）2，即可得到 （a+b）3≤2，问题得以证明．
【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（ +
）2=（a3+b3）2≥4，
当且仅当 = ，即a=b=1时取等号，
（2）∵a3+b3=2，
∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，
∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，
∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，
∴ =ab，
由均值不等式可得： =ab≤（ ）2，
∴（a+b）3﹣2≤ ，
∴ （a+b）3≤2，
∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．
【点评】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属
于中档题
