文档内容
2010 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版Ⅱ）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）设全集U={x N |x＜6}，集合A={1，3}，B={3，5}，则 （A∪B）
+ U
=（ ）
∈ ∁
A．{1，4} B．{1，5} C．{2，4} D．{2，5}
2．（5分）不等式 ＜0的解集为（ ）
A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|x＜﹣2}
C．{x|x＜﹣2或x＞3} D．{x|x＞3}
3．（5分）已知sinα= ，则cos（π﹣2α）=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
4．（5分）函数 的反函数是（ ）
A．y=e2x﹣1﹣1（x＞0） B．y=e2x﹣1+1（x＞0）
C．y=e2x﹣1﹣1（x R） D．y=e2x﹣1+1（x R）
∈ ∈
5．（5 分）若变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（5分）如果等差数列{a }中，a +a +a =12，那么a +a +…+a =（ ）
n 3 4 5 1 2 7
A．14 B．21 C．28 D．35
7．（5 分）若曲线 y=x2+ax+b 在点（1，b）处的切线方程是 x﹣y+1=0，则（
）
A．a=1，b=2 B．a=﹣1，b=2 C．a=1，b=﹣2 D．a=﹣1，b=﹣2
8．（5分）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA
垂直于底面 ABC，SA=3，那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为
（ ）
A． B． C． D．9．（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若
每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共
有（ ）
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种
10．（5分）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若 = ， = ，| |
=1，| |=2，则 =（ ）
A． + B． + C． + D． +
11．（5分）与正方体ABCD﹣A B C D 的三条棱AB、CC 、A D 所在直线的距离
1 1 1 1 1 1 1
相等的点（ ）
A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．有且只有3个 D．有无数个
12．（5分）已知椭圆T： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，过右焦点F且
斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若 =3 ，则k=（ ）
A．1 B． C． D．2
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知α是第二象限的角，tanα=﹣ ，则cosα= ．
14．（5分）（x+ ）9展开式中x3的系数是 ．（用数字作答）
15．（5分）已知抛物线 C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为
的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若 ，则p= ．
16．（5分）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M
与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN= ．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）△ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB= ，cos∠ADC=
，求AD．18．（12 分）已知{a }是各项均为正数的等比数列 a +a =2（ ），
n 1 2
a +a +a =64 + + ）
3 4 5
（Ⅰ）求{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）设b =（a + ）2，求数列{b }的前n项和T．
n n n n
19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A B C 中，AC=BC，AA =AB，D为BB 的中
1 1 1 1 1
点，E为AB 上的一点，AE=3EB ．
1 1
（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB 与CD的公垂线；
1
（Ⅱ）设异面直线AB 与CD的夹角为45°，求二面角A ﹣AC ﹣B 的大小．
1 1 1 120．（12 分）如图，由 M 到N的电路中有 4个元件，分别标为 T ，T ，T ，
1 2 3
T ，电流能通过T ，T ，T 的概率都是P，电流能通过T 的概率是0.9，电流
4 1 2 3 4
能否通过各元件相互独立．已知 T ，T ，T 中至少有一个能通过电流的概率
1 2 3
为0.999．
（Ⅰ）求P；
（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．
21．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0， ）上是减函数，求实数a的取值范围．
22．（12分）已知斜率为1的直线l与双曲线C： 相交
于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D三点
的圆与x轴相切．2010 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）设全集U={x N |x＜6}，集合A={1，3}，B={3，5}，则 （A∪B）
+ U
=（ ）
∈ ∁
A．{1，4} B．{1，5} C．{2，4} D．{2，5}
【考点】1H：交、并、补集的混合运算．
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【专题】11：计算题．
【分析】由全集U={x N |x＜6}，可得U={1，2，3，4，5}，然后根据集合混合
+
运算的法则即可求解．
∈
【解答】解：∵A={1，3}，B={3，5}，
∴A∪B={1，3，5}，
∵U={x N |x＜6}={1，2，3，4，5}，
+
∴ （A∪B）={2，4}，
U ∈
故选：C．
∁
【点评】本题考查了集合的基本运算，属于基础知识，注意细心运算．
2．（5分）不等式 ＜0的解集为（ ）
A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|x＜﹣2} C．{x|x＜﹣2或x＞3} D．{x|x＞
3}
【考点】73：一元二次不等式及其应用．
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【专题】11：计算题．
【分析】本题的方法是：要使不等式小于0即要分子与分母异号，得到一个一
元二次不等式，讨论x的值即可得到解集．【解答】解：∵ ，得到（x﹣3）（x+2）＜0
即x﹣3＞0且x+2＜0解得：x＞3且x＜﹣2所以无解；
或x﹣3＜0且x+2＞0，解得﹣2＜x＜3，
所以不等式的解集为﹣2＜x＜3
故选：A．
【点评】本题主要考查学生求不等式解集的能力，是一道基础题．
3．（5分）已知sinα= ，则cos（π﹣2α）=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【考点】GO：运用诱导公式化简求值；GS：二倍角的三角函数．
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【专题】11：计算题．
【分析】先根据诱导公式求得 cos（π﹣2a）=﹣cos2a 进而根据二倍角公式把
sinα的值代入即可求得答案．
【解答】解：∵sina= ，
∴cos（π﹣2a）=﹣cos2a=﹣（1﹣2sin2a）=﹣ ．
故选：B．
【点评】本题考查了二倍角公式及诱导公式．考查了学生对三角函数基础公式
的记忆．
4．（5分）函数 的反函数是（ ）
A．y=e2x﹣1﹣1（x＞0） B．y=e2x﹣1+1（x＞0）
C．y=e2x﹣1﹣1（x R） D．y=e2x﹣1+1（x R）
∈ ∈
【考点】4H：对数的运算性质；4R：反函数．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】从条件中 中反解出x，再将x，y互换即得．解答
本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换
位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．
【解答】解：由原函数解得
x=e 2y﹣1+1，
∴f﹣1（x）=e 2x﹣1+1，
又x＞1，∴x﹣1＞0；
∴ln（x﹣1） R∴在反函数中x R，
故选：D．
∈ ∈
【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式 y=f（x）反求出
x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域
（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．
5．（5 分）若变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】7C：简单线性规划．
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【专题】31：数形结合．
【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，
只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可．
【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，
可得直线与y=x与3x+2y=5的交点为最优解点，
∴即为B（1，1），当x=1，y=1时z =3．
max
故选：C．【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
6．（5分）如果等差数列{a }中，a +a +a =12，那么a +a +…+a =（ ）
n 3 4 5 1 2 7
A．14 B．21 C．28 D．35
【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．
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【分析】由等差数列的性质求解．
【解答】解：a +a +a =3a =12，a =4，
3 4 5 4 4
∴a +a +…+a = =7a =28
1 2 7 4
故选：C．
【点评】本题主要考查等差数列的性质．
7．（5 分）若曲线 y=x2+ax+b 在点（1，b）处的切线方程是 x﹣y+1=0，则（
）
A．a=1，b=2 B．a=﹣1，b=2 C．a=1，b=﹣2 D．a=﹣1，b=﹣2
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
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【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．
【分析】由y=x2+ax+b，知y′=2x+a，再由曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线
方程为x﹣y+1=0，求出a和b．
【解答】解：∵y=x2+ax+b，
∴y′=2x+a，∵y′| =2+a，
x=1
∴曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为y﹣b=（2+a）（x﹣1），
∵曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1=0，
∴a=﹣1，b=2．
故选：B．
【点评】本题考查利用导数求曲线上某点切线方程的应用，解题时要认真审题，
仔细解答．
8．（5分）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA
垂直于底面 ABC，SA=3，那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为
（ ）
A． B． C． D．
【考点】MI：直线与平面所成的角．
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【专题】11：计算题．
【分析】由图，过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE
交SE于F，连BF，由题设条件证出∠ABF即所求线面角．由数据求出其正弦
值．
【解答】解：过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交
SE于F，连BF，
∵正三角形ABC，
∴E为BC中点，
∵BC⊥AE，SA⊥BC，
∴BC⊥面SAE，
∴BC⊥AF，AF⊥SE，
∴AF⊥面SBC，
∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长2，
∴AE= ，AS=3，
∴SE=2 ，AF= ，∴sin∠ABF= ．
故选：D．
【点评】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角．
9．（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若
每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共
有（ ）
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．
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【专题】11：计算题．
【分析】本题是一个分步计数问题，首先从 3个信封中选一个放1，2有3种不
同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有 C 2，余下放入最后一个
4
信封，根据分步计数原理得到结果．
【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，
∵先从3个信封中选一个放1，2，有 =3种不同的选法；根据分组公式，其他
四封信放入两个信封，每个信封两个有 =6种放法，
∴共有3×6×1=18．
故选：B．
【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中，这里包含两
个步骤，先平均分组，再排列．
10．（5分）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若 = ， = ，| |
=1，| |=2，则 =（ ）
A． + B． + C． + D． +
【考点】9B：向量加减混合运算．
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【分析】由△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，根据三角形内角平分线
定理，我们易得到 ，我们将 后，将各向量用 ， 表示，
即可得到答案．
【解答】解：∵CD为角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定
理，即若AD为三角形ABC的内角A的角平分线，则AB：AC=BD：CD
11．（5分）与正方体ABCD﹣A B C D 的三条棱AB、CC 、A D 所在直线的距离
1 1 1 1 1 1 1
相等的点（ ）
A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．有且只有3个 D．有无数个
【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．
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【专题】16：压轴题．
【分析】由于点D、B 显然满足要求，猜想B D上任一点都满足要求，然后想办
1 1法证明结论．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A B C D 上建立如图所示空间直角坐标系，
1 1 1 1
并设该正方体的棱长为1，连接B D，并在B D上任取一点P，
1 1
因为 =（1，1，1），
所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1．
作PE⊥平面A D，垂足为E，再作EF⊥A D ，垂足为F，
1 1 1
则PF是点P到直线A D 的距离．
1 1
所以PF= ；
同理点P到直线AB、CC 的距离也是 ．
1
所以B D上任一点与正方体ABCD﹣A B C D 的三条棱AB、CC 、A D 所在直线的
1 1 1 1 1 1 1 1
距离都相等，
所以与正方体ABCD﹣A B C D 的三条棱AB、CC 、A D 所在直线的距离相等的点
1 1 1 1 1 1 1
有无数个．
故选：D．
【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法．
12．（5分）已知椭圆T： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，过右焦点F且
斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若 =3 ，则k=（ ）
A．1 B． C． D．2【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设A（x ，y ），B（x ，y ），根据 求得y 和y 关系根据离心
1 1 2 2 1 2
率设 ，b=t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达
定理表示出y +y 和y y ，进而根据y 和y 关系求得k．
1 2 1 2 1 2
【解答】解：A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
∵ ，∴y =﹣3y ，
1 2
∵ ，设 ，b=t，
∴x2+4y2﹣4t2=0①，
设直线AB方程为 ，代入①中消去x，可得 ，
∴ ， ，
解得 ，
故选：B．
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强，
要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识
的运用．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知α是第二象限的角，tanα=﹣ ，则cosα= ．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．
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【分析】根据 ，以及sin2α+cos2α=1可求出答案．
【解答】解：∵ = ，∴2sinα=﹣cosα
又∵sin2α+cos2α=1，α是第二象限的角∴
故答案为：
【点评】本题考查了同角三角函数的基础知识．
14．（5分）（x+ ）9展开式中x3的系数是 84 ．（用数字作答）
【考点】DA：二项式定理．
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【分析】本题考查二项式定理的展开式，解题时需要先写出二项式定理的通项
T ，因为题目要求展开式中x3的系数，所以只要使x的指数等于3就可以，
r+1
用通项可以解决二项式定理的一大部分题目．
【解答】解：写出（x+ ）9通项 ，
∵要求展开式中x3的系数
∴令9﹣2r=3得r=3，
∴C 3=84
9
故答案为：84．
【点评】本题是一个二项展开式的特定项的求法．解本题时容易公式记不清楚
导致计算错误，所以牢记公式．它是经常出现的一个客观题．
15．（5分）已知抛物线 C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为
的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若 ，则p= 2 ．
【考点】K8：抛物线的性质．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设直线AB的方程与抛物线方程联立消去 y得3x2+（﹣6﹣2p）x+3=0，
进而根据 ，可知M为A、B的中点，
可得p的关系式，解方程即可求得p．
【解答】解：设直线AB： ，代入y2=2px得3x2+（﹣6﹣2p）x+3=0，
又∵ ，即M为A、B的中点，∴x +（﹣ ）=2，即x =2+ ，
B B
得p2+4P﹣12=0，
解得p=2，p=﹣6（舍去）
故答案为：2
【点评】本题考查了抛物线的几何性质．属基础题．
16．（5分）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M
与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN= 3 ．
【考点】JE：直线和圆的方程的应用；ND：球的性质．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】根据题意画出图形，欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三
角形MNO中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可
解得．
【解答】解法一：∵ON=3，球半径为4，
∴小圆N的半径为 ，
∵小圆N中弦长AB=4，作NE垂直于AB，
∴NE= ，同理可得 ，在直角三角形ONE中，
∵NE= ，ON=3，
∴ ，
∴ ，
∴MN=3．故填：3．
解法二：如下图：设AB的中点为C，则OC与MN必相交于MN中点为E，因为
OM=ON=3，
故小圆半径NB为
C为AB中点，故CB=2；所以NC= ，
∵△ONC为直角三角形，NE为△ONC斜边上的高，OC=
∴MN=2EN=2•CN• =2× × =3
故填：3．
【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，还考查球、直线与圆的基
础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）△ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB= ，cos∠ADC=
，求AD．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．
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【分析】先由cos∠ADC= 确定角ADC的范围，因为∠BAD=∠ADC﹣B所以可求
其正弦值，最后由正弦定理可得答案．
【解答】解：由cos∠ADC= ＞0，则∠ADC＜ ，
又由知B＜∠ADC可得B＜ ，
由sinB= ，可得cosB= ，
又由cos∠ADC= ，可得sin∠ADC= ．
从而sin∠BAD=sin（∠ADC﹣B）=sin∠ADCcosB﹣cos∠ADCsinB=
= ．
由正弦定理得 ，
所以AD= = ．
【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试
题中频繁出现．这类题型难度比较低，一般出现在 17或18题，属于送分题，
估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变．解决此类问题，要根据已知
条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化．
18．（12 分）已知{a }是各项均为正数的等比数列 a +a =2（ ），
n 1 2a +a +a =64 + + ）
3 4 5
（Ⅰ）求{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）设b =（a + ）2，求数列{b }的前n项和T．
n n n n
【考点】88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和．
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【专题】11：计算题．
【分析】（1）由题意利用等比数列的通项公式建立首项 a 与公比q的方程，然
1
后求解即可
（2）由b 的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解
n
【解答】解：（1）设正等比数列{a }首项为 a ，公比为 q，由题意得：
n 1
∴ a =2n﹣1 （ 6
n
分）
（2）
∴b 的前n项和T= （12分）
n n
【点评】（1）此问重基础及学生的基本运算技能（2）此处重点考查了高考常
考的数列求和方法之一的分组求和，及指数的基本运算性质
19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A B C 中，AC=BC，AA =AB，D为BB 的中
1 1 1 1 1
点，E为AB 上的一点，AE=3EB ．
1 1
（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB 与CD的公垂线；
1
（Ⅱ）设异面直线AB 与CD的夹角为45°，求二面角A ﹣AC ﹣B 的大小．
1 1 1 1【考点】LM：异面直线及其所成的角；LQ：平面与平面之间的位置关系．
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【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（1）欲证DE为异面直线AB 与CD的公垂线，即证DE与异面直线AB
1 1
与CD垂直相交即可；
（2）将AB 平移到DG，故∠CDG为异面直线AB 与CD的夹角，作HK⊥AC ，K
1 1 1
为垂足，连接B K，由三垂线定理，得B K⊥AC ，因此∠B KH为二面角A ﹣
1 1 1 1 1
AC ﹣B 的平面角，在三角形B KH中求出此角即可．
1 1 1
【解答】解：（1）连接A B，记A B与AB 的交点为F．
1 1 1
因为面AA BB 为正方形，故A B⊥AB ，且AF=FB ，
1 1 1 1 1
又AE=3EB ，所以FE=EB ，
1 1
又D为BB 的中点，
1
故DE∥BF，DE⊥AB ．
1
作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点．
又由底面ABC⊥面AA B B．连接DG，则DG∥AB ，
1 1 1
故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD．
所以DE为异面直线AB 与CD的公垂线．
1
（2）因为DG∥AB ，故∠CDG为异面直线AB 与CD的夹角，∠CDG=45°
1 1
设AB=2，则AB = ，DG= ，CG= ，AC= ．
1
作B H⊥A C ，H为垂足，因为底面A B C ⊥面AA CC ，故B H⊥面AA C C．又作
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
HK⊥AC ，K为垂足，连接B K，由三垂线定理，得B K⊥AC ，因此∠B KH为
1 1 1 1 1
二面角A ﹣AC ﹣B 的平面角．
1 1 1
B H= ，C H= ，AC = ，HK=
1 1 1
tan∠B KH= ，
1∴二面角A ﹣AC ﹣B 的大小为arctan ．
1 1 1
【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想
象与推理计算的能力．三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的
热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角
的主要手段．通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡
化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变
得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处．
20．（12 分）如图，由 M 到N的电路中有 4个元件，分别标为 T ，T ，T ，
1 2 3
T ，电流能通过T ，T ，T 的概率都是P，电流能通过T 的概率是0.9，电流
4 1 2 3 4
能否通过各元件相互独立．已知 T ，T ，T 中至少有一个能通过电流的概率
1 2 3
为0.999．
（Ⅰ）求P；
（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．
【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的
概率乘法公式．
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【专题】11：计算题．
【分析】（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将 T1，T2，
T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得p．
（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在 M与N之间通过，根据电路图，可得B=A +（1﹣A ）A A +（1﹣A ）（1﹣A ）A A ，由互斥事件的概率公式，代
4 4 1 3 4 1 2 3
入数据计算可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，记电流能通过T为事件A，i=1、2、3、4，
i i
A表示事件：T ，T ，T ，中至少有一个能通过电流，
1 2 3
易得A ，A ，A 相互独立，且 ，
1 2 3
P（ ）=（1﹣p）3=1﹣0.999=0.001，
计算可得，p=0.9；
（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，
有B=A +（1﹣A ）A A +（1﹣A ）（1﹣A ）A A ，
4 4 1 3 4 1 2 3
则P（B）=P（A +（1﹣A ）A A +（1﹣A ）（1﹣A ）A A ）
4 4 1 3 4 1 2 3
=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9
=0.9891．
【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，注意先
明确事件之间的关系，进而选择对应的公式来计算．
21．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0， ）上是减函数，求实数a的取值范围．
【考点】3D：函数的单调性及单调区间；3E：函数单调性的性质与判断．
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【专题】16：压轴题．
【分析】（1）求单调区间，先求导，令导函数大于等于0即可．
（2）已知f（x）在区间（0， ）上是减函数，即f′（x）≤0在区间（0， ）
上恒成立，然后用分离参数求最值即可．
【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=﹣x2+3x+1﹣lnx
∴
解f′（x）＞0，
即：2x2﹣3x+1＜0函数f（x）的单调递增区间是 ．
（Ⅱ）f′（x）=﹣2x+a﹣ ，
∵f（x）在 上为减函数，
∴x 时﹣2x+a﹣ ≤0恒成立．
∈
即a≤2x+ 恒成立．
设 ，则
∵x 时， ＞4，
∈
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在 上递减，
∴g（x）＞g（ ）=3，
∴a≤3．
【点评】本题考查函数单调性的判断和已知函数单调性求参数的范围，此类问
题一般用导数解决，综合性较强．
22．（12分）已知斜率为1的直线l与双曲线C： 相交
于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D三点
的圆与x轴相切．
【考点】J9：直线与圆的位置关系；KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线
的综合．
菁优网版权所有【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．
【分析】（Ⅰ）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于
BD两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找
出a，b的关系式即求得离心率．
（Ⅱ）利用离心率将条件|FA||FB|=17，用含a的代数式表示，即可求得a，则A
点坐标可得（1，0），由于A在x轴上所以，只要证明2AM=BD即证得．
【解答】解：（Ⅰ）由题设知，l的方程为：y=x+2，代入C的方程，并化简，
得（b2﹣a2）x2﹣4a2x﹣a2b2﹣4a2=0，
设B（x ，y ），D（x ，y ），则 ， ，①
1 1 2 2
由M（1，3）为BD的中点知 ．
故 ，即b2=3a2，②
故 ，
∴C的离心率 ．
（Ⅱ）由①②知，C的方程为：3x2﹣y2=3a2，A（a，0），F（2a，0），
．
故不妨设x ≤﹣a，x ≥a，
1 2
， ，
|BF|•|FD|=（a﹣2x ）（2x ﹣a）=﹣4x x +2a（x +x ）﹣a2=5a2+4a+8．
1 2 1 2 1 2
又|BF|•|FD|=17，故5a2+4a+8=17．
解得a=1，或 （舍去），
故 =6，
连接MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，
从而MA=MB=MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，
所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．
【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决
问题的能力．
