文档内容
2016 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出四个选项，只有一
个选项符合题目要求.
1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} B．{﹣2，﹣1，0，1，2}
C．{1，2，3} D．{1，2}
2．（5分）设复数z满足z+i=3﹣i，则 =（ ）
A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i
3．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（ ）
A．y=2sin（2x﹣ ） B．y=2sin（2x﹣ ）
C．y=2sin（x+ ） D．y=2sin（x+ ）
4．（5分）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（
）
A．12π B． π C．8π D．4π
5．（5分）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y= （k＞0）与C交于点P，
PF⊥x轴，则k=（ ）
A． B．1 C． D．2
6．（5分）圆 x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线 ax+y﹣1=0的距离为 1，则a=
（ ）A．﹣ B．﹣ C． D．2
7．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表
面积为（ ）
A．20π B．24π C．28π D．32π
8．（5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为
40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15秒才出现绿灯
的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序
框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则
输出的s=（ ）A．7 B．12 C．17 D．34
10．（5分）下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y=10lgx的定义域和值域
相同的是（ ）
A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y=
11．（5分）函数f（x）=cos2x+6cos（ ﹣x）的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
12．（5分）已知函数f（x）（x R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=|x2﹣2x
﹣3|与 y=f（x） 图象的交点为
∈
（x
1
，y
1
），（x
2
，y
2
），…，（x
m
，y
m
），则
x=（ ）
i
A．0 B．m C．2m D．4m
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.
13．（5分）已知向量 =（m，4）， =（3，﹣2），且 ∥ ，则m= ．
14．（5分）若x，y满足约束条件 ，则z=x﹣2y的最小值为 ．
15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA= ，cosC=
，a=1，则b= ．
16．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各
取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是
2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我
的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）等差数列{a }中，a +a =4，a +a =6．
n 3 4 5 7
（Ⅰ）求{a }的通项公式；
n（Ⅱ）设b =[a ]，求数列{b }的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，
n n n
如[0.9]=0，[2.6]=2．
18．（12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人
称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求 P（A）的估
计值；
（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的
160%”．求P（B）的估计值；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．
19．（12分）如图，菱形 ABCD的对角线 AC与BD交于点 O，点 E、F分别在
AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．
（Ⅰ）证明：AC⊥HD′；
（Ⅱ）若AB=5，AC=6，AE= ，OD′=2 ，求五棱锥D′﹣ABCFE体积．20．（12分）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．
（I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（II）若当x （1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．
∈
21．（12分）已知A是椭圆E： + =1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线
交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
（I）当|AM|=|AN|时，求△AMN的面积
（II）当2|AM|=|AN|时，证明： ＜k＜2．
请考生在第22～24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选
修4-1：几何证明选讲]
22．（10分）如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点
重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．
（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．
[选项4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的参数方程是 （t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|
= ，求l的斜率．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣ |+|x+ |，M为不等式f（x）＜2的解集．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，b M时，|a+b|＜|1+ab|．
∈2016 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出四个选项，只有一
个选项符合题目要求.
1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} B．{﹣2，﹣1，0，1，2}
C．{1，2，3} D．{1，2}
【考点】1E：交集及其运算．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5J：集合．
【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B的值．
【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}={x|﹣3＜x＜3}，
∴A∩B={1，2}．
故选：D．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义
的合理运用．
2．（5分）设复数z满足z+i=3﹣i，则 =（ ）
A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i
【考点】A5：复数的运算．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】根据已知求出复数z，结合共轭复数的定义，可得答案．
【解答】解：∵复数z满足z+i=3﹣i，
∴z=3﹣2i，
∴ =3+2i，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题．
3．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（ ）
A．y=2sin（2x﹣ ） B．y=2sin（2x﹣ ）
C．y=2sin（x+ ） D．y=2sin（x+ ）
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．
【分析】根据已知中的函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求出满足条件的 A，
ω，φ值，可得答案．
【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，
= ，故T=π，ω=2，
故y=2sin（2x+φ），
将（ ，2）代入可得：2sin（ +φ）=2，
则φ=﹣ 满足要求，
故y=2sin（2x﹣ ），
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，确
定各个参数的值是解答的关键．4．（5分）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（
）
A．12π B． π C．8π D．4π
【考点】LG：球的体积和表面积．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5U：球．
【分析】先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可
求出球的表面积．
【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，
正方体的体对角线为 =2 ，
即为球的直径，所以半径为 ，
所以球的表面积为 =12π．
故选：A．
【点评】本题考查学生的空间想象能力，体积与面积的计算能力，是基础题．
5．（5分）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y= （k＞0）与C交于点P，
PF⊥x轴，则k=（ ）
A． B．1 C． D．2
【考点】K8：抛物线的性质．
菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据已知，结合抛物线的性质，求出P点坐标，再由反比例函数的性
质，可得k值．
【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F为（1，0），
曲线y= （k＞0）与C交于点P在第一象限，
由PF⊥x轴得：P点横坐标为1，
代入C得：P点纵坐标为2，故k=2，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，反比例函数的性质，难度中
档．
6．（5分）圆 x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线 ax+y﹣1=0的距离为 1，则a=
（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．2
【考点】IT：点到直线的距离公式；J9：直线与圆的位置关系．
菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5B：直线与圆．
【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），
故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d= =1，
解得：a= ，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档．
7．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表
面积为（ ）
A．20π B．24π C．28π D．32π【考点】L!：由三视图求面积、体积．
菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是 4，
圆锥的高是2 ，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面
积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面
积，注意不包括重合的平面．
【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，
上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2 ，
∴在轴截面中圆锥的母线长是 =4，
∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，
下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，
∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π
∴空间组合体的表面积是28π，
故选：C．
【点评】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能
是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端．
8．（5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为
40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15秒才出现绿灯
的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】CF：几何概型．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】求出一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待
15秒才出现绿灯的概率．
【解答】解：∵红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯，
∴一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，∴至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 = ．
故选：B．
【点评】本题考查概率的计算，考查几何概型，考查学生的计算能力，比较基
础．
9．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序
框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则
输出的s=（ ）
A．7 B．12 C．17 D．34
【考点】EF：程序框图．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出
变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：∵输入的x=2，n=2，
当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；
当再次输入的a为2时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件；
当输入的a为5时，S=17，k=3，满足退出循环的条件；故输出的S值为17，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，
可采用模拟程序法进行解答．
10．（5分）下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y=10lgx的定义域和值域
相同的是（ ）
A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y=
【考点】4K：对数函数的定义域；4L：对数函数的值域与最值．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；4O：定义法；51：函数的性质及应用．
【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．
【解答】解：函数y=10lgx的定义域和值域均为（0，+∞），
函数y=x的定义域和值域均为R，不满足要求；
函数y=lgx的定义域为（0，+∞），值域为R，不满足要求；
函数y=2x的定义域为R，值域为（0，+∞），不满足要求；
函数y= 的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求；
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是函数的定义域和值域，熟练掌握各种基本初等函
数的定义域和值域，是解答的关键．
11．（5分）函数f（x）=cos2x+6cos（ ﹣x）的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】HW：三角函数的最值．
菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4J：换元法；56：三角函数的求值；57：三角函数的
图像与性质．
【分析】运用二倍角的余弦公式和诱导公式，可得 y=1﹣2sin2x+6sinx，令t=sinx（﹣1≤t≤1），可得函数y=﹣2t2+6t+1，配方，结合二次函数的最值的求法，
以及正弦函数的值域即可得到所求最大值．
【解答】解：函数f（x）=cos2x+6cos（ ﹣x）
=1﹣2sin2x+6sinx，
令t=sinx（﹣1≤t≤1），
可得函数y=﹣2t2+6t+1
=﹣2（t﹣ ）2+ ，
由 [﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增，
∉
即有t=1即x=2kπ+ ，k Z时，函数取得最大值5．
∈
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的最值的求法，注意运用二倍角公式和诱导公式，
同时考查可化为二次函数的最值的求法，属于中档题．
12．（5分）已知函数f（x）（x R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=|x2﹣2x
﹣3|与 y=f（x） 图象的交点为
∈
（x
1
，y
1
），（x
2
，y
2
），…，（x
m
，y
m
），则
x=（ ）
i
A．0 B．m C．2m D．4m
【考点】&2：带绝对值的函数；&T：函数迭代；3V：二次函数的性质与图象．
菁优网版
权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】根据已知中函数函数f（x）（x R）满足f（x）=f（2﹣x），分析函数
的对称性，可得函数y=|x2﹣2x﹣3|与 ∈y=f（x） 图象的交点关于直线x=1对称，
进而得到答案．
【解答】解：∵函数f（x）（x R）满足f（x）=f（2﹣x），
故函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
∈函数y=|x2﹣2x﹣3|的图象也关于直线x=1对称，
故函数y=|x2﹣2x﹣3|与 y=f（x） 图象的交点也关于直线x=1对称，
故 x= ×2=m，
i
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的对称性质，难度
中档．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.
13．（5分）已知向量 =（m，4）， =（3，﹣2），且 ∥ ，则m= ﹣ 6 ．
【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；29：规律型；5A：平面向量及应用．
【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．
【解答】解：向量 =（m，4）， =（3，﹣2），且 ∥ ，
可得12=﹣2m，解得m=﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．
14．（5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=x﹣2y 的最小值为 ﹣ 5
．
【考点】7C：简单线性规划．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；59：不等式的解法及应用；
5T：不等式．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合
得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数
得答案．【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，
联立 ，解得B（3，4）．
化目标函数z=x﹣2y为y= x﹣ z，
由图可知，当直线y= x﹣ z过B（3，4）时，直线在y轴上的截距最大，z有
最小值为：3﹣2×4=﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档
题．
15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA= ，cosC=
，a=1，则b= ．
【考点】HU：解三角形．
菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；56：三角函数的求值；58：解三角形．
【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b= ，代入计算即可得到所求值．
【解答】解：由cosA= ，cosC= ，可得
sinA= = = ，
sinC= = = ，
sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC= × + × = ，
由正弦定理可得b=
= = ．
故答案为： ．
【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，
以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题．
16．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各
取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是
2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我
的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 1 和 3 ．
【考点】F4：进行简单的合情推理．
菁优网版权所有
【专题】2A：探究型；49：综合法；5L：简易逻辑．
【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着 1和2，或1和3，分别讨论这
两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判
断出甲卡片上的数字是多少．
【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；
（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；
（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；
又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；
∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；
∴甲的卡片上的数字是1和3．
故答案为：1和3．
【点评】考查进行简单的合情推理的能力，以及分类讨论得到解题思想，做这
类题注意找出解题的突破口．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）等差数列{a }中，a +a =4，a +a =6．
n 3 4 5 7
（Ⅰ）求{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）设b =[a ]，求数列{b }的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，
n n n
如[0.9]=0，[2.6]=2．
【考点】83：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）设等差数列{a }的公差为d，根据已知构造关于首项和公差方程
n
组，解得答案；
（Ⅱ）根据b =[a ]，列出数列{b }的前10项，相加可得答案．
n n n
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a }的公差为d，
n
∵a +a =4，a +a =6．
3 4 5 7
∴ ，
解得： ，
∴a = ；
n
（Ⅱ）∵b =[a ]，
n n∴b =b =b =1，
1 2 3
b =b =2，
4 5
b =b =b =3，
6 7 8
b =b =4．
9 10
故数列{b }的前10项和S =3×1+2×2+3×3+2×4=24．
n 10
【点评】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，等差数列的性质，难度中
档．
18．（12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人
称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求 P（A）的估
计值；
（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的
160%”．求P（B）的估计值；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．
【考点】B2：简单随机抽样．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；29：规律型；5I：概率与统计．
【分析】（I）求出A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人数．
总事件人数，即可求P（A）的估计值；
（Ⅱ）求出B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费
的160%”的人数．然后求P（B）的估计值；
（Ⅲ）利用人数与保费乘积的和除以总续保人数，可得本年度的平均保费估计
值．
【解答】解：（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．事件A的人数为：60+50=110，该险种的200名续保，
P（A）的估计值为： = ；
（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的
160%”．事件B的人数为：30+30=60，P（B）的估计值为： = ；
（ Ⅲ ） 续 保 人 本 年 度 的 平 均 保 费 估 计 值 为 =
=1.1925a．
【点评】本题考查样本估计总体的实际应用，考查计算能力．
19．（12分）如图，菱形 ABCD的对角线 AC与BD交于点 O，点 E、F分别在
AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．
（Ⅰ）证明：AC⊥HD′；
（Ⅱ）若AB=5，AC=6，AE= ，OD′=2 ，求五棱锥D′﹣ABCFE体积．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关
系．
菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体
几何．
【分析】（1）根据直线平行的性质以菱形对角线垂直的性质进行证明即可．
（2）根据条件求出底面五边形的面积，结合平行线段的性质证明OD′是五棱锥
D′﹣ABCFE的高，即可得到结论．
【解答】（Ⅰ）证明：∵菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在
AD，CD上，AE=CF，∴EF∥AC，且EF⊥BD
将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，
则D′H⊥EF，
∵EF∥AC，
∴AC⊥HD′；
（Ⅱ）若AB=5，AC=6，则AO=3，B0=OD=4，
∵AE= ，AD=AB=5，
∴DE=5﹣ = ，
∵EF∥AC，
∴ = = = = ，
∴EH= ，EF=2EH= ，DH=3，OH=4﹣3=1，
∵HD′=DH=3，OD′=2 ，
∴满足HD′2=OD′2+OH2，
则△OHD′为直角三角形，且OD′⊥OH，
又OD′⊥AC，AC∩OH=O，
即OD′⊥底面ABCD，
即OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高．
底面五边形的面积S= + = + =12+ =
，
则五棱锥D′﹣ABCFE体积V= S•OD′= × ×2 = ．【点评】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判断，以及空间几何体的
体积，根据线面垂直的判定定理以及五棱锥的体积公式是解决本题的关键．
本题的难点在于证明 OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高．考查学生的运算和推理
能力．
20．（12分）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．
（I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（II）若当x （1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．
∈
【考点】66：简单复合函数的导数．
菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；52：导数的概念及应用．
【分析】（I）当a=4时，求出曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率，
即可求出切线方程；
（II）先求出f′（x）＞f′（1）=2﹣a，再结合条件，分类讨论，即可求a的取值
范围．
【解答】解：（I）当a=4时，f（x）=（x+1）lnx﹣4（x﹣1）．
f（1）=0，即点为（1，0），
函数的导数f′（x）=lnx+（x+1）• ﹣4，
则f′（1）=ln1+2﹣4=2﹣4=﹣2，
即函数的切线斜率k=f′（1）=﹣2，
则曲线y=f（x）在（1，0）处的切线方程为y=﹣2（x﹣1）=﹣2x+2；
（II）∵f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1），
∴f′（x）=1+ +lnx﹣a，
∴f″（x）= ，
∵x＞1，∴f″（x）＞0，
∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴f′（x）＞f′（1）=2﹣a．
①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴f（x）＞f（1）=0，满足题意；
②a＞2，存在x （1，+∞），f′（x ）=0，函数f（x）在（1，x ）上单调递减，
0 0 0
在（x
0
，+∞）
∈
上单调递增，
由f（1）=0，可得存在x （1，+∞），f（x ）＜0，不合题意．
0 0
综上所述，a≤2．
∈
另解：若当x （1，+∞）时，f（x）＞0，
可得（x+1）lnx﹣a（x﹣1）＞0，
∈
即为a＜ ，
由y= 的导数为y′= ，
由y=x﹣ ﹣2lnx的导数为y′=1+ ﹣ = ＞0，
函数y在x＞1递增，可得 ＞0，
则函数y= 在x＞1递增，
则 = =2，
可得 ＞2恒成立，
即有a≤2．
【点评】本题主要考查了导数的应用，函数的导数与函数的单调性的关系的应
用，导数的几何意义，考查参数范围的求解，考查学生分析解决问题的能力，
有难度．
21．（12分）已知A是椭圆E： + =1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
（I）当|AM|=|AN|时，求△AMN的面积
（II）当2|AM|=|AN|时，证明： ＜k＜2．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．
菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；49：综合法；4M：构造法；5D：圆锥曲线的定义、性
质与方程．
【分析】（I）依题意知椭圆 E 的左顶点 A（﹣2，0），由|AM|=|AN|，且
MA⊥NA，可知△AMN为等腰直角三角形，设M（a﹣2，a），利用点M在E
上，可得3（a﹣2）2+4a2=12，解得：a= ，从而可求△AMN的面积；
（II）设直线l 的方程为：y=k（x+2），直线l 的方程为：y=﹣ （x+2），联
AM AN
立 消去y，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，利用韦达定理及
弦长公式可分别求得 |AM|= |x ﹣（﹣ 2）|= ，|AN|=
M
= ，
结合 2|AM|=|AN|，可得 = ，整理后，构造函数 f（k）=4k3﹣
6k2+3k﹣8，利用导数法可判断其单调性，再结合零点存在定理即可证得结论
成立．
【解答】解：（I）由椭圆E的方程： + =1知，其左顶点A（﹣2，0），∵|AM|=|AN|，且MA⊥NA，∴△AMN为等腰直角三角形，
∴MN⊥x轴，设M的纵坐标为a，则M（a﹣2，a），
∵点 M 在 E 上，∴3（a﹣2）2+4a2=12，整理得：7a2﹣12a=0，∴a= 或 a=0
（舍），
∴S = a×2a=a2= ；
△AMN
（II）设直线l 的方程为：y=k（x+2），直线l 的方程为：y=﹣ （x+2），由
AM AN
消去y得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，∴x ﹣2=﹣
M
，∴x =2﹣ = ，
M
∴|AM|= |x ﹣（﹣2）|= • =
M
∵k＞0，
∴|AN|= = ，又∵2|AM|=|AN|，∴ = ，
整理得：4k3﹣6k2+3k﹣8=0，
设f（k）=4k3﹣6k2+3k﹣8，
则f′（k）=12k2﹣12k+3=3（2k﹣1）2≥0，
∴f（k）=4k3﹣6k2+3k﹣8为（0，+∞）的增函数，
又 f（ ）=4×3 ﹣6×3+3 ﹣8=15 ﹣26= ﹣ ＜0，f（2）=4×8
﹣6×4+3×2﹣8=6＞0，
∴ ＜k＜2．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，常用的方法就是联立方程求出
交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解，考查构造
函数思想与导数法判断函数单调性，再结合零点存在定理确定参数范围，是
难题．
请考生在第22～24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选
修4-1：几何证明选讲]
22．（10分）如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点
重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．
（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；
（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．
【考点】N8：圆內接多边形的性质与判定．
菁优网版权所有
【专题】14：证明题．
【分析】（Ⅰ）证明B，C，G，F四点共圆可证明四边形BCGF对角互补，由已知
条件可知∠BCD=90°，因此问题可转化为证明∠GFB=90°；（Ⅱ）在 Rt△DFC 中，GF= CD=GC，因此可得△GFB≌△GCB，则 S
四边形
=2S ，据此解答．
BCGF △BCG
【解答】（Ⅰ）证明：∵DF⊥CE，
∴Rt△DFC∽Rt△EDC，
∴ = ，
∵DE=DG，CD=BC，
∴ = ，
又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF，
∴△GDF∽△BCF，
∴∠CFB=∠DFG，
∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，
∴∠GFB+∠GCB=180°，
∴B，C，G，F四点共圆．
（Ⅱ）∵E为AD中点，AB=1，∴DG=CG=DE= ，
∴在Rt△DFC中，GF= CD=GC，连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，
∴S =2S =2× ×1× = ．
四边形BCGF △BCG
【点评】本题考查四点共圆的判断，主要根据对角互补进行判断，注意三角形
相似和全等性质的应用．
[选项4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是 （t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|
= ，求l的斜率．
【考点】J1：圆的标准方程；J8：直线与圆相交的性质．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．
【分析】（Ⅰ）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用 ρ2=x2+y2，x=ρcosα，
y=ρsinα，能求出圆C的极坐标方程．
（Ⅱ）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由
此能求出直线l的斜率．
【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）2+y2=25，
∴x2+y2+12x+11=0，
∵ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，
∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0．
（Ⅱ）∵直线l的参数方程是 （t为参数），
∴t= ，代入y=tsinα，得：直线l的一般方程y=tanα•x，
∵l与C交与A，B两点，|AB|= ，圆C的圆心C（﹣6，0），半径r=5，
圆心到直线的距离d= ．
∴圆心C（﹣6，0）到直线距离d= = ，
解得tan2α= ，∴tanα=± =± ．
∴l的斜率k=± ．
【点评】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，
解题时要认真审题，注意点到直线公式、圆的性质的合理运用．
[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣ |+|x+ |，M为不等式f（x）＜2的解集．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，b M时，|a+b|＜|1+ab|．
∈
【考点】R5：绝对值不等式的解法．
菁优网版权所有
【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4C：分类法；4R：转化法；59：不等
式的解法及应用．
【分析】（I）分当x＜ 时，当 ≤x≤ 时，当x＞ 时三种情况，分别求解
不等式，综合可得答案；
（Ⅱ）当a，b M时，（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，配方后，可证
得结论．
∈
【解答】解：（I）当x＜ 时，不等式f（x）＜2可化为： ﹣x﹣x﹣ ＜2，
解得：x＞﹣1，
∴﹣1＜x＜ ，
当 ≤x≤ 时，不等式f（x）＜2可化为： ﹣x+x+ =1＜2，
此时不等式恒成立，
∴ ≤x≤ ，
当x＞ 时，不等式f（x）＜2可化为：﹣ +x+x+ ＜2，
解得：x＜1，
∴ ＜x＜1，
综上可得：M=（﹣1，1）；
证明：（Ⅱ）当a，b M时，
（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，
∈
即a2b2+1＞a2+b2，
即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，即（ab+1）2＞（a+b）2，
即|a+b|＜|1+ab|．
【点评】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，不等式的证明，难度中档．
