文档内容
2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（ ）
A．{x|﹣4＜x＜3} B．{x|﹣4＜x＜﹣2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}
2．（5分）设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（ ）
A．（x+1）2+y2＝1 B．（x﹣1）2+y2＝1
C．x2+（y﹣1）2＝1 D．x2+（y+1）2＝1
3．（5分）已知a＝log 0.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（ ）
2
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a
4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比
是 （ ≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此
外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上
述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能
是（ ）
A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm
5．（5分）函数f（x）＝ 在[﹣ ， ]的图象大致为（ ）
π π
A． B．C． D．
6．（5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排
列的6个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“ ”，如图就是一重卦．在所有重卦
中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（5 分）已知非零向量 ， 满足| |＝2| |，且（ ﹣ ）⊥ ，则 与 的夹角为
（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入（ ）
A．A＝ B．A＝2+ C．A＝ D．A＝1+
9．（5分）记S 为等差数列{a }的前n项和．已知S ＝0，a ＝5，则（ ）
n n 4 5A．a ＝2n﹣5 B．a ＝3n﹣10 C．S ＝2n2﹣8n D．S ＝ n2﹣2n
n n n n
10．（5分）已知椭圆C的焦点为F （﹣1，0），F （1，0），过F 的直线与C交于A，
1 2 2
B两点．若|AF |＝2|F B|，|AB|＝|BF |，则C的方程为（ ）
2 2 1
A． +y2＝1 B． + ＝1
C． + ＝1 D． + ＝1
11．（5分）关于函数f（x）＝sin|x|+|sinx|有下述四个结论：
f（x）是偶函数
①
f（x）在区间（ ， ）单调递增
② π
f（x）在[﹣ ， ]有4个零点
③f（x）的最大π值π为2
④其中所有正确结论的编号是（ ）
A． B． C． D．
12．（5①分②）④已知三棱锥P﹣A②BC④的四个顶点在球O①的球④面上，PA＝PB＝P①C③，△ABC是边
长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（
）
A．8 B．4 C．2 D．
二、填空题π：本题共4小题，每小π题5分，共20分。 π π
13．（5分）曲线y＝3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线方程为 ．
14．（5分）记S 为等比数列{a }的前n项和．若a ＝ ，a 2＝a ，则S ＝ ．
n n 1 4 6 5
15．（5分）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队
获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．
设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲
队以4：1获胜的概率是 ．
16．（5分）已知双曲线C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F ，F ，过
1 2F 的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若 ＝ ， • ＝0，则C
1
的离心率为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣
sinBsin C．
（1）求A；
（2）若 a+b＝2c，求sinC．
18．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A B C D 的底面是菱形，AA ＝4，AB＝2，∠BAD
1 1 1 1 1
＝60°，E，M，N分别是BC，BB ，A D的中点．
1 1
（1）证明：MN∥平面C DE；
1
（2）求二面角A﹣MA ﹣N的正弦值．
119．（12分）已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为 的直线l与C的交点为A，B，
与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|＝4，求l的方程；
（2）若 ＝3 ，求|AB|．
20．（12分）已知函数f（x）＝sinx﹣ln（1+x），f′（x）为f（x）的导数．证明：
（1）f′（x）在区间（﹣1， ）存在唯一极大值点；
（2）f（x）有且仅有2个零点．21．（12分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此
进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白
鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试
验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治
愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治
愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得﹣1分；若施以乙药的白鼠治愈且施
以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得﹣1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得
0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为 和 ，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求X的分布列； α β
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p（i＝0，1，…，8）表示“甲药的累计
i
得分为 i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p 0 ＝0，p 8 ＝1，p i ＝ap i﹣
+bp+cp （i＝1，2，…，7），其中a＝P（X＝﹣1），b＝P（X＝0），c＝P（X＝
1 i i+1
1）．假设 ＝0.5， ＝0.8．
（i）证明：α{p
i+1
﹣pβi }（i＝0，1，2，…，7）为等比数列；
（ii）求p ，并根据p 的值解释这种试验方案的合理性．
4 4（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数）．以
坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2 cos +
sin +11＝0． ρ θ
（1ρ）求θC和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：
（1） + + ≤a2+b2+c2；
（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（ ）
A．{x|﹣4＜x＜3} B．{x|﹣4＜x＜﹣2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}
【分析】利用一元二次不等式的解法和交集的运算即可得出．
【解答】解：∵M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，
∴M∩N＝{x|﹣2＜x＜2}．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法和交集的运算，属基础题．
2．（5分）设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（ ）
A．（x+1）2+y2＝1 B．（x﹣1）2+y2＝1
C．x2+（y﹣1）2＝1 D．x2+（y+1）2＝1
【分析】由z在复平面内对应的点为（x，y），可得z＝x+yi，然后根据|z﹣i|＝1即可得
解．
【解答】解：∵z在复平面内对应的点为（x，y），
∴z＝x+yi，
∴z﹣i＝x+（y﹣1）i，
∴|z﹣i|＝ ，
∴x2+（y﹣1）2＝1，
故选：C．
【点评】本题考查复数的模、复数的几何意义，正确理解复数的几何意义是解题关键，
属基础题．
3．（5分）已知a＝log 0.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（ ）
2
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a
【分析】由指数函数和对数函数的单调性易得log 0.2＜0，20.2＞1，0＜0.20.3＜1，从而
2
得出a，b，c的大小关系．
【解答】解：a＝log 0.2＜log 1＝0，
2 2b＝20.2＞20＝1，
∵0＜0.20.3＜0.20＝1，
∴c＝0.20.3 （0，1），
∴a＜c＜b，∈
故选：B．
【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，属基础题．
4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比
是 （ ≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此
外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上
述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能
是（ ）
A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm
【分析】充分运用黄金分割比例，结合图形，计算可估计身高．
【解答】解：头顶至脖子下端的长度为26cm，
说明头顶到咽喉的长度小于26cm，
由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是 ≈0.618，
可得咽喉至肚脐的长度小于 ≈42cm，
由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 ，
可得肚脐至足底的长度小于 ＝110，
即有该人的身高小于110+68＝178cm，又肚脐至足底的长度大于105cm，
可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm，
即该人的身高大于65+105＝170cm，
故选：B．
【点评】本题考查简单的推理和估算，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
5．（5分）函数f（x）＝ 在[﹣ ， ]的图象大致为（ ）
π π
A． B．
C． D．
【分析】由f（x）的解析式知f（x）为奇函数可排除A，然后计算f（ ），判断正负即
可排除B，C． π
【解答】解：∵f（x）＝ ，x [﹣ ， ]，
∈ π π
∴f（﹣x）＝ ＝﹣ ＝﹣f（x），
∴f（x）为[﹣ ， ]上的奇函数，因此排除A；
π π
又f（ ）＝ ，因此排除B，C；
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象与性质，解题关键是奇偶性和特殊值，属基础题．
6．（5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排
列的6个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“ ”，如图就是一重卦．在所有重卦
中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ）A． B． C． D．
【分析】基本事件总数n＝26＝64，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m＝ ＝
20，由此能求出该重卦恰有3个阳爻的概率．
【解答】解：在所有重卦中随机取一重卦，
基本事件总数n＝26＝64，
该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m＝ ＝20，
则该重卦恰有3个阳爻的概率p＝ ＝ ＝ ．
故选：A．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能
力，是基础题．
7．（5 分）已知非零向量 ， 满足| |＝2| |，且（ ﹣ ）⊥ ，则 与 的夹角为
（ ）
A． B． C． D．
【 分 析 】 由 （ ﹣ ） ⊥ ， 可 得 ， 进 一 步 得 到
，然后求出夹角即可．
【解答】解：∵（ ﹣ ）⊥ ，
∴
＝ ，
∴
＝ ＝ ，
∵ ，∴ ．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属基础题．
8．（5分）如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入（ ）
A．A＝ B．A＝2+ C．A＝ D．A＝1+
【分析】模拟程序的运行，由题意，依次写出每次得到的A的值，观察规律即可得解．
【解答】解：模拟程序的运行，可得：
A＝ ，k＝1；
满足条件k≤2，执行循环体，A＝ ，k＝2；
满足条件k≤2，执行循环体，A＝ ，k＝3；
此时，不满足条件k≤2，退出循环，输出A的值为 ，观察A的取值规律可知图中空白框中应填入A＝ ．
故选：A．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得
出正确的结论，是基础题．
9．（5分）记S 为等差数列{a }的前n项和．已知S ＝0，a ＝5，则（ ）
n n 4 5
A．a ＝2n﹣5 B．a ＝3n﹣10 C．S ＝2n2﹣8n D．S ＝ n2﹣2n
n n n n
【分析】根据题意，设等差数列{a }的公差为d，则有 ，求出首项和公差，
n
然后求出通项公式和前n项和即可．
【解答】解：设等差数列{a }的公差为d，
n
由S ＝0，a ＝5，得
4 5
，∴ ，
∴a ＝2n﹣5， ，
n
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式，关键是求出等差数列的公差
以及首项，属于基础题．
10．（5分）已知椭圆C的焦点为F （﹣1，0），F （1，0），过F 的直线与C交于A，
1 2 2
B两点．若|AF |＝2|F B|，|AB|＝|BF |，则C的方程为（ ）
2 2 1
A． +y2＝1 B． + ＝1
C． + ＝1 D． + ＝1
【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a＝ ，b＝ ，可得椭圆的方程．
【解答】解：∵|AF |＝2|BF |，∴|AB|＝3|BF |，
2 2 2
又|AB|＝|BF |，∴|BF |＝3|BF |，
1 1 2又|BF |+|BF |＝2a，∴|BF |＝ ，
1 2 2
∴|AF |＝a，|BF |＝ a，
2 1
∵|AF |+|AF |＝2a，∴|AF |＝a，
1 2 1
∴|AF |＝|AF |，∴A在y轴上．
1 2
在Rt△AF O中，cos∠AF O＝ ，
2 2
在△BF F 中，由余弦定理可得cos∠BF F ＝ ，
1 2 2 1
根据cos∠AF O+cos∠BF F ＝0，可得 + ＝0，解得a2＝3，∴a＝ ．
2 2 1
b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2．
所以椭圆C的方程为： + ＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属中档题．
11．（5分）关于函数f（x）＝sin|x|+|sinx|有下述四个结论：
f（x）是偶函数
①
f（x）在区间（ ， ）单调递增
② π
f（x）在[﹣ ， ]有4个零点
③f（x）的最大π值π为2
④其中所有正确结论的编号是（ ）
A． B． C． D．
【分①析②】根④据绝对值的应用②，④结合三角函数的图象①和④性质分别进行判断①即可③．
【解答】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sinx|＝f（x）则函数f（x）是偶函
数，故 正确，
①
当x （ ， ）时，sin|x|＝sinx，|sinx|＝sinx，
∈ π
则f（x）＝sinx+sinx＝2sinx为减函数，故 错误，
当0≤x≤ 时，f（x）＝sin|x|+|sinx|＝sinx+②sinx＝2sinx，
由f（x）＝π0得2sinx＝0得x＝0或x＝ ，
由f（x）是偶函数，得在[﹣ ，）上还π有一个零点x＝﹣ ，即函数f（x）在[﹣ ， ]有
3个零点，故 错误， π π π π
当sin|x|＝1，③|sinx|＝1时，f（x）取得最大值2，故 正确，
故正确是 ， ④
故选：C．①④
【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用
三角函数的性质是解决本题的关键．
12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边
长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（
）
A．8 B．4 C．2 D．
【分析】π由题意画出图形，证明π三棱锥P﹣ABC为正三π棱锥，且三条侧棱两π两互相垂直，
再由补形法求外接球球O的体积．
【解答】解：如图，由PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，可知三棱锥P﹣ABC为正三棱锥，
则顶点P在底面的射影O为底面三角形的中心，连接BO并延长，交AC于G，
则AC⊥BG，又PO⊥AC，PO∩BG＝O，可得AC⊥平面PBG，则PB⊥AC，
∵E，F分别是PA，AB的中点，∴EF∥PB，
又∠CEF＝90°，即EF⊥CE，∴PB⊥CE，得PB⊥平面PAC，
∴正三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，
把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，
其直径为D＝ ．
半径为 ，则球O的体积为 ．
故选：D．
【点评】本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算
能力，是中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）曲线y＝3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线方程为 y ＝ 3 x ．
【分析】对y＝3（x2+x）ex求导，可将x＝0代入导函数，求得斜率，即可得到切线方程．
【解答】解：∵y＝3（x2+x）ex，
∴y'＝3ex（x2+3x+1），
∴当x＝0时，y'＝3，
∴y＝3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线斜率k＝3，
∴切线方程为：y＝3x．
故答案为：y＝3x．
【点评】本题考查了利用导数研究函数上某点的切线方程，切点处的导数值为斜率是解
题关键，属基础题．
14．（5分）记S 为等比数列{a }的前n项和．若a ＝ ，a 2＝a ，则S ＝ ．
n n 1 4 6 5【分析】根据等比数列的通项公式，建立方程求出q的值，结合等比数列的前n项和公
式进行计算即可．
【解答】解：在等比数列中，由a 2＝a ，得q6a 2＝q5a ＞0，
4 6 1 1
即q＞0，q＝3，
则S ＝ ＝ ，
5
故答案为：
【点评】本题主要考查等比数列前n项和的计算，结合条件建立方程组求出q是解决本
题的关键．
15．（5分）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队
获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．
设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲
队以4：1获胜的概率是 0.1 8 ．
【分析】甲队以4：1获胜包含的情况有： 前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，
前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜①， 前5场比赛中，第三场负，另外4场全
②胜， 前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜③，由此能求出甲队以4：1获胜的概率．
【解④答】解：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．
设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，
甲队以4：1获胜包含的情况有：
前5场比赛中，第一场负，另外 4场全胜，其概率为：p ＝0.4×0.6×0.5×0.5×0.6＝
1
①0.036，
前5场比赛中，第二场负，另外 4场全胜，其概率为：p ＝0.6×0.4×0.5×0.5×0.6＝
2
②0.036，
前5场比赛中，第三场负，另外 4场全胜，其概率为：p ＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝
3
③0.054，
前5场比赛中，第四场负，另外 4场全胜，其概率为：p ＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝
3
④0.054，
则甲队以4：1获胜的概率为：
p＝p +p +p +p ＝0.036+0.036+0.054+0.054＝0.18．
1 2 3 4
故答案为：0.18．【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算
求解能力，是基础题．
16．（5分）已知双曲线C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F ，F ，过
1 2
F 的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若 ＝ ， • ＝0，则C
1
的离心率为 2 ．
【分析】由题意画出图形，结合已知可得F B⊥OA，写出F B的方程，与y＝ 联立
1 1
求得B点坐标，再由斜边的中线等于斜边的一半求解．
【解答】解：如图，
∵ ＝ ，且 • ＝0，∴OA⊥F B，
1
则F B：y＝ ，
1
联立 ，解得B（ ， ），
则 ，
整理得：b2＝3a2，∴c2﹣a2＝3a2，即4a2＝c2，
∴ ，e＝ ．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣
sinBsin C．
（1）求A；
（2）若 a+b＝2c，求sinC．
【分析】（1）由正弦定理得：b2+c2﹣a2＝bc，再由余弦定理能求出A．
（2）由已知及正弦定理可得：sin（C﹣ ）＝ ，可解得C的值，由两角和的正弦
函数公式即可得解．
【解答】解：（1）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
设（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsin C．
则sin2B+sin2C﹣2sinBsinC＝sin2A﹣sinBsinC，
∴由正弦定理得：b2+c2﹣a2＝bc，
∴cosA＝ ＝ ＝ ，
∵0＜A＜ ，∴A＝ ．
π
（2）∵ a+b＝2c，A＝ ，
∴由正弦定理得 ，
∴
解得sin（C﹣ ）＝ ，∴C﹣ ＝ ，C＝ ，
∴sinC＝sin（ ）＝sin cos +cos sin ＝ + ＝
．
【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质，考查了推理能力与计算能力，
属于中档题．
18．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A B C D 的底面是菱形，AA ＝4，AB＝2，∠BAD
1 1 1 1 1＝60°，E，M，N分别是BC，BB ，A D的中点．
1 1
（1）证明：MN∥平面C DE；
1
（2）求二面角A﹣MA ﹣N的正弦值．
1
【分析】（1）过N作NH⊥AD，证明NM∥BH，再证明BH∥DE，可得NM∥DE，再
由线面平行的判定可得MN∥平面C DE；
1
（2）以D为坐标原点，以垂直于DC得直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD 所
1
在直线为z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面 A MN与平面MAA 的一个法向量，
1 1
由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣MA ﹣N的正弦值．
1
【解答】（1）证明：如图，过N作NH⊥AD，则NH∥AA ，且 ，
1
又MB∥AA ，MB＝ ，∴四边形NMBH为平行四边形，则NM∥BH，
1
由NH∥AA ，N为A D中点，得H为AD中点，而E为BC中点，
1 1
∴BE∥DH，BE＝DH，则四边形BEDH为平行四边形，则BH∥DE，
∴NM∥DE，
∵NM 平面C DE，DE 平面C DE，
1 1
∴MN⊄∥平面C 1 DE； ⊂
（2）解：以D为坐标原点，以垂直于DC得直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以
DD 所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
1
则N（ ， ，2），M（ ，1，2），A （ ，﹣1，4），
1
， ，设平面A MN的一个法向量为 ，
1
由 ，取x＝ ，得 ，
又平面MAA 的一个法向量为 ，
1
∴cos＜ ＞＝ ＝ ＝ ．
∴二面角A﹣MA ﹣N的正弦值为 ．
1
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用
空间向量求解空间角，是中档题．
19．（12分）已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为 的直线l与C的交点为A，B，
与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|＝4，求l的方程；
（2）若 ＝3 ，求|AB|．
【分析】（1）根据韦达定理以及抛物线的定义可得．
（2）若 ＝3 ，则y ＝﹣3y ， x ＝﹣3x +4t，再结合韦达定理可解得t＝1，x ＝
1 2 1 2 1
⇒3，x ＝ ，再用弦长公式可得．
2
【解答】解：（1）设直线l的方程为y＝ （x﹣t），将其代入抛物线y2＝3x得： x2
﹣（ t+3）x+ t2＝0，
设A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
则x +x ＝ ＝2t+ ， ，x x ＝t2 ，
1 2 1 2
① ②
由抛物线的定义可得：|AF|+|BF|＝x +x +p＝2t+ + ＝4，解得t＝ ，
1 2
直线l的方程为y＝ x﹣ ．
（2）若 ＝3 ，则 y ＝﹣3y ，∴ （x ﹣t）＝﹣3× （x ﹣t），化简得 x ＝﹣
1 2 1 2 1
3x +4t，
2
③
由 解得t＝1，x ＝3，x ＝ ，
1 2
①②③
∴|AB|＝ ＝ ．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题．
20．（12分）已知函数f（x）＝sinx﹣ln（1+x），f′（x）为f（x）的导数．证明：
（1）f′（x）在区间（﹣1， ）存在唯一极大值点；
（2）f（x）有且仅有2个零点．
【分析】（1）f（x）的定义域为（﹣1，+∞），求出原函数的导函数，进一步求导，
得到 f″（x）在（﹣1， ）上为减函数，结合 f″（0）＝1，f″（ ）＝﹣1+
＜﹣1+1＝0，由零点存在定理可知，函数f″（x）在（﹣1， ）上存在唯一得零点x ，结合单调性可得，f′（x）在（﹣1，x ）上单调递增，在（x ， ）上单
0 0 0
调递减，可得f′（x）在区间（﹣1， ）存在唯一极大值点；
（2）由（1）知，当x （﹣1，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x （0，x ）
0
∈ ∈
时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；由于f′（x）在（x ， ）上单调递减，且f′
0
（x ）＞0，f′（ ）＜0，可得函数f′（x）在（x ， ）上存在唯一零点x ，结合
0 0 1
单调性可知，当x （x ，x ）时，f（x）单调递增；当x （ ）时，f（x）单调
0 1
∈ ∈
递减．当x （ ， ）时，f（x）单调递减，再由f（ ）＞0，f（ ）＜0．然后列
∈ π π
x，f′（x）与f（x）的变化情况表得答案．
【解答】证明：（1）f（x）的定义域为（﹣1，+∞），
f′（x）＝cosx ，f″（x）＝﹣sinx+ ，
令g（x）＝﹣sinx+ ，则g′（x）＝﹣cosx ＜0在（﹣1， ）恒成
立，
∴f″（x）在（﹣1， ）上为减函数，
又∵f″（0）＝1，f″（ ）＝﹣1+ ＜﹣1+1＝0，由零点存在定理可知，
函数f″（x）在（﹣1， ）上存在唯一的零点x ，结合单调性可得，f′（x）在（﹣
0
1，x ）上单调递增，
0
在（x ， ）上单调递减，可得f′（x）在区间（﹣1， ）存在唯一极大值点；
0
（2）由（1）知，当x （﹣1，0）时，f′（x）单调递增，f′（x）＜f′（0）＝0，f
（x）单调递减； ∈
当x （0，x ）时，f′（x）单调递增，f′（x）＞f′（0）＝0，f（x）单调递增；
0
∈由于f′（x）在（x ， ）上单调递减，且f′（x ）＞0，f′（ ）＝ ＜0，
0 0
由零点存在定理可知，函数f′（x）在（x ， ）上存在唯一零点x ，结合单调性可知，
0 1
当x （x ，x ）时，f′（x）单调递减，f′（x）＞f′（x ）＝0，f（x）单调递增；
0 1 1
∈
当x （ ）时，f′（x）单调递减，f′（x）＜f′（x ）＝0，f（x）单调递减．
1
∈
当x （ ， ）时，cosx＜0，﹣ ＜0，于是f′（x）＝cosx﹣ ＜0，f（x）单调
∈ π
递减，
其中f（ ）＝1﹣ln（1+ ）＞1﹣ln（1+ ）＝1﹣ln2.6＞1﹣lne＝0，
f（ ）＝﹣ln（1+ ）＜﹣ln3＜0．
于是π可得下表： π
x （﹣1， 0 （0， x
1 （ （
0） x ）
1
） ） π
f ﹣ 0 + 0 ﹣ ﹣ ﹣ ﹣
´（x）
f（x） 单调递减 0 单调递增 大于0 单调递减 大于0 单调递减 小于0
结合单调性可知，函数f（x）在（﹣1， ]上有且只有一个零点0，
由函数零点存在性定理可知，f（x）在（ ， ）上有且只有一个零点x ，
2
π
当x [ ，+∞）时，f（x）＝sinx﹣ln（1+x）＜1﹣ln（1+ ）＜1﹣ln3＜0，因此函数f
（x）∈在π[ ，+∞）上无零点． π
综上，f（πx）有且仅有2个零点．
【点评】本题考查利用导数求函数的极值，考查函数零点的判定，考查数学转化思想方
法，考查函数与方程思想，考查逻辑思维能力与推理运算能力，难度较大．
21．（12分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此
进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白
鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试
验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治
愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得﹣1分；若施以乙药的白鼠治愈且施
以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得﹣1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得
0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为 和 ，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求X的分布列； α β
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p（i＝0，1，…，8）表示“甲药的累计
i
得分为 i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p 0 ＝0，p 8 ＝1，p i ＝ap i﹣
+bp+cp （i＝1，2，…，7），其中a＝P（X＝﹣1），b＝P（X＝0），c＝P（X＝
1 i i+1
1）．假设 ＝0.5， ＝0.8．
（i）证明：α{p
i+1
﹣pβi }（i＝0，1，2，…，7）为等比数列；
（ii）求p ，并根据p 的值解释这种试验方案的合理性．
4 4
【分析】（1）由题意可得X的所有可能取值为﹣1，0，1，再由相互独立试验的概率求
P（X＝﹣1），P（X＝0），P（X＝1）的值，则X的分布列可求；
（2）（i）由 ＝0.5， ＝0.8结合（1）求得a，b，c的值，代入p i ＝ap i﹣1 +bp i +cp i+1 ，
得到（p
i+1
﹣p
i
）α ＝4（pβ
i
﹣p
i﹣1
），由p
1
﹣p
0
＝p
1
≠0，可得{p
i+1
﹣p
i
}（i＝0，1，2，…，
7）为公比为4，首项为p 的等比数列；
1
（ii）由（i）可得，p ＝（p ﹣p ）+（p ﹣p ）+…+（p ﹣p ）+p ，利用等比数列的前
8 8 7 7 6 1 0 0
n项和与p ＝1，得p ＝ ，进一步求得p ＝ ．P 表示最终认为甲药更有效的
8 1 4 4
概率，结合 ＝0.5， ＝0.8，可得在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药
α β
更有效的概率为 ，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验
方案合理．
【解答】（1）解：X的所有可能取值为﹣1，0，1．
P（X＝﹣1）＝（1﹣ ） ，P（X＝0）＝ +（1﹣ ）（1﹣ ），P（X＝1）＝ （1﹣
）， α β αβ α β α
β∴X的分布列为：
X ﹣1 0 1
P （1﹣ ） +（1﹣ ）（1﹣ （1﹣ ）
）
α β αβ α α β
（2）（i）证明：∵ ＝0.5， ＝0.8， β
∴由（1）得，a＝0.4α，b＝0.5β，c＝0.1．因此p i ＝0.4p i﹣1 +0.5p i +0.1p i+1 （i＝1，2，…，7），
故0.1（p
i+1
﹣p
i
）＝0.4（p
i
﹣p
i﹣1
），即（p
i+1
﹣p
i
）＝4（p
i
﹣p
i﹣1
），
又∵p ﹣p ＝p ≠0，∴{p ﹣p}（i＝0，1，2，…，7）为公比为4，首项为p 的等比数
1 0 1 i+1 i 1
列；
（ii）解：由（i）可得，
p ＝（p ﹣p ）+（p ﹣p ）+…+（p ﹣p ）+p ＝ ，
8 8 7 7 6 1 0 0
∵p ＝1，∴p ＝ ，
8 1
∴P ＝（p ﹣p ）+（p ﹣p ）+（p ﹣p ）+（p ﹣p ）+p ＝ p ＝ ．
4 4 3 3 2 2 1 1 0 0 1
P 表示最终认为甲药更有效的概率．
4
由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概
率为 ，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．
【点评】本题是函数与数列的综合题，主要考查数列和函数的应用，考查离散型随机变
量的分布列，根据条件推出数列的递推关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的
难度．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数）．以
坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2 cos +
sin +11＝0． ρ θ
（1ρ）求θC和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
【分析】（1）把曲线C的参数方程变形，平方相加可得普通方程，把x＝ cos ，y＝
sin 代入2 cos + sin +11＝0，可得直线l的直角坐标方程； ρ θ
ρ θ ρ θ ρ θ（2）法一、设出椭圆上动点的坐标（参数形式），再由点到直线的距离公式写出距离，
利用三角函数求最值；
法二、写出与直线l平行的直线方程为 ，与曲线C联立，化为关于x的一
元二次方程，利用判别式大于0求得m，转化为两平行线间的距离求C上的点到l距离
的最小值．
【解答】解：（1）由 （t为参数），得 ，
两式平方相加，得 （x≠﹣1），
∴C的直角坐标方程为 （x≠﹣1），
由2 cos + sin +11＝0，得 ．
即直ρ线lθ的直角ρ坐标θ 方程为得 ；
（2）法一、设C上的点P（cos ，2sin ）（ ≠ ），
则P到直线得 的θ距离为：θ θ π
d＝ ＝ ．
∴当sin（ + ）＝﹣1时，d有最小值为 ．
法二、设与θ直φ线 平行的直线方程为 ，
联立 ，得16x2+4mx+m2﹣12＝0．
由△＝16m2﹣64（m2﹣12）＝0，得m＝±4．
∴当m＝4时，直线 与曲线C的切点到直线 的距离最小，
为 ．
【点评】本题考查间单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与椭圆
位置关系的应用，训练了两平行线间的距离公式的应用，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：
（1） + + ≤a2+b2+c2；
（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．
【分析】（1）利用基本不等式和1的运用可证，（2）分析法和综合法的证明方法可证．
【解答】证明：（1）分析法：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．
要证（1） + + ≤a2+b2+c2；因为abc＝1．
就要证： + + ≤a2+b2+c2；
即证：bc+ac+ab≤a2+b2+c2；
即：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2；
2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0
（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0；
∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．
∴（a﹣b）2≥0；（a﹣c）2≥0；（b﹣c）2≥0恒成立；当且仅当：a＝b＝c＝1时取等
号．
即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0得证．
故 + + ≤a2+b2+c2得证．
（2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24成立；
即：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．
（a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数；
（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）；
当且仅当（a+b）＝（b+c）＝（c+a）时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；
∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．
（a+b）≥2 ；（b+c）≥2 ；（c+a）≥2 ；
当且仅当a＝b，b＝c；c＝a时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；
∴（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）≥3×8 • • ＝
24abc＝24；
当且仅当a＝b＝c＝1时取等号；故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．得证．
故得证．
【点评】本题考查重要不等式和基本不等式的运用，分析法和综合法的证明方法．
