文档内容
2011 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5 分）设集合 U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则
U
（M∩N）=（ ）
∁
A．{1，2} B．{2，3} C．{2，4} D．{1，4}
2．（5分）函数y= （x≥0）的反函数为（ ）
A．y= （x R） B．y= （x≥0） C．y=4x2（x R） D．y=4x2（x≥0）
∈ ∈
3．（5分）设向量 、 满足| |=| |=1， • =﹣ ，| +2 |=（ ）
A．. B． C．、 D．.
4．（5 分）若变量 x、y 满足约束条件 ，则 z=2x+3y 的最小值为（
）
A．17 B．14 C．5 D．3
5．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（ ）
A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2 D．a3＞b3
6．（5分）设S 为等差数列{a }的前n项和，若a =1，公差d=2，S ﹣S =24，
n n 1 k+2 k
则k=（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
7．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移 个单
位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（ ）
A． B．3 C．6 D．9
8．（5 分）已知直二面角 α﹣l﹣β，点 A α，AC⊥l，C 为垂足，点 B β，
BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则 ∈CD=（ ）
∈
A．2 B． C． D．1
9．（5分）4位同学每人从甲、乙、丙 3门课程中选修 1门，则恰有2人选修
课程甲的不同选法共有（ ）A．12种 B．24种 C．30种 D．36种
10．（5分）设f（x）是周期为 2的奇函数，当 0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣
x），则 =（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
11．（5分）设两圆C 、C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心
1 2
的距离|C C |=（ ）
1 2
A．4 B． C．8 D．
12．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面
β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为
（ ）
A．7π B．9π C．11π D．13π
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）（1﹣x）10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为： ．
14．（5分）已知a （π， ），tanα=2，则cosα= ．
∈
15．（5分）已知正方体ABCD﹣A B C D 中，E为C D 的中点，则异面直线 AE
1 1 1 1 1 1
与BC所成的角的余弦值为 ．
16．（5分）已知F 、F 分别为双曲线C： 的左、右焦点，点A C，
1 2
∈
点M的坐标为（2，0），AM为∠F AF 的平分线，则|AF |= ．
1 2 2
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）设等比数列{a }的前n项和为S ，已知a =6，6a +a =30，求a 和
n n 2 1 3 n
S ．
n18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为 a、b、c．已知asinA+csinC
﹣ asinC=bsinB，
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c．
19．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买
乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．
（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
20．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边
三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．
（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；
（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．21．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+（3﹣6a）x+12a﹣4（a R）
（Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0处的切线过点（2，2）；
∈
（Ⅱ）若f（x）在x=x 处取得极小值，x （1，3），求a的取值范围．
0 0
∈
22．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C： 在y轴正半轴上的焦
点，过F且斜率为﹣ 的直线l与C交于A、B两点，点P满足 ．
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．2011 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5 分）设集合 U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则
U
（M∩N）=（ ）
∁
A．{1，2} B．{2，3} C．{2，4} D．{1，4}
【考点】1H：交、并、补集的混合运算．
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【专题】11：计算题．
【分析】先根据交集的定义求出M∩N，再依据补集的定义求出 （M∩N）．
U
【解答】解：∵M={1，2，3}，N={2，3，4}，∴M∩N={2，3}，则
∁ U
（M∩N）={1，4}，
∁
故选：D．
【点评】本题考查两个集合的交集、补集的定义，以及求两个集合的交集、补
集的方法．
2．（5分）函数y= （x≥0）的反函数为（ ）
A．y= （x R） B．y= （x≥0） C．y=4x2（x R） D．y=4x2（x≥0）
∈ ∈
【考点】4R：反函数．
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【专题】11：计算题．
【分析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，注明
反函数的定义域（即原函数的值域）．
【解答】解：∵y= （x≥0），
∴x= ，y≥0，故反函数为y= （x≥0）．
故选：B．
【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数
的定义域是原函数的值域．
3．（5分）设向量 、 满足| |=| |=1， • =﹣ ，| +2 |=（ ）
A．. B． C．、 D．.
【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．
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【专题】11：计算题．
【分析】由| +2 |= = ，代入已知可求
【解答】解：∵| |=| |=1， • =﹣ ，
| +2 |= = =
故选：B．
【点评】本题主要考查了向量的数量积 性质的基本应用，属于基础试题
4．（5 分）若变量 x、y 满足约束条件 ，则 z=2x+3y 的最小值为（
）
A．17 B．14 C．5 D．3
【考点】7C：简单线性规划．
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【专题】31：数形结合．
【分析】我们先画出满足约束条件 的平面区域，然后求出平面区域内各个顶点的坐标，再将各个顶点的坐标代入目标函数，比较后即可得到目
标函数的最值．
【解答】解：约束条件 的平面区域如图所示：
由图可知，当x=1，y=1时，目标函数z=2x+3y有最小值为5
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域是
解答本题的关键．
5．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（ ）
A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2 D．a3＞b3
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．
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【专题】5L：简易逻辑．
【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1 a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b
推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出
⇒
选项．
【解答】解：a＞b+1 a＞b；
反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，
⇒
故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．
故选：A．
【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法．
6．（5分）设S 为等差数列{a }的前n项和，若a =1，公差d=2，S ﹣S =24，
n n 1 k+2 k
则k=（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【考点】85：等差数列的前n项和．
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【专题】11：计算题．
【分析】先由等差数列前n项和公式求得S ，S ，将S ﹣S =24转化为关于k
k+2 k k+2 k
的方程求解．
【解答】解：根据题意：
S =（k+2）2，S =k2
k+2 k
∴S ﹣S =24转化为：
k+2 k
（k+2）2﹣k2=24
∴k=5
故选：D．
【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程
思想，属中档题．
7．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移 个单
位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（ ）
A． B．3 C．6 D．9
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
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【专题】56：三角函数的求值．
【分析】函数图象平移 个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数
平移整数个周期，容易得到结果．
【解答】解：f（x）的周期T= ，函数图象平移 个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以 ，k Z．令
∈
k=1，可得ω=6．
故选：C．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的
理解，考查技术能力，常考题型．
8．（5 分）已知直二面角 α﹣l﹣β，点 A α，AC⊥l，C 为垂足，点 B β，
BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则 ∈CD=（ ）
∈
A．2 B． C． D．1
【考点】MK：点、线、面间的距离计算．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据线面垂直的判定与性质，可得AC⊥CB，△ACB为直角三角形，利
用勾股定理可得BC的值；进而在Rt△BCD中，由勾股定理可得CD的值，即
可得答案．
【解答】解：根据题意，直二面角α﹣l﹣β，点A α，AC⊥l，可得AC⊥面β，
则AC⊥CB，△ACB为Rt△，且AB=2，AC=1，
∈
由勾股定理可得，BC= ；
在Rt△BCD中，BC= ，BD=1，
由勾股定理可得，CD= ；
故选：C．
【点评】本题考查两点间距离的计算，计算时，一般要把空间图形转化为平面
图形，进而构造直角三角形，在直角三角形中，利用勾股定理计算求解．9．（5分）4位同学每人从甲、乙、丙 3门课程中选修 1门，则恰有2人选修
课程甲的不同选法共有（ ）
A．12种 B．24种 C．30种 D．36种
【考点】D3：计数原理的应用．
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【专题】11：计算题．
【分析】本题是一个分步计数问题，恰有2人选修课程甲，共有C 2种结果，余
4
下的两个人各有两种选法，共有2×2种结果，根据分步计数原理得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，
∵恰有2人选修课程甲，共有C 2=6种结果，
4
∴余下的两个人各有两种选法，共有2×2=4种结果，
根据分步计数原理知共有6×4=24种结果
故选：B．
【点评】本题考查分步计数问题，解题时注意本题需要分步来解，观察做完这
件事一共有几步，每一步包括几种方法，这样看清楚把结果数相乘得到结果．
10．（5分）设f（x）是周期为 2的奇函数，当 0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣
x），则 =（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【考点】3I：奇函数、偶函数；3Q：函数的周期性．
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【专题】11：计算题．
【分析】由题意得 =f（﹣ ）=﹣f（ ），代入已知条件进行运算．
【解答】解：∵f（x）是周期为 2的奇函数，当 0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣
x），
∴ =f（﹣ ）=﹣f（ ）=﹣2× （1﹣ ）=﹣ ，故选：A．
【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．
11．（5分）设两圆C 、C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心
1 2
的距离|C C |=（ ）
1 2
A．4 B． C．8 D．
【考点】J1：圆的标准方程．
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【专题】5B：直线与圆．
【分析】圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a），（b，b），利用条件可
得a和b分别为x2﹣10x+17=0 的两个实数根，再利用韦达定理求得两圆心的
距离|C C |= • 的值．
1 2
【解答】解：∵两圆C 、C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），故圆在第
1 2
一象限内，
设两个圆的圆心的坐标分别为（a，a），（b，b），由于两圆都过点（4，
1），
则有 =|a|，| =|b|，
故a和b分别为（x﹣4）2+（x﹣1）2=x2 的两个实数根，
即a和b分别为x2﹣10x+17=0 的两个实数根，∴a+b=10，ab=17，
∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=32，∴两圆心的距离|C C |= • =8，
1 2
故选：C．
【点评】本题考查直线和圆相切的性质，两点间的距离公式、韦达定理的应用，
属于基础题．
12．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面
β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为
（ ）
A．7π B．9π C．11π D．13π【考点】MJ：二面角的平面角及求法．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出求出OM的长，找出二面
角的平面角，从而求出 ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆 N的半径，
从而求出面积．
【解答】解：∵圆M的面积为4π
∴圆M的半径为2
根据勾股定理可知OM=
∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N
∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=
∴圆N的半径为
则圆的面积为13π
故选：D．
【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间
想象能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）（1﹣x）10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为： 0 ．
【考点】DA：二项式定理．
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【专题】11：计算题．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数分别取1；
9求出展开式的x的系数与x9的系数；求出两个系数的差．
【解答】解：展开式的通项为T =（﹣1）rC rxr
r+1 10
所以展开式的x的系数﹣10
x9的系数﹣10x的系数与x9的系数之差为（﹣10）﹣（﹣10）=0
故答案为：0
【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
14．（5分）已知a （π， ），tanα=2，则cosα= ﹣ ．
∈
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．
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【专题】11：计算题．
【分析】先利用α的范围确定cosα的范围，进而利用同脚三角函数的基本关系，
求得cosα的值．
【解答】解：∵a （π， ），
∈
∴cosα＜0
∴cosα=﹣ =﹣
故答案为：﹣
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．解题的关键是利用那
个角的范围确定三角函数符号．
15．（5分）已知正方体ABCD﹣A B C D 中，E为C D 的中点，则异面直线 AE
1 1 1 1 1 1
与BC所成的角的余弦值为 ．
【考点】LM：异面直线及其所成的角．
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【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合；35：转化思想．
【分析】根据题意知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，解三角
形即可求得结果．
【解答】解：连接DE，设AD=2
易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，
在△RtADE中，由于DE= ，AD=2，可得AE=3
∴cos∠DAE= = ，
故答案为： ．
【点评】此题是个基础题．考查异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，
转化为平面角问题来解决，体现了数形结合和转化的思想．
16．（5分）已知F 、F 分别为双曲线C： 的左、右焦点，点A C，
1 2
∈
点M的坐标为（2，0），AM为∠F AF 的平分线，则|AF |= 6 ．
1 2 2
【考点】KC：双曲线的性质．
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【专题】16：压轴题．
【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两
条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立
求出焦半径．
【解答】解：
不妨设A在双曲线的右支上
∵AM为∠F AF 的平分线
1 2
∴ =
又∵|AF |﹣|AF |=2a=6
1 2
解得|AF |=6
2故答案为6
【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常
用双曲线的定义．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）设等比数列{a }的前n项和为S ，已知a =6，6a +a =30，求a 和
n n 2 1 3 n
S ．
n
【考点】88：等比数列的通项公式；89：等比数列的前n项和．
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【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】设出等比数列的公比为 q，然后根据等比数列的通项公式化简已知得
两等式，得到关于首项与公比的二元一次方程组，求出方程组的解即可得到
首项和公比的值，根据首项和公比写出相应的通项公式及前n项和的公式即
可．
【解答】解：设{a }的公比为q，由题意得：
n
，
解得： 或 ，
当a =3，q=2时：a =3×2n﹣1，S =3×（2n﹣1）；
1 n n
当a =2，q=3时：a =2×3n﹣1，S =3n﹣1．
1 n n
【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求
值，是一道基础题．
18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为 a、b、c．已知asinA+csinC
﹣ asinC=bsinB，
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c．
【考点】HU：解三角形．
菁优网版权所有【专题】11：计算题．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余
弦定理中求得cosB的值，进而求得B．
（Ⅱ）利用两角和公式先求得sinA的值，进而利用正弦定理分别求得a和c．
【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得a2+c2﹣ ac=b2，
由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，
故cosB= ，B=45°
（Ⅱ）sinA=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=
故a=b× = =1+
∴c=b× =2× =
【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活
运用．
19．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买
乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．
（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；CN：二项分布与n次独立重复试验的
模型．
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【专题】5I：概率与统计．
【分析】（I）设该车主购买乙种保险的概率为 P，由相互独立事件概率公式可
得P（1﹣0.5）=0.3，解可得p，先求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概
率，由对立事件的概率性质计算可得答案．
（II）该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买，是一个 n次独
立重复试验恰好发生k次的概率，根据上一问的结果得到该地的一位车主甲、乙两种保险都不购买的概率，代入公式得到结果．
【解答】解：（I）设该车主购买乙种保险的概率为p，
根据题意可得p×（1﹣0.5）=0.3，解可得p=0.6，
该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.2，
由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率1﹣0.2=0.8
（II）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为 0.2，则该地的3位车主中恰
有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率P=C 1×0.2×0.82=0.384．
3
【点评】本题考查互斥事件的概率公式加法公式，考查n次独立重复试验恰好
发生k次的概率，考查对立事件的概率公式，是一个综合题目．
20．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边
三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．
（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；
（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．
【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．
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【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交
的直线SA，SB；在证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可
（ Ⅱ ） 求 AB 与 平 面 SBC 所 成 的 角 的 大 小 即 利 用 平 面 SBC 的 法 向 量
，当 为锐角时，所求的角即为它的
余角；当 为钝角时，所求的角为
【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，
∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1∴AD= =
∵侧面SAB为等边三角形，AB=2
∴SA=2
∵SD=1
∴AD2=SA2+SD2
∴SD⊥SA
同理：SD⊥SB
∵SA∩SB=S，SA，SB 面SAB
∴SD⊥平面SAB
⊂
（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系
则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），
作出S在底面上的投影 M，则由四棱锥 S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面
SAB为等边三角形知，M点一定在 x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得
MD= ，从而解得SM= ，故可得S（ ，0， ）
则
设平面SBC的一个法向量为
则 ，
即
取x=0，y= ，z=1
即平面SBC的一个法向量为 =（0， ，1）
又 =（0，2，0）
cos＜ ， ＞= = =∴＜ ， ＞=arccos
即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin
【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向
量的基本知识，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+（3﹣6a）x+12a﹣4（a R）
（Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0处的切线过点（2，2）；
∈
（Ⅱ）若f（x）在x=x 处取得极小值，x （1，3），求a的取值范围．
0 0
∈
【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方
程．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）在x=0处的导数和f（0）的值，结合直线方程的
点斜式方程，可求切线方程；
（Ⅱ）f（x）在x=x 处取得最小值必是函数的极小值，可以先通过讨论导数的零
0
点存在性，得出函数有极小值的 a的大致取值范围，然后通过极小值对应的
x （1，3），解关于a的不等式，从而得出取值范围
0
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2+6ax+3﹣6a
∈
由f（0）=12a﹣4，f′（0）=3﹣6a，
可得曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y=（3﹣6a）x+12a﹣4，
当x=2时，y=2（3﹣6a）+12a﹣4=2，可得点（2，2）在切线上
∴曲线y=f（x）在x=0的切线过点（2，2）
（Ⅱ）由f′（x）=0得x2+2ax+1﹣2a=0…（1）
方程（1）的根的判别式
①当 时，函数f（x）没有极小值
②当 或 时，
由f′（x）=0得
故x =x ，由题设可知
0 2
（i）当 时，不等式 没有实数解；
（ii）当 时，不等式
化为a+1＜ ＜a+3，
解得
综合①②，得a的取值范围是
【点评】将字母a看成常数，讨论关于x的三次多项式函数的极值点，是解决
本题的难点，本题中处理关于a的无理不等式，计算也比较繁，因此本题对
能力的要求比较高．
22．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C： 在y轴正半轴上的焦
点，过F且斜率为﹣ 的直线l与C交于A、B两点，点P满足 ．
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合．
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【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想．
【分析】（1）要证明点 P 在 C 上，即证明 P 点的坐标满足椭圆 C 的方程
，根据已知中过F且斜率为﹣ 的直线l与C交于A、B两点，点P
满足 ，我们求出点P的坐标，代入验证即可．
（2）若A、P、B、Q四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的
方程，然后将第四点坐标代入验证即可．
【解答】证明：（Ⅰ）设A（x ，y ），B（x ，y ）
1 1 2 2
椭圆C： ①，则直线AB的方程为：y=﹣ x+1 ②
联立方程可得4x2﹣2 x﹣1=0，
则x +x = ，x ×x =﹣
1 2 1 2
则y +y =﹣ （x +x ）+2=1
1 2 1 2
设P（p ，p ），
1 2
则有： =（x ，y ）， =（x ，y ）， =（p ，p ）；
1 1 2 2 1 2
∴ + =（x +x ，y +y ）=（ ，1）； =（p ，p ）=﹣（ + ）=（﹣
1 2 1 2 1 2
，﹣1）
∴p的坐标为（﹣ ，﹣1）代入①方程成立，所以点P在C上．
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．设线段AB的中点坐标为（ ， ），即（ ， ），
则过线段 AB 的中点且垂直于 AB 的直线方程为：y﹣ = （x﹣ ），即 y=
x+ ；③
∵P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点，
则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=﹣ x④；
③④联立方程组，解之得：x=﹣ ，y=
③④的交点就是圆心O （﹣ ， ），
1
r2=|O P|2=（﹣ ﹣（﹣ ））2+（﹣1﹣ ）2=
1
故过P Q两点圆的方程为：（x+ ）2+（y﹣ ）2= …⑤，
把y=﹣ x+1 …②代入⑤，
有x +x = ，y +y =1
1 2 1 2
∴A，B也是在圆⑤上的．
∴A、P、B、Q四点在同一圆上．
【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，
其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键．
