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2017 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=（ ）
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{2，3，4} D．{1，3，4}
2．（5分）（1+i）（2+i）=（ ）
A．1﹣i B．1+3i C．3+i D．3+3i
3．（5分）函数f（x）=sin（2x+ ）的最小正周期为（ ）
A．4π B．2π C．π D．
4．（5分）设非零向量 ， 满足| + |=| ﹣ |则（ ）
A． ⊥ B．| |=| | C． ∥ D．| |＞| |
5．（5分）若a＞1，则双曲线 ﹣y2=1的离心率的取值范围是（ ）
A．（ ，+∞） B．（ ，2） C．（1， ） D．（1，2）
6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的
三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积
为（ ）
A．90π B．63π C．42π D．36π7．（5分）设x，y满足约束条件 ，则z=2x+y的最小值是（ ）
A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9
8．（5分）函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（ ）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（4，+∞）
9．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师
说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙
看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．
根据以上信息，则（ ）
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
10．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
11．（5分）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再
随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为
（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为 的直线交C于点M（M
在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距
离为（ ）
A． B．2 C．2 D．3
二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为 ．
14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x （﹣∞，0）时，f
（x）=2x3+x2，则f（2）= ．
∈
15．（5分）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，
则球O的表面积为 ．
16 ． （ 5 分 ） △ ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 若
2bcosB=acosC+ccosA，则B= ．
三、解答题：共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第 17至
21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23题为选考题，考生根
据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知等差数列{a }的前n项和为S ，等比数列{b }的前n项和为
n n n
T，a =﹣1，b =1，a +b =2．
n 1 1 2 2
（1）若a +b =5，求{b }的通项公式；
3 3 n
（2）若T =21，求S ．
3 318．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面
ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°．
（1）证明：直线BC∥平面PAD；
（2）若△PCD面积为2 ，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
19．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收
获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频
率分布直方图如下：
（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖
方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg
旧养殖法新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．
附：
P（K2≥K） 0.050 0.010 0.001
K 3.841 6.635 10.828
K2= ．
20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C： +y2=1上，过M作x轴的
垂线，垂足为N，点P满足 = ．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线x=﹣3上，且 • =1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l
过C的左焦点F．
21．（12分）设函数f（x）=（1﹣x2）ex．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围．选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所
做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcosθ=4．
1
（1）M为曲线C 上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点
1
P的轨迹C 的直角坐标方程；
2
（2）设点A的极坐标为（2， ），点B在曲线C 上，求△OAB面积的最大值．
2
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知a＞0，b＞0，a3+b3=2．证明：
（1）（a+b）（a5+b5）≥4；
（2）a+b≤2．2017 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=（ ）
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{2，3，4} D．{1，3，4}
【考点】1D：并集及其运算．
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【专题】11：计算题；49：综合法．
【分析】集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，求A∪B，可用并集的定义直接求
出两集合的并集．
【解答】解：∵A={1，2，3}，B={2，3，4}，
∴A∪B={1，2，3，4}
故选：A．
【点评】本题考查并集及其运算，解题的关系是正确理解并集的定义及求并集
的运算规则，是集合中的基本概念型题．
2．（5分）（1+i）（2+i）=（ ）
A．1﹣i B．1+3i C．3+i D．3+3i
【考点】A5：复数的运算．
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【专题】35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解：原式=2﹣1+3i=1+3i．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础
题．3．（5分）函数f（x）=sin（2x+ ）的最小正周期为（ ）
A．4π B．2π C．π D．
【考点】H1：三角函数的周期性．
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【专题】38：对应思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质．
【分析】利用三角函数周期公式，直接求解即可．
【解答】解：函数f（x）=sin（2x+ ）的最小正周期为： =π．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的周期的求法，是基础题．
4．（5分）设非零向量 ， 满足| + |=| ﹣ |则（ ）
A． ⊥ B．| |=| | C． ∥ D．| |＞| |
【考点】91：向量的概念与向量的模．
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【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．
【分析】由已知得 ，从而 =0，由此得到 ．
【解答】解：∵非零向量 ， 满足| + |=| ﹣ |，
∴ ，
，
，
解得 =0，
∴ ．
故选：A．
【点评】本题考查两个向量的关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注
意向量的模的性质的合理运用．5．（5分）若a＞1，则双曲线 ﹣y2=1的离心率的取值范围是（ ）
A．（ ，+∞） B．（ ，2） C．（1， ） D．（1，2）
【考点】KC：双曲线的性质．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用双曲线方程，求出a，c然后求解双曲线的离心率的范围即可．
【解答】解：a＞1，则双曲线 ﹣y2=1的离心率为： = = （1，
∈
）．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的
三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积
为（ ）
A．90π B．63π C．42π D．36π
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
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【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一
半，即可求出几何体的体积．
【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱
的一半，
V=π•32×10﹣ •π•32×6=63π，
故选：B．
【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．（5分）设x，y满足约束条件 ，则z=2x+y的最小值是（ ）
A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9
【考点】7C：简单线性规划．
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【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小
值即可．
【解答】解：x、y满足约束条件 的可行域如图：
z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值，
由 解得A（﹣6，﹣3），
则z=2x+y 的最小值是：﹣15．故选：A．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．
8．（5分）函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（ ）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（4，+∞）
【考点】3G：复合函数的单调性．
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【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】由x2﹣2x﹣8＞0得：x （﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），令 t=x2﹣2x﹣
8，则y=lnt，结合复合函数单调性“同增异减”的原则，可得答案．
∈
【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0得：x （﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），
令t=x2﹣2x﹣8，则y=lnt，
∈
∵x （﹣∞，﹣2）时，t=x2﹣2x﹣8为减函数；
x （4，+∞）时，t=x2﹣2x﹣8为增函数；
∈
y=lnt为增函数，
∈
故函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞），
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，对数函数的图象和性质，二
次数函数的图象和性质，难度中档．
9．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师
说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙
看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．
根据以上信息，则（ ）A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
【考点】F4：进行简单的合情推理．
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【专题】2A：探究型；35：转化思想；48：分析法；5M：推理和证明．
【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出
正确答案
【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，
甲不知自己的成绩
→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会
知道自己的成绩）
→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩
→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，
给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，
则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙
看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道
自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲
丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已
的成绩了
故选：D．
【点评】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师
所说及最后甲说话，属于中档题．
10．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】EF：程序框图．
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【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．
【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，K值，当K=7时，程序终
止即可得到结论．
【解答】解：执行程序框图，有S=0，K=1，a=﹣1，代入循环，
第一次满足循环，S=﹣1，a=1，K=2；
满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，K=3；
满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，K=4；
满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，K=5；
满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，K=6；
满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，K=7；
K≤6不成立，退出循环输出S的值为3．故选：B．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础．
11．（5分）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再
随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为
（ ）
A． B． C． D．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．
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【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】先求出基本事件总数n=5×5=25，再用列举法求出抽得的第一张卡片
上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一
张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率．
【解答】解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后
再随机抽取1张，
基本事件总数n=5×5=25，
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：
（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，
1），（5，2），（5，3），（5，4），
共有m=10个基本事件，
∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p= = ．
故选：D．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的
合理运用．
12．（5分）过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为 的直线交C于点M（M
在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距
离为（ ）
A． B．2 C．2 D．3【考点】K8：抛物线的性质；KN：直线与抛物线的综合．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性
质与方程．
【分析】利用已知条件求出M的坐标，求出N的坐标，利用点到直线的距离公
式求解即可．
【解答】解：抛物线 C：y2=4x的焦点 F（1，0），且斜率为 的直线：y=
（x﹣1），
过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为 的直线交C于点M（M在x轴上方），
l
可知： ，解得M（3，2 ）．
可得N（﹣1，2 ），NF的方程为：y=﹣ （x﹣1），即 ，
则M到直线NF的距离为： =2 ．
故选：C．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．
二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为 ．
【考点】HW：三角函数的最值．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的
图像与性质．
【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的有界性求解即可．
【解答】解：函数f（x）=2cosx+sinx= （ cosx+ sinx）= sin（x+θ），
其中tanθ=2，
可知函数的最大值为： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，正弦函数的有界性的应用，考查计算能力．
14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x （﹣∞，0）时，f
（x）=2x3+x2，则f（2）= 12 ． ∈
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；3P：抽象函数及其应用．
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【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】由已知中当x （﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，先求出f（﹣2），进而
根据奇函数的性质，可得答案．
∈
【解答】解：∵当x （﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，
∴f（﹣2）=﹣12，
∈
又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（2）=12，
故答案为：12
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度不大，属于
基础题．
15．（5分）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，
则球O的表面积为 14π ．
【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．
【分析】求出球的半径，然后求解球的表面积．
【解答】解：长方体的长、宽、高分别为 3，2，1，其顶点都在球O的球面上，
可知长方体的对角线的长就是球的直径，
所以球的半径为： = ．
则球O的表面积为：4× =14π．
故答案为：14π．
【点评】本题考查长方体的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
16 ． （ 5 分 ） △ ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 若
2bcosB=acosC+ccosA，则B= ．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；56：三角函数的求值；
58：解三角形．
【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式计算即可
【解答】解：∵2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得，
2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，
∴cosB= ，
∵0＜B＜π，
∴B= ，
故答案为：
【点评】本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，属于基础题
三、解答题：共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第 17至
21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23题为选考题，考生根
据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知等差数列{a }的前n项和为S ，等比数列{b }的前n项和为
n n n
T，a =﹣1，b =1，a +b =2．
n 1 1 2 2
（1）若a +b =5，求{b }的通项公式；
3 3 n
（2）若T =21，求S ．
3 3
【考点】8E：数列的求和；8M：等差数列与等比数列的综合．
菁优网版权所有【专题】34：方程思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）设等差数列{a }的公差为d，等比数列{b }的公比为q，运用等差
n n
数列和等比数列的通项公式，列方程解方程可得 d，q，即可得到所求通项公
式；
（2）运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，再由等差数列的通项公式和
求和，计算即可得到所求和．
【解答】解：（1）设等差数列{a }的公差为d，等比数列{b }的公比为q，
n n
a =﹣1，b =1，a +b =2，a +b =5，
1 1 2 2 3 3
可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q2=5，
解得d=1，q=2或d=3，q=0（舍去），
则{b }的通项公式为b =2n﹣1，n N*；
n n
（2）b =1，T =21，
1 3 ∈
可得1+q+q2=21，
解得q=4或﹣5，
当q=4时，b =4，a =2﹣4=﹣2，
2 2
d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S =﹣1﹣2﹣3=﹣6；
3
当q=﹣5时，b =﹣5，a =2﹣（﹣5）=7，
2 2
d=7﹣（﹣1）=8，S =﹣1+7+15=21．
3
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，求出公
差和公比是解题的关键，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于基础题．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面
ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°．
（1）证明：直线BC∥平面PAD；
（2）若△PCD面积为2 ，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（1）利用直线与平面平行的判定定理证明即可．
（2）利用已知条件转化求解几何体的线段长，然后求解几何体的体积即可．
【解答】（1）证明：四棱锥P﹣ABCD中，∵∠BAD=∠ABC=90°．∴BC∥AD，
∵AD 平面PAD，BC 平面PAD，
∴直线BC∥平面PAD；
⊂ ⊄
（2）解：四棱锥 P﹣ABCD 中，侧面 PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD，
AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°．设AD=2x，
则AB=BC=x，CD= ，O是AD的中点，
连接PO，OC，CD的中点为：E，连接OE，
则OE= ，PO= ，PE= = ，
△PCD面积为2 ，可得： =2 ，
即： ，解得x=2，PO=2 ．
则V = × （BC+AD）×AB×PO= =4 ．
P﹣ABCD【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，
考查空间想象能力以及计算能力．
19．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收
获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频
率分布直方图如下：
（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖
方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．
附：
P（K2≥K） 0.050 0.010 0.001
K 3.841 6.635 10.828
K2= ．
【考点】B8：频率分布直方图；BL：独立性检验．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；48：分析法；5I：概率与统计．
【分析】（1）根据题意，由旧养殖法的频率分布直方图计算可得答案；
（ 2 ） 由 频 率 分 布 直 方 图 可 以 将 列 联 表 补 全 ， 进 而 计 算 可 得 K2=≈15.705＞6.635，与附表比较即可得答案；
（3）由频率分布直方图计算新旧养殖法产量的平均数，比较即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，由旧养殖法的频率分布直方图可得：
P（A）=（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62；
（2）根据题意，补全列联表可得：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 总计
旧养殖法 62 38 100
新养殖法 34 66 100
总计 96 104 200
则有K2= ≈15.705＞6.635，
故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；
（3）由频率分布直方图可得：
旧 养 殖 法 100 个 网 箱 产 量 的 平 均 数 =
1
（27.5×0.012+32.5×0.014+37.5×0.024+42.5×0.034+47.5×0.040+52.5×0.03
2+57.5×0.032+62.5×0.012+67.5×0.012）×5=5×9.42=47.1；
新 养 殖 法 100 个 网 箱 产 量 的 平 均 数 =
2
（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.054+57.5×0.046+62.5×0.01
0+67.5×0.008）×5=5×10.47=52.35；
比较可得： ＜ ，
1 2
故新养殖法更加优于旧养殖法．
【点评】本题考查频率分布直方图、独立性检验的应用，涉及数据平均数、方
差的计算，关键认真分析频率分布直方图．
20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C： +y2=1上，过M作x轴的
垂线，垂足为N，点P满足 = ．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线x=﹣3上，且 • =1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l
过C的左焦点F．【考点】J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的综合．
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【专题】34：方程思想；48：分析法；5A：平面向量及应用；5B：直线与圆．
【分析】（1）设M（x ，y ），由题意可得N（x ，0），设P（x，y），运用
0 0 0
向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程；
（2）设Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数
量积的坐标表示，可得 m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得
OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：向量数量积为0，即可得证．
【解答】解：（1）设M（x ，y ），由题意可得N（x ，0），
0 0 0
设P（x，y），由点P满足 = ．
可得（x﹣x ，y）= （0，y ），
0 0
可得x﹣x =0，y= y ，
0 0
即有x =x，y = ，
0 0
代入椭圆方程 +y2=1，可得 + =1，
即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2；
（2）证明：设Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π），
• =1，可得（ cosα， sinα）•（﹣3﹣ cosα，m﹣ sinα）=1，
即为﹣3 cosα﹣2cos2α+ msinα﹣2sin2α=1，
当α=0时，上式不成立，则0＜α＜2π，
解得m= ，
即有Q（﹣3， ），
椭圆 +y2=1的左焦点F（﹣1，0），
由 • =（﹣1﹣ cosα，﹣ sinα）•（﹣3， ）
=3+3 cosα﹣3（1+ cosα）=0．
可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．另解：设Q（﹣3，t），P（m，n），由 • =1，
可得（m，n）•（﹣3﹣m，t﹣n）=﹣3m﹣m2+nt﹣n2=1，
又P在圆x2+y2=2上，可得m2+n2=2，
即有nt=3+3m，
又椭圆的左焦点F（﹣1，0），
• =（﹣1﹣m，﹣n）•（﹣3，t）=3+3m﹣nt
=3+3m﹣3﹣3m=0，
则 ⊥ ，
可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，
考查圆的参数方程的运用和直线的斜率公式，以及向量的数量积的坐标表示
和两直线垂直的条件：向量数量积为 0，考查化简整理的运算能力，属于中
档题．
21．（12分）设函数f（x）=（1﹣x2）ex．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）求出函数的导数，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的
单调性即可．
（2）化简f（x）=（1﹣x）（1+x）ex．f（x）≤ax+1，下面对a的范围进行讨论：
①当a≥1时，②当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex﹣x﹣1，则g′（x）=ex﹣1＞0
（x＞0），推出结论；③当a≤0时，推出结果，然后得到a的取值范围．
【解答】解：（1）因为f（x）=（1﹣x2）ex，x R，
所以f′（x）=（1﹣2x﹣x2）ex，
∈
令f′（x）=0可知x=﹣1± ，
当x＜﹣1﹣ 或x＞﹣1+ 时f′（x）＜0，当﹣1﹣ ＜x＜﹣1+ 时f′（x）＞
0，所以f（x）在（﹣∞，﹣1﹣ ），（﹣1+ ，+∞）上单调递减，在（﹣1﹣
，﹣1+ ）上单调递增；
（2）由题可知f（x）=（1﹣x）（1+x）ex．下面对a的范围进行讨论：
①当a≥1时，设函数h（x）=（1﹣x）ex，则h′（x）=﹣xex＜0（x＞0），
因此h（x）在[0，+∞）上单调递减，
又因为h（0）=1，所以h（x）≤1，
所以f（x）=（1+x）h（x）≤x+1≤ax+1；
②当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex﹣x﹣1，则g′（x）=ex﹣1＞0（x＞0），
所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，
又g（0）=1﹣0﹣1=0，
所以ex≥x+1．
因为当0＜x＜1时f（x）＞（1﹣x）（1+x）2，
所以（1﹣x）（1+x）2﹣ax﹣1=x（1﹣a﹣x﹣x2），
取x = （0，1），则（1﹣x ）（1+x ）2﹣ax ﹣1=0，
0 0 0 0
∈
所以f（x ）＞ax +1，矛盾；
0 0
③当 a≤0 时，取 x = （0，1），则 f（x ）＞（1﹣x ）（1+x ）
0 0 0 0
∈
2=1≥ax +1，矛盾；
0
综上所述，a的取值范围是[1，+∞）．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，
考查转化思想以及计算能力．
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所
做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcosθ=4．
1
（1）M为曲线C 上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点
1
P的轨迹C 的直角坐标方程；
2
（2）设点A的极坐标为（2， ），点B在曲线C 上，求△OAB面积的最大值．
2【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
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【专题】38：对应思想；49：综合法；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）设P（x，y），利用相似得出M点坐标，根据|OM|•|OP|=16列
方程化简即可；
（2）求出曲线C 的圆心和半径，得出B到OA的最大距离，即可得出最大面积．
2
【解答】解：（1）曲线C 的直角坐标方程为：x=4，
1
设P（x，y），M（4，y ），则 ，∴y = ，
0 0
∵|OM||OP|=16，
∴ =16，
即（x2+y2）（1+ ）=16，
∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2，
两边开方得：x2+y2=4x，
整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），
∴点P的轨迹C 的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．
2
（2）点A的直角坐标为A（1， ），显然点A在曲线C 上，|OA|=2，
2
∴曲线C 的圆心（2，0）到弦OA的距离d= = ，
2
∴△AOB的最大面积S= |OA|•（2+ ）=2+ ．
【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直
线与圆的位置关系，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知a＞0，b＞0，a3+b3=2．证明：
（1）（a+b）（a5+b5）≥4；
（2）a+b≤2．【考点】R6：不等式的证明．
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【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．
【分析】（1）由柯西不等式即可证明，
（2）由a3+b3=2转化为 =ab，再由均值不等式可得： =ab≤
（ ）2，即可得到 （a+b）3≤2，问题得以证明．
【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（ + ）
2=（a3+b3）2≥4，
当且仅当 = ，即a=b=1时取等号，
（2）∵a3+b3=2，
∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，
∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，
∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，
∴ =ab，
由均值不等式可得： =ab≤（ ）2，
∴（a+b）3﹣2≤ ，
∴ （a+b）3≤2，
∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．
【点评】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属
于中档题
