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2017 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） A． B． C． D．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 6．（5分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，
是符合题目要求的。 则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）
1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（ ）
A．A∩B={x|x＜ }B．A∩B=
∅
C．A∪B={x|x＜ }D．A∪B=R
A． B．
2．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了 n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：
kg）分别是x ，x ，…，x ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（
1 2 n
）
A．x 1 ，x 2 ，…，x n 的平均数 B．x 1 ，x 2 ，…，x n 的标准差 C． D．
C．x ，x ，…，x 的最大值 D．x ，x ，…，x 的中位数
1 2 n 1 2 n
3．（5分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）
7．（5分）设x，y满足约束条件 ，则z=x+y的最大值为（ ）
A．i（1+i）2 B．i2（1﹣i） C．（1+i）2 D．i（1+i）
4．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和
A．0 B．1 C．2 D．3
白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率
8．（5分）函数y= 的部分图象大致为（ ）
是（ ）
A． B． C． D． A． B．
5．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣ =1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐
标是（1，3），则△APF的面积为（ ）A． B． C． D．
12．（5分）设A，B是椭圆C： + =1长轴的两个端点，若 C上存在点M满足∠AMB=120°，
则m的取值范围是（ ）
A．（0，1]∪[9，+∞） B．（0， ]∪[9，+∞）C．（0，1]∪[4，+∞）
C． D．
D．（0， ]∪[4，+∞）
9．（5分）已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（ ）
A．f（x）在（0，2）单调递增
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
B．f（x）在（0，2）单调递减
13．（5分）已知向量 =（﹣1，2）， =（m，1），若向量 + 与 垂直，则m= ．
C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称
D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称 14．（5分）曲线y=x2+ 在点（1，2）处的切线方程为 ．
15．（5分）已知α （0， ），tanα=2，则cos（α﹣ ）= ．
10．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在 和
∈
16．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥
两个空白框中，可以分别填入（ ）
平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．第 17～21题为必选题，每
个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）记S 为等比数列{a }的前n项和．已知S =2，S =﹣6．
n n 2 3
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）求S ，并判断S ，S ，S 是否成等差数列．
n n+1 n n+2
A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2
C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2
11．（5分）△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
a=2，c= ，则C=（ ）
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为 ，求该四棱锥的侧面积．
（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ⅱ）在（ ﹣3s， +3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零
件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）
附：样本（x ，y ）（i=1，2，…，n）的相关系数 r= ，
i i
≈0.09．
19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 30min从该生产线上随机
抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的
尺寸：
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 20．（12分）设A，B为曲线C：y= 上两点，A与B的横坐标之和为4．
零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
（1）求直线AB的斜率；
抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 （2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得 = x=9.97，s= = ≈0.212，
i
≈18.439， （x﹣ ）（i﹣8.5）=﹣2.78，其中x 为抽取的第 i个零件的尺寸，i=1，2，…，
i i
16．
（1）求（x，i）（i=1，2，…，16）的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不
i
随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|＜0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的
进行而系统地变大或变小）．
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（ ﹣3s， +3s）之外的零件，就认为这条生产线在21．（12分）已知函数f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题 [选修4-5：不等式选讲]（10分）
计分。[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（10分） 23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ，（θ为参数），直线l的参
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．
数方程为 ，（t为参数）．
（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为 ，求a．【分析】利用平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义直接求解．
【解答】解：在A中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指
2017 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
标，
参考答案与试题解析
故A不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；
在B 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故B可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
在C中，最大值是一组数据最大的量，故C不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；
是符合题目要求的。
在D中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”，
1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（ ）
故D不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度．
A．A∩B={x|x＜ }B．A∩B= C．A∪B={x|x＜ }D．A∪B=R 故选：B．
【点评】本题考查可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的量的判断，是基础题，解题时要认
∅
真审题，注意平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义的合理运用．
【考点】1E：交集及其运算．
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【专题】11：计算题；37：集合思想；5J：集合．
3．（5分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）
【分析】解不等式求出集合B，结合集合交集和并集的定义，可得结论．
A．i（1+i）2 B．i2（1﹣i） C．（1+i）2 D．i（1+i）
【解答】解：∵集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}={x|x＜ }，
【考点】A5：复数的运算．
∴A∩B={x|x＜ }，故A正确，B错误； 菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．
A∪B={x||x＜2}，故C，D错误；
【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断出结论．
故选：A．
【解答】解：A．i（1+i）2=i•2i=﹣2，是实数．
【点评】本题考查的知识点集合的交集和并集运算，难度不大，属于基础题．
B．i2（1﹣i）=﹣1+i，不是纯虚数．
C．（1+i）2=2i为纯虚数．
2．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了 n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：
D．i（1+i）=i﹣1不是纯虚数．
kg）分别是x ，x ，…，x ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（
1 2 n 故选：C．
）
【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
A．x ，x ，…，x 的平均数 B．x ，x ，…，x 的标准差
1 2 n 1 2 n
C．x ，x ，…，x 的最大值 D．x ，x ，…，x 的中位数
1 2 n 1 2 n 4．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和
白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率
【考点】BC：极差、方差与标准差．
菁优网版权所有 是（ ）
【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】由题意求得双曲线的右焦点 F（2，0），由PF与x轴垂直，代入即可求得P点坐标，根
据三角形的面积公式，即可求得△APF的面积．
【解答】解：由双曲线C：x2﹣ =1的右焦点F（2，0），
PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，
A． B． C． D． 则P（2，3），
∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，
【考点】CF：几何概型． ∴△APF的面积S= ×丨AP丨×丨PF丨= ，
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【专题】35：转化思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
同理当y＜0时，则△APF的面积S= ，
【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．
【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为 1，则正方形的边 故选：D．
长为2，
则黑色部分的面积S= ，
则对应概率P= = ，
故选：B．
【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的
关键．
【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，考查数形结合思想，属于基础题．
5．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣ =1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐
6．（5分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，
标是（1，3），则△APF的面积为（ ） 则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】KC：双曲线的性质．
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A． B．
【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．由 解得A（3，0），
所以z=x+y 的最大值为：3．
故选：D．
C． D．
【考点】LS：直线与平面平行．
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【专题】14：证明题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】利用线面平行判定定理可知B、C、D均不满足题意，从而可得答案．
【解答】解：对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意；
对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；
【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行域，判断目标函数的最优解是解题
对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意；
的关键．
所以选项A满足题意，
故选：A．
8．（5分）函数y= 的部分图象大致为（ ）
【点评】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，注意
解题方法的积累，属于中档题．
7．（5分）设x，y满足约束条件 ，则z=x+y的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3 A．
【考点】7C：简单线性规划．
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【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可．
【解答】解：x，y满足约束条件 的可行域如图：
B．
，则z=x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，A．f（x）在（0，2）单调递增
B．f（x）在（0，2）单调递减
C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称
D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．
C． 菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】由已知中函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），可得f（x）=f（2﹣x），进而可得函数图象的对称
性．
【解答】解：∵函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），
∴f（2﹣x）=ln（2﹣x）+lnx，
即f（x）=f（2﹣x），
D．
即y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
故选：C．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换． 【点评】本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，熟练掌握函数图象的对称性是解答的关键．
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【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；51：函数的性质及应用．
【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可．
10．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在 和
【解答】解：函数y= ，
两个空白框中，可以分别填入（ ）
可知函数是奇函数，排除选项B，
当x= 时，f（ ）= = ，排除A，
x=π时，f（π）=0，排除D．
故选：C．
【点评】本题考查函数的图形的判断，三角函数化简，函数的奇偶性以及函数的特殊点是判断函
数的图象的常用方法．
9．（5分）已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（ ）A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2 ∴cosAsinC+sinAsinC=0，
C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2 ∵sinC≠0，
∴cosA=﹣sinA，
【考点】EF：程序框图． ∴tanA=﹣1，
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【专题】11：计算题；38：对应思想；49：综合法；5K：算法和程序框图．
∵ ＜A＜π，
【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“ ”内不能输入“A＞1000”， ∴A= ，
进而通过偶数的特征确定n=n+2．
由正弦定理可得 = ，
【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，
∴sinC= ，
所以“ ”内不能输入“A＞1000”，
∵a=2，c= ，
又要求n为偶数，且n的初始值为0，
∴sinC= = = ，
所以“ ”中n依次加2可保证其为偶数，
∵a＞c，
所以D选项满足要求，
故选：D． ∴C= ，
【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．
故选：B．
【点评】本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理，属于基础题
11．（5分）△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，
a=2，c= ，则C=（ ）
12．（5分）设A，B是椭圆C： + =1长轴的两个端点，若 C上存在点M满足∠AMB=120°，
A． B． C． D．
则m的取值范围是（ ）
【考点】HP：正弦定理． A．（0，1]∪[9，+∞） B．（0， ]∪[9，+∞）C．（0，1]∪[4，+∞）
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【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；56：三角函数的求值；58：解三角形． D．（0， ]∪[4，+∞）
【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可
【解答】解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
【考点】K4：椭圆的性质．
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∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，
【专题】32：分类讨论；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，【分析】分类讨论，由要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，
当假设椭圆的焦点在x轴上，tan∠AMO= ≥tan60°，当即可求得椭圆的焦点在y轴上时，m
＞3，tan∠AMO= ≥tan60°= ，即可求得m的取值范围．
【解答】解：假设椭圆的焦点在x轴上，则0＜m＜3时，
设椭圆的方程为： （a＞b＞0），设A（﹣a，0），B（a，0），M（x，y），y＞0，
当椭圆的焦点在y轴上时，m＞3，
则a2﹣x2= ，
当M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°，
∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO= ≥tan60°= ，解得：m≥9，
∠MAB=α，∠MBA=β，∠AMB=γ，tanα= ，tanβ= ，
∴m的取值范围是（0，1]∪[9，+∞）
故选A．
则 tanγ=tan[π﹣ （ α+β ） ]=﹣tan （ α+β ） =﹣ =﹣ =﹣ =﹣
=﹣ ，
∴tanγ=﹣ ，当y最大时，即y=b时，∠AMB取最大值，
∴M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°，
∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO= ≥tan60°= ，
解得：0＜m≤1；
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，特殊角的三角函数值，考查分类讨论思想及数形结合思想的
应用，考查计算能力，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知向量 =（﹣1，2）， =（m，1），若向量 + 与 垂直，则m= 7 ．
15．（5分）已知α （0， ），tanα=2，则cos（α﹣ ）= ．
∈
【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．
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【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数．
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用． 菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．
【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出 ，再由向量 + 与 垂直，利用向量垂直的条件能
求出m的值． 【分析】根据同角的三角函数的关系求出sinα= ，cosα= ，再根据两角差的余弦公式即可求
【解答】解：∵向量 =（﹣1，2）， =（m，1），
出．
∴ =（﹣1+m，3），
【解答】解：∵α （0， ），tanα=2，
∵向量 + 与 垂直， ∈
∴sinα=2cosα，
∴（ ）• =（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0，
∵sin2α+cos2α=1，
解得m=7．
解得sinα= ，cosα= ，
故答案为：7．
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则和
∴cos（α﹣ ）=cosαcos +sinαsin = × + × = ，
向量垂直的性质的合理运用．
故答案为：
14．（5分）曲线y=x2+ 在点（1，2）处的切线方程为 x﹣y + 1=0 ． 【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及余弦公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．
16．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
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平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为 36π ．
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可．
【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．
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【解答】解：曲线y=x2+ ，可得y′=2x﹣ ，
【专题】11：计算题；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．
切线的斜率为：k=2﹣1=1． 【分析】判断三棱锥的形状，利用几何体的体积，求解球的半径，然后求解球的表面积．
切线方程为：y﹣2=x﹣1，即：x﹣y+1=0． 【解答】解：三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面
故答案为：x﹣y+1=0． SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，
【点评】本题考查切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力． 可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r，
可得 ，解得r=3．球O的表面积为：4πr2=36π．
由a +a =2， + =2，整理得：q2+4q+4=0，解得：q=﹣2，
故答案为：36π． 1 2
则a =﹣2，a =（﹣2）（﹣2）n﹣1=（﹣2）n，
1 n
∴{a }的通项公式a =（﹣2）n；
n n
（2）由（1）可知：S = = =﹣ [2+（﹣2）n+1]，
n
则S =﹣ [2+（﹣2）n+2]，S =﹣ [2+（﹣2）n+3]，
n+1 n+2
【点评】本题考查球的內接体，三棱锥的体积以及球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计
由S +S =﹣ [2+（﹣2）n+2]﹣ [2+（﹣2）n+3]，
n+1 n+2
算能力．
=﹣ [4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（﹣2）2×（﹣2）n+1]，
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．第 17～21题为必选题，每
=﹣ [4+2（﹣2）n+1]=2×[﹣ （2+（﹣2）n+1）]，
个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）记S 为等比数列{a }的前n项和．已知S =2，S =﹣6． =2S ，
n n 2 3 n
（1）求{a }的通项公式； 即S +S =2S ，
n n+1 n+2 n
（2）求S n ，并判断S n+1 ，S n ，S n+2 是否成等差数列． ∴S n+1 ，S n ，S n+2 成等差数列．
【点评】本题考查等比数列通项公式，等比数列前n项和，等差数列的性质，考查计算能力，属
【考点】89：等比数列的前n项和；8E：数列的求和． 于中档题．
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【专题】35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
【分析】（1）由题意可知a =S ﹣S =﹣6﹣2=﹣8，a = = ，a = = ，由a +a =2，列方程即
3 3 2 1 2 1 2 （1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
可求得q及a ，根据等比数列通项公式，即可求得{a }的通项公式； （2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为 ，求该四棱锥的侧面积．
1 n
（2）由（1）可知．利用等比数列前 n 项和公式，即可求得 S ，分别求得 S ，S ，显然
n n+1 n+2
S +S =2S ，则S ，S ，S 成等差数列．
n+1 n+2 n n+1 n n+2
【解答】解：（1）设等比数列{a }首项为a ，公比为q，
n 1
则a =S ﹣S =﹣6﹣2=﹣8，则a = = ，a = = ，
3 3 2 1 2【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LY：平面与平面垂直．
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【专题】14：证明题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．
=6+2 ．
【分析】（1）推导出 AB⊥PA，CD⊥PD，从而 AB⊥PD，进而 AB⊥平面 PAD，由此能证明平面
PAB⊥平面PAD．
（2）设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO，则PO⊥底面ABCD，且AD= ，PO= ，
由四棱锥P﹣ABCD的体积为 ，求出a=2，由此能求出该四棱锥的侧面积．
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线面、面面
【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，∠BAP=∠CDP=90°，
间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合
∴AB⊥PA，CD⊥PD，
思想、化归与转化思想，是中档题．
又AB∥CD，∴AB⊥PD，
∵PA∩PD=P，∴AB⊥平面PAD，
19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 30min从该生产线上随机
∵AB 平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．
抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的
解：（2）设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO，
⊂
尺寸：
∵PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，平面PAB⊥平面PAD，
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8
∴PO⊥底面ABCD，且AD= = ，PO= ， 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16
∵四棱锥P﹣ABCD的体积为 ，
零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
由AB⊥平面PAD，得AB⊥AD，
经计算得 = x=9.97，s= = ≈0.212，
i
∴V =
P﹣ABCD
= = = = ，
≈18.439， （x﹣ ）（i﹣8.5）=﹣2.78，其中x 为抽取的第 i个零件的尺寸，i=1，2，…，
解得a=2，∴PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2 ，PO= ， i i
∴PB=PC= =2 ，
16．
∴该四棱锥的侧面积：
（1）求（x，i）（i=1，2，…，16）的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不
i
S =S +S +S +S
侧 △PAD △PAB △PDC △PBC 随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|＜0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的
= + + + 进行而系统地变大或变小）．
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（ ﹣3s， +3s）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． ∴剔除离群值后样本标准差为 ≈0.09．
（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ 【点评】本题考查了相关系数的计算，样本均值与标准差的计算，属于中档题．
（ⅱ）在（ ﹣3s， +3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零
件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）
20．（12分）设A，B为曲线C：y= 上两点，A与B的横坐标之和为4．
（1）求直线AB的斜率；
附：样本（x ，y ）（i=1，2，…，n）的相关系数 r= ，
i i （2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
≈0.09． 【考点】I3：直线的斜率；KN：直线与抛物线的综合．
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【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【考点】BS：相关系数．
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【分析】（1）设A（x ， ），B（x ， ），运用直线的斜率公式，结合条件，即可得到所
1 2
【专题】38：对应思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】（1）代入数据计算，比较|r|与0.25的大小作出结论；
求；
（2）（i）计算合格零件尺寸范围，得出结论；
（2）设M（m， ），求出y= 的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，
（ii）代入公式计算即可．
可得m，即有M的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得x ，x 的关系式，再
1 2
【解答】解：（1）r= = =﹣0.18．
由直线AB：y=x+t与y= 联立，运用韦达定理，即可得到t的方程，解得t的值，即可得到所
求直线方程．
∵|r|＜0.25，∴可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．
（2）（i） =9.97，s=0.212，∴合格零件尺寸范围是（9.334，10.606）， 【解答】解：（1）设A（x ， ），B（x ， ）为曲线C：y= 上两点，
1 2
显然第13号零件尺寸不在此范围之内，
∴需要对当天的生产过程进行检查．
则直线AB的斜率为k= = （x +x ）= ×4=1；
1 2
（ii）剔除离群值后，剩下的数据平均值为 =10.02，
（2）设直线AB的方程为y=x+t，代入曲线C：y= ，
=16×0.2122+16×9.972=1591.134，
可得x2﹣4x﹣4t=0，即有x +x =4，x x =﹣4t，
1 2 1 2
∴剔除离群值后样本方差为 （1591.134﹣9.222﹣15×10.022）=0.008，
再由y= 的导数为y′= x，当x＜lna时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
设M（m， ），可得M处切线的斜率为 m，
当x＞lna时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
由C在M处的切线与直线AB平行，可得 m=1，
③当a＜0时，ex﹣a＞0，令f′（x）=0，解得x=ln（﹣ ），
解得m=2，即M（2，1），
当x＜ln（﹣ ）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
由AM⊥BM可得，k •k =﹣1，
AM BM
当x＞ln（﹣ ）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
即为 • =﹣1，
综上所述，当a=0时，f（x）在R上单调递增，
当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
化为x x +2（x +x ）+20=0，
1 2 1 2
即为﹣4t+8+20=0， 当a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣ ））上单调递减，在（ln（﹣ ），+∞）上单调递增，
解得t=7．
（2）①当a=0时，f（x）=e2x＞0恒成立，
则直线AB的方程为y=x+7．
②当a＞0时，由（1）可得f（x） =f（lna）=﹣a2lna≥0，
min
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理
∴lna≤0，∴0＜a≤1，
考查直线的斜率公式的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．
③当a＜0时，由（1）可得：
f（x） =f（ln（﹣ ））= ﹣a2ln（﹣ ）≥0，
21．（12分）已知函数f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x． min
（1）讨论f（x）的单调性；
∴ln（﹣ ）≤ ，
（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．
∴﹣2 ≤a＜0，
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
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综上所述a的取值范围为[﹣2 ，1]
【专题】33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性即可判断，
【点评】本题考查了导数和函数的单调性和函数最值的关系，以及分类讨论的思想，考查了运算
（2）根据（1）的结论，分别求出函数的最小值，即可求出a的范围．
能力和化归能力，属于中档题．
【解答】解：（1）f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x=e2x﹣exa﹣a2x，
∴f′（x）=2e2x﹣aex﹣a2=（2ex+a）（ex﹣a），
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题
①当a=0时，f′（x）＞0恒成立，
计分。[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（10分）
∴f（x）在R上单调递增，
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ，（θ为参数），直线l的参
②当a＞0时，2ex+a＞0，令f′（x）=0，解得x=lna，解得a=8≥﹣4，符合题意．
数方程为 ，（t为参数）．
②当﹣a﹣4＞0时，即a＜﹣4时
（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；
|5sin（θ+4）﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|=5﹣a﹣4=1﹣a=17
（2）若C上的点到l距离的最大值为 ，求a．
解得a=﹣16＜﹣4，符合题意．
【点评】本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值，难点在于如何根据曲
【考点】IT：点到直线的距离公式；QH：参数方程化成普通方程．
菁优网版权所有 线C上的点到直线l距离的最大值求出a．
【专题】34：方程思想；4Q：参数法；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）将曲线C的参数方程化为标准方程，直线l的参数方程化为一般方程，联立两方程
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
可以求得焦点坐标；
23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．
（2）曲线C上的点可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ [0，2π），运用点到直线距离公式可以表示
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
出P到直线l的距离，再结合距离最大值为 进行分析，可以求出a的值．
∈
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．
【解答】解：（1）曲线C的参数方程为 （θ为参数），化为标准方程是： +y2=1；
【考点】R5：绝对值不等式的解法．
a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0； 菁优网版权所有
【专题】32：分类讨论；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式．
联立方程 ，
【分析】（1）当 a=1 时，f（x）=﹣x2+x+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|= ，分 x＞1、
x [﹣1，1]、x （﹣∞，﹣1）三类讨论，结合g（x）与f（x）的单调性质即可求得f（x）≥g
解得 或 ，
∈ ∈
（x）的解集为[﹣1， ]；
所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（﹣ ， ）．
（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2 在[﹣1，1]恒成立 x2﹣ax﹣2≤0 在[﹣1，1]恒成立，只需
（2）l的参数方程 （t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0， ⇔
，解之即可得a的取值范围．
椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ [0，2π），
所以点P到直线l的距离d为：
∈
【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x= 的二次函数，
d= = ，φ满足tanφ= ，且的d的最大值为 ．
①当﹣a﹣4≤0时，即a≥﹣4时，
g（x）=|x+1|+|x﹣1|= ，
|5sin（θ+4）﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|=5+a+4=17当x （1，+∞）时，令﹣x2+x+4=2x，解得x= ，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在
∈
（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1， ]；
当x [﹣1，1]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2．
当x （﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）=f（﹣1）=2．
∈
∈
综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1， ]；
（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需
，解得﹣1≤a≤1，
故a的取值范围是[﹣1，1]．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是关键，考查分类讨论思想与等价转化
思想的综合运用，属于中档题．
