文档内容
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分） =（ ）
A． i B． C． D．
2．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数
为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
3．（5分）函数f（x）= 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（5分）已知向量 ， 满足| |=1， =﹣1，则 •（2 ）=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
5．（5分）双曲线 =1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，则其渐近线方程
为（ ）A．y=± x B．y=± x C．y=± x D．y=± x
6．（5分）在△ABC中，cos = ，BC=1，AC=5，则AB=（ ）
A．4 B． C． D．2
7．（5分）为计算S=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ，设计了如图的程序框图，则
在空白框中应填入（ ）
A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4
8．（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．
哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如
30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30的
概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）在长方体ABCD﹣A B C D 中，AB=BC=1，AA = ，则异面直线
1 1 1 1 1
AD 与DB 所成角的余弦值为（ ）
1 1
A． B． C． D．
10．（5 分）若 f（x）=cosx﹣sinx 在[﹣a，a]是减函数，则 a 的最大值是（ ）
A． B． C． D．π
11．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）
=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（ ）
A．﹣50 B．0 C．2 D．50
12．（5分）已知F ，F 是椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是
1 2
C 的左顶点，点 P在过 A且斜率为 的直线上，△PF F 为等腰三角形，
1 2
∠F F P=120°，则C的离心率为（ ）
1 2
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 ．
14．（5分）若x，y满足约束条件 ，则z=x+y的最大值为 ．
15．（5分）已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）= ．
16．（5分）已知圆锥的顶点为 S，母线SA，SB所成角的余弦值为 ，SA与
圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5 ，则该圆锥的侧面积为
．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21
题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根要
求作答。（一)必考题：共60分。
17．（12分）记S 为等差数列{a }的前n项和，已知a =﹣7，S =﹣15．
n n 1 3
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）求S ，并求S 的最小值．
n n18．（12分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：
亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个
线性回归模型．根据 2000年至2016年的数据（时间变量 t的值依次为 1，
2，…，17）建立模型①： =﹣30.4+13.5t；根据 2010 年至 2016 年的数据
（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②： =99+17.5t．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．19．（12分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线
l与C交于A，B两点，|AB|=8．
（1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
20 ． （ 12 分 ） 如 图 ， 在 三 棱 锥 P﹣ABC 中 ， AB=BC=2 ，
PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求PC与平面PAM所成
角的正弦值．21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣ax2．
（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；
（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，
则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ，（θ为
参数），直线l的参数方程为 ，（t为参数）．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．2018 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分） =（ ）
A． i B． C． D．
【考点】A5：复数的运算．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可．
【解答】解： = = + ．
故选：D．
【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基本知识的考查．
2．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数
为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【考点】1A：集合中元素个数的最值．
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【专题】32：分类讨论；4O：定义法；5J：集合．
【分析】分别令x=﹣1，0，1，进行求解即可．
【解答】解：当x=﹣1时，y2≤2，得y=﹣1，0，1，
当x=0时，y2≤3，得y=﹣1，0，1，
当x=1时，y2≤2，得y=﹣1，0，1，
即集合A中元素有9个，
故选：A．
【点评】本题主要考查集合元素个数的判断，利用分类讨论的思想是解决本题
的关键．3．（5分）函数f（x）= 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换；6B：利用导数研究函数的单调性．
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【专题】33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可．
【解答】解：函数f（﹣x）= =﹣ =﹣f（x），
则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，
当x=1时，f（1）=e﹣ ＞0，排除D．
当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象的特点分别进
行排除是解决本题的关键．
4．（5分）已知向量 ， 满足| |=1， =﹣1，则 •（2 ）=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．
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【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．
【分析】根据向量的数量积公式计算即可．
【解答】解：向量 ， 满足| |=1， =﹣1，则 •（2 ）=2 ﹣
=2+1=3，
故选：B．
【点评】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题
5．（5分）双曲线 =1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，则其渐近线方程
为（ ）
A．y=± x B．y=± x C．y=± x D．y=± x
【考点】KC：双曲线的性质．
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【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据双曲线离心率的定义求出a，c的关系，结合双曲线a，b，c的关
系进行求解即可．
【解答】解：∵双曲线的离心率为e= = ，
则 = = = = = ，
即双曲线的渐近线方程为y=± x=± x，
故选：A．
【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐
近线的方程是解决本题的关键．
6．（5分）在△ABC中，cos = ，BC=1，AC=5，则AB=（ ）
A．4 B． C． D．2
【考点】HR：余弦定理．
菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．
【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可．
【解答】解：在△ABC中，cos = ，cosC=2× =﹣ ，
BC=1，AC=5，则 AB= = = =4
．
故选：A．
【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力．
7．（5分）为计算S=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ，设计了如图的程序框图，则
在空白框中应填入（ ）
A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4
【考点】E7：循环结构；EH：绘制程序框图解决问题．
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【专题】38：对应思想；4B：试验法；5K：算法和程序框图．
【分析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的S=N﹣T，
由此知空白处应填入的条件．
【解答】解：模拟程序框图的运行过程知，该程序运行后输出的是
S=N﹣T=（1﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）；
累加步长是2，则在空白处应填入i=i+2．
故选：B．
【点评】本题考查了循环程序的应用问题，是基础题．
8．（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．
哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如
30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30的
概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．
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【专题】36：整体思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式
进行计算即可．
【解答】解：在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29
共10个，
从中选2个不同的数有 =45种，
和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，
则对应的概率P= = ，
故选：C．
【点评】本题主要考查古典概型的概率的计算，求出不超过 30的素数是解决
本题的关键．
9．（5分）在长方体ABCD﹣A B C D 中，AB=BC=1，AA = ，则异面直线
1 1 1 1 1
AD 与DB 所成角的余弦值为（ ）
1 1
A． B． C． D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．
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【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD 为z轴，建立空间直角坐
1
标系，利用向量法能求出异面直线AD 与DB 所成角的余弦值．
1 1
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD 为z轴，建立空间直
1
角坐标系，
∵在长方体ABCD﹣A B C D 中，AB=BC=1，
1 1 1 1
AA = ，
1
∴A（1，0，0），D （0，0， ），D（0，0，0），
1
B （1，1， ），
1
=（﹣1，0， ）， =（1，1， ），
设异面直线AD 与DB 所成角为θ，
1 1
则cosθ= = = ，
∴异面直线AD 与DB 所成角的余弦值为 ．
1 1
故选：C．
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、
面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，
是基础题．10．（5 分）若 f（x）=cosx﹣sinx 在[﹣a，a]是减函数，则 a 的最大值是
（ ）
A． B． C． D．π
【考点】GP：两角和与差的三角函数；H5：正弦函数的单调性．
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【专题】33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．
【 分 析 】 利 用 两 角 和 差 的 正 弦 公 式 化 简 f （ x ） ， 由
，k∈Z，得 ，k∈Z，
取k=0，得f（x）的一个减区间为[ ， ]，结合已知条件即可求出a的
最大值．
【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）= ，
由 ，k∈Z，
得 ，k∈Z，
取k=0，得f（x）的一个减区间为[ ， ]，
由f（x）在[﹣a，a]是减函数，
得 ，∴ ．
则a的最大值是 ．
故选：A．
【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属
于基本知识的考查，是基础题．
11．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）
=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（ ）A．﹣50 B．0 C．2 D．50
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．
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【专题】36：整体思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是 4，结合函数的周
期性和奇偶性进行转化求解即可．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），
∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，
则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数，
∵f（1）=2，
∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，
f（4）=f（0）=0，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，
则 f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f
（49）+f（50）
=f（1）+f（2）=2+0=2，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函
数的周期性是解决本题的关键．
12．（5分）已知F ，F 是椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是
1 2
C 的左顶点，点 P在过 A且斜率为 的直线上，△PF F 为等腰三角形，
1 2
∠F F P=120°，则C的离心率为（ ）
1 2
A． B． C． D．
【考点】K4：椭圆的性质．
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【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求得直线AP的方程：根据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率．
【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），F （﹣c，0），F （c，0），
1 2
直线AP的方程为：y= （x+a），
由∠F F P=120°，|PF |=|F F |=2c，则P（2c， c），
1 2 2 1 2
代入直线AP： c= （2c+a），整理得：a=4c，
∴题意的离心率e= = ．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的性质，直线方程的应用，考查转化思想，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 y=2x ．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
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【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处
的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：∵y=2ln（x+1），
∴y′= ，
当x=0时，y′=2，
∴曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x．故答案为：y=2x．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上
某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
14．（5分）若x，y满足约束条件 ，则z=x+y的最大值为 9 ．
【考点】7C：简单线性规划．
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【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等
式．
【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，
代入目标函数得答案．
【解答】解：由x，y满足约束条件 作出可行域如图，
化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，
由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，z取得最大值，
由 ，解得A（5，4），
目标函数有最大值，为z=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中
档题．15．（5分）已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）= ．
【考点】GP：两角和与差的三角函数．
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【专题】33：函数思想；48：分析法；56：三角函数的求值．
【分析】把已知等式两边平方化简可得 2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，再利用
两角和差的正弦公式化简为2sin（α+β）=﹣1，可得结果．
【解答】解：sinα+cosβ=1，
两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1，①，
cosα+sinβ=0，
两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0，②，
由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，即2+2sin（α+β）=1，
∴2sin（α+β）=﹣1．
∴sin（α+β）= ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属
于基本知识的考查，是基础题．
16．（5分）已知圆锥的顶点为 S，母线SA，SB所成角的余弦值为 ，SA与
圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5 ，则该圆锥的侧面积为 40
π ．
【考点】MI：直线与平面所成的角．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】利用已知条件求出圆锥的母线长，利用直线与平面所成角求解底面半
径，然后求解圆锥的侧面积．
【解答】解：圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为 ，可得
sin∠ASB= = ．△SAB的面积为5 ，
可得 sin∠ASB=5 ，即 × =5 ，即SA=4 ．
SA与圆锥底面所成角为45°，可得圆锥的底面半径为： =2 ．
则该圆锥的侧面积： π=40 π．
故答案为：40 π．
【点评】本题考查圆锥的结构特征，母线与底面所成角，圆锥的截面面积的求
法，考查空间想象能力以及计算能力．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21
题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根要
求作答。（一)必考题：共60分。
17．（12分）记S 为等差数列{a }的前n项和，已知a =﹣7，S =﹣15．
n n 1 3
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）求S ，并求S 的最小值．
n n
【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．
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【专题】34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）根据a =﹣7，S =﹣15，可得a =﹣7，3a +3d=﹣15，求出等差数
1 3 1 1
列{a }的公差，然后求出a 即可；
n n
（2）由a =﹣7，d=2，a =2n﹣9，得S = = =n2﹣8n=
1 n n
（n﹣4）2﹣16，由此可求出S 以及S 的最小值．
n n
【解答】解：（1）∵等差数列{a }中，a =﹣7，S =﹣15，
n 1 3
∴a =﹣7，3a +3d=﹣15，解得a =﹣7，d=2，
1 1 1
∴a =﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9；
n
（2）∵a =﹣7，d=2，a =2n﹣9，
1 n
∴S = = =n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，
n
∴当n=4时，前n项的和S 取得最小值为﹣16．
n
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前 n项的和公式，属于中档题．
18．（12分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：
亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个
线性回归模型．根据 2000年至2016年的数据（时间变量 t的值依次为 1，
2，…，17）建立模型①： =﹣30.4+13.5t；根据 2010 年至 2016 年的数据
（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②： =99+17.5t．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
【考点】BK：线性回归方程．
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【专题】31：数形结合；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】（1）根据模型①计算t=19时 的值，根据模型②计算t=9时 的值即
可；
（2）从总体数据和2000年到2009年间递增幅度以及2010年到2016年间递增
的幅度比较，
即可得出模型②的预测值更可靠些．【解答】解：（1）根据模型①： =﹣30.4+13.5t，
计算t=19时， =﹣30.4+13.5×19=226.1；
利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是 226.1亿
元；
根据模型②： =99+17.5t，
计算t=9时， =99+17.5×9=256.5；．
利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元；
（2）模型②得到的预测值更可靠；
因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年
上升的，
而从2000年到2009年间递增的幅度较小些，
从2010年到2016年间递增的幅度较大些，
所以，利用模型②的预测值更可靠些．
【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．
19．（12分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线
l与C交于A，B两点，|AB|=8．
（1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
【考点】KN：直线与抛物线的综合．
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【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）方法一：设直线AB的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦
点弦公式即可求得k的值，即可求得直线l的方程；
方法二：根据抛物线的焦点弦公式|AB|= ，求得直线AB的倾斜角，即
可求得直线l的斜率，求得直线l的方程；
（2）根据过A，B分别向准线l作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根
据中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程．【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），
设直线AB的方程为：y=k（x﹣1），设A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
则 ，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则x +x = ，x x =1，
1 2 1 2
由|AB|=x +x +p= +2=8，解得：k2=1，则k=1，
1 2
∴直线l的方程y=x﹣1；
方法二：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由
抛物线的弦长公式|AB|= = =8，解得：sin2θ= ，
∴θ= ，则直线的斜率k=1，
∴直线l的方程y=x﹣1；
（2）由（1）可得AB的中点坐标为D（3，2），则直线AB的垂直平分线方
程为y﹣2=﹣（x﹣3），即y=﹣x+5，
设所求圆的圆心坐标为（x ，y ），则 ，
0 0
解得： 或 ，
因此，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=16或（x﹣11）2+（y+6）2=144．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦
公式，考查圆的标准方程，考查转换思想思想，属于中档题．
20 ． （ 12 分 ） 如 图 ， 在 三 棱 锥 P﹣ABC 中 ， AB=BC=2 ，
PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求PC与平面PAM所成
角的正弦值．
【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角；MJ：二面角的平
面角及求法．
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【专题】35：转化思想；41：向量法；4R：转化法；5F：空间位置关系与距离；
5H：空间向量及应用．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明PO⊥AC，PO⊥OB即可；
（2）根据二面角的大小求出平面PAM的法向量，利用向量法即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接BO，
∵AB=BC=2 ，O是AC的中点，
∴BO⊥AC，且BO=2，
又PA=PC=PB=AC=4，
∴PO⊥AC，PO=2 ，
则PB2=PO2+BO2，
则PO⊥OB，
∵OB∩AC=O，
∴PO⊥平面ABC；
（2）建立以O坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系
如图：
A（0，﹣2，0），P（0，0，2 ），C（0，2，0），B（2，0，0），
=（﹣2，2，0），
设 =λ =（﹣2λ，2λ，0），0＜λ＜1
则 = ﹣ =（﹣2λ，2λ，0）﹣（﹣2，﹣2，0）=（2﹣2λ，2λ+2，0），
则平面PAC的法向量为 =（1，0，0），
设平面MPA的法向量为 =（x，y，z），
则 =（0，﹣2，﹣2 ），
则 • =﹣2y﹣2 z=0， • =（2﹣2λ）x+（2λ+2）y=0
令z=1，则y=﹣ ，x= ，
即 =（ ，﹣ ，1），
∵二面角M﹣PA﹣C为30°，
∴cos30°=| = ，
即 = ，解得λ= 或λ=3（舍），
则平面MPA的法向量 =（2 ，﹣ ，1），
=（0，2，﹣2 ），
PC与平面PAM所成角的正弦值sinθ=|cos＜ ， ＞|=| |= = ．
【点评】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的应用以及二面角，线面角
的求解，建立坐标系求出点的坐标，利用向量法是解决本题的关键．
21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣ax2．
（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；
（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．
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【专题】35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）通过两次求导，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证
明，
（2）方法一、分离参数可得 a= 在（0，+∞）只有一个根，即函数 y=a与G
（x）= 的图象在（0，+∞）只有一个交点．结合图象即可求得a．
方法二、：①当a≤0时，f（x）=ex﹣ax2＞0，f（x）在（0，+∞）没有零点．．②当a≤0时，设函数h（x）=1﹣ax2e﹣x．f（x）在（0，+∞）只有一个零点 h
（x）在（0，+∞）只有一个零点．
⇔
利用 h′（x）=x（x﹣2）e﹣x，可得h（x））在（0，2）递减，在（2，+∞）递
增，结合函数h（x）图象即可求得a．
【解答】证明：（1）当a=1时，函数f（x）=ex﹣x2．
则f′（x）=ex﹣2x，
令g（x）=ex﹣2x，则g′（x）=ex﹣2，
令g′（x）=0，得x=ln2．
当x∈（0，ln2）时，g′（x）＜0，当x∈（ln2，+∞）时，g′（x）＞0，
∴g（x）≥g（ln2）=eln2﹣2•ln2=2﹣2ln2＞0，
∴f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）≥f（0）=1，
解：（2）方法一、，f（x）在（0，+∞）只有一个零点 方程 ex﹣ax2=0 在
（0，+∞）只有一个根，
⇔
⇔a= 在（0，+∞）只有一个根，
即函数y=a与G（x）= 的图象在（0，+∞）只有一个交点．
G ，
当x∈（0，2）时，G′（x）＜0，当 （2，+∞）时，G′（x）＞0，
∴G（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
∈
当→0时，G（x）→+∞，当→+∞时，G（x）→+∞，
∴f（x）在（0，+∞）只有一个零点时，a=G（2）= ．
方法二：①当a≤0时，f（x）=ex﹣ax2＞0，f（x）在（0，+∞）没有零点．．
②当a＞0时，设函数h（x）=1﹣ax2e﹣x．f（x）在（0，+∞）只有一个零点 h
（x）在（0，+∞）只有一个零点．
⇔
h′（x）=x（x﹣2）e﹣x，当x∈（0，2）时，h′（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，
h′（x）＞0，∴h（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，∴ ，
（x≥0）．
当h（2）＜0时，即a ，由于h（0）=1，当x＞0时，ex＞x2，可得h
（4a）=1﹣ = =1﹣ ＞0．h（x）在（0，+∞）有
2个零点
当h（2）＞0时，即a ，h（x）在（0，+∞）没有零点，
当h（2）=0时，即a= ，h（x）在（0，+∞）只有一个零点，
综上，f（x）在（0，+∞）只有一个零点时，a= ．
【点评】本题考查了利用导数探究函数单调性，以及函数零点问题，考查了转
化思想、数形结合思想，属于中档题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，
则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ，（θ为
参数），直线l的参数方程为 ，（t为参数）．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．
【考点】QH：参数方程化成普通方程．
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【专题】35：转化思想；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程
进行转化．
（2）利用直线和曲线的位置关系，在利用中点坐标求出结果．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为 （θ为参数），
转换为直角坐标方程为： ．
直线l的参数方程为 （t为参数）．
转换为直角坐标方程为：xsinα﹣ycosα+2cosα﹣sinα=0．
（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到： + =1
整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，
则： ，
由于（1，2）为中点坐标，
①当直线的斜率不存时，x=1．
无解故舍去．
②当直线的斜率存在时，（由于t 和t 为A、B对应的参数）
1 2
所以利用中点坐标公式 ，
则：8cosα+4sinα=0，
解得：tanα=﹣2，
即：直线l的斜率为﹣2．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，
直线和曲线的位置关系的应用，中点坐标的应用．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．
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【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5T：不等式．
【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，求出不等式的解集即可，
（2）由题意可得|x+a|+|x﹣2|≥4，根据据绝对值的几何意义即可求出【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=5﹣|x+1|﹣|x﹣2|= ．
当x≤﹣1时，f（x）=2x+4≥0，解得﹣2≤x≤﹣1，
当﹣1＜x＜2时，f（x）=2≥0恒成立，即﹣1＜x＜2，
当x≥2时，f（x）=﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3，
综上所述不等式f（x）≥0的解集为[﹣2，3]，
（2）∵f（x）≤1，
∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1，
∴|x+a|+|x﹣2|≥4，
∴|x+a|+|x﹣2|=|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|=|a+2|，
∴|a+2|≥4，
解得a≤﹣6或a≥2，
故a的取值范围（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．
【点评】本题考查了绝对值的不等式和绝对值的几何意义，属于中档题
