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2012 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（ ）
A．A B B．B A C．A=B D．A∩B=
⊊ ⊊ ∅
2．（5分）复数z= 的共轭复数是（ ）
A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
3．（5分）在一组样本数据（x ，y ），（x ，y ），…，（x ，y ）（n≥2，
1 1 2 2 n n
x ，x ，…，x 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x，y）（i=1，
1 2 n i i
2，…，n）都在直线 y= x+1 上，则这组样本数据的样本相关系数为
（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．1
4．（5分）设F 、F 是椭圆E： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线
1 2
x= 上一点，△F PF 是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
2 1
A． B． C． D．
5．（5分）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象
限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是（ ）
A．（1﹣ ，2） B．（0，2） C．（ ﹣1，2） D．（0，1+ ）
6．（5 分）如果执行下边的程序框图，输入正整数 N（N≥2）和实数 a ，
1
a ，…，a ，输出A，B，则（ ）
2 nA．A+B为a ，a ，…，a 的和
1 2 n
B． 为a ，a ，…，a 的算术平均数
1 2 n
C．A和B分别是a ，a ，…，a 中最大的数和最小的数
1 2 n
D．A和B分别是a ，a ，…，a 中最小的数和最大的数
1 2 n
7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三
视图，则此几何体的体积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．188．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为
，则此球的体积为（ ）
A． π B．4 π C．4 π D．6 π
9．（5 分）已知 ω＞0，0＜φ＜π，直线 x= 和 x= 是函数 f（x）=sin
（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的
准线交于点A和点B，|AB|=4 ，则C的实轴长为（ ）
A． B． C．4 D．8
11．（5分）当0＜x≤ 时，4x＜log x，则a的取值范围是（ ）
a
A．（0， ） B．（ ，1） C．（1， ） D．（ ，2）
12．（5 分）数列{a }满足 a +（﹣1）na =2n﹣1，则{a }的前 60 项和为
n n+1 n n
（ ）
A．3690 B．3660 C．1845 D．1830
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为 ．
14．（5分）等比数列{a }的前n项和为S ，若S +3S =0，则公比q= ．
n n 3 2
15．（5分）已知向量 夹角为 45°，且 ，则 =
．
16．（5 分）设函数 f（x）= 的最大值为 M，最小值为 m，则
M+m= ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c= asinC﹣ccosA．
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为 ，求b，c．
18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以
每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．
（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求
量n（单位：枝，n N）的函数解析式．
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：
∈
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位
元）的平均数；
（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需
求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．
19．（12 分）如图，三棱柱 ABC﹣A B C 中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，
1 1 1
AC=BC= AA ，D是棱AA 的中点．
1 1
（Ⅰ）证明：平面BDC ⊥平面BDC
1
（Ⅱ）平面BDC 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
120．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A C，已知以
F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；
∈
（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为 ，求p的值及圆F的方程；
（2）若A，B，F三点在同一直线 m上，直线n与m平行，且n与C只有一个
公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．
21．（12分）设函数f（x）=ex﹣ax﹣2．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．
22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的
外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；
（2）△BCD∽△GBD．
23．选修4﹣4；坐标系与参数方程
已知曲线C 的参数方程是 （φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的
1
正半轴为极轴建立坐标系，曲线 C 的坐标系方程是 ρ=2，正方形ABCD的顶
2
点都在C 上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，
2
）．
（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设P为C 上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．
1
24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|
①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；
②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2012 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（ ）
A．A B B．B A C．A=B D．A∩B=
⊊ ⊊ ∅
【考点】18：集合的包含关系判断及应用．
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【专题】5J：集合．
【分析】先求出集合A，然后根据集合之间的关系可判断
【解答】解：由题意可得，A={x|﹣1＜x＜2}，
∵B={x|﹣1＜x＜1}，
在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，
例如x=
∴B A．
故选：B．
⊊
【点评】本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础试题．
2．（5分）复数z= 的共轭复数是（ ）
A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．
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【专题】11：计算题．
【分析】利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为 a+bi的形式，
然后求法共轭复数即可．【解答】解：复数z= = = =﹣1+i．
所以复数的共轭复数为：﹣1﹣i．
故选：D．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能
力．
3．（5分）在一组样本数据（x ，y ），（x ，y ），…，（x ，y ）（n≥2，
1 1 2 2 n n
x ，x ，…，x 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x，y）（i=1，
1 2 n i i
2，…，n）都在直线 y= x+1 上，则这组样本数据的样本相关系数为
（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．1
【考点】BS：相关系数．
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【专题】29：规律型．
【分析】所有样本点（x，y）（i=1，2，…，n）都在直线y= x+1上，故这组
i i
样本数据完全正相关，故其相关系数为1．
【解答】解：由题设知，所有样本点（x，y）（i=1，2，…，n）都在直线y=
i i
x+1上，
∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，
故选：D．
【点评】本题主要考查样本的相关系数，是简单题．
4．（5分）设F 、F 是椭圆E： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线
1 2
x= 上一点，△F PF 是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
2 1A． B． C． D．
【考点】K4：椭圆的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】利用△F PF 是底角为30°的等腰三角形，可得|PF |=|F F |，根据P为
2 1 2 2 1
直线x= 上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．
【解答】解：∵△F PF 是底角为30°的等腰三角形，
2 1
∴|PF |=|F F |
2 2 1
∵P为直线x= 上一点
∴
∴
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属
于基础题．
5．（5分）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象
限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是（ ）
A．（1﹣ ，2） B．（0，2） C．（ ﹣1，2） D．（0，1+ ）【考点】7C：简单线性规划．
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【专题】11：计算题．
【分析】由A，B及△ABC为正三角形可得，可求C的坐标，然后把三角形的各
顶点代入可求z的值，进而判断最大与最小值，即可求解范围
【解答】解：设C（a，b），（a＞0，b＞0）
由A（1，1），B（1，3），及△ABC为正三角形可得，AB=AC=BC=2
即（a﹣1）2+（b﹣1）2=（a﹣1）2+（b﹣3）2=4
∴b=2，a=1+ 即C（1+ ，2）
则此时直线AB的方程x=1，AC的方程为y﹣1= （x﹣1），
直线BC的方程为y﹣3=﹣ （x﹣1）
当直线 x﹣y+z=0经过点A（1，1）时，z=0，经过点B（1，3）z=2，经过点C
（1+ ，2）时，z=1﹣
∴
故选：A．
【点评】考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想．属于基
本题型．
6．（5 分）如果执行右边的程序框图，输入正整数 N（N≥2）和实数 a ，
1
a ，…，a ，输出A，B，则（ ）
2 nA．A+B为a ，a ，…，a 的和
1 2 n
B． 为a ，a ，…，a 的算术平均数
1 2 n
C．A和B分别是a ，a ，…，a 中最大的数和最小的数
1 2 n
D．A和B分别是a ，a ，…，a 中最小的数和最大的数
1 2 n
【考点】E7：循环结构．
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【专题】5K：算法和程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是求出a ，a ，…，a 中最大的数和最小的数．
1 2 n
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，
可知，该程序的作用是：求出a ，a ，…，a 中最大的数和最小的数
1 2 n
其中A为a ，a ，…，a 中最大的数，B为a ，a ，…，a 中最小的数
1 2 n 1 2 n
故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步
分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．
7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三
视图，则此几何体的体积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
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【专题】11：计算题．
【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积
即可．
【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；
底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，
此几何体的体积为V= ×6×3×3=9．
故选：B．
【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计
算能力．
8．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为
，则此球的体积为（ ）
A． π B．4 π C．4 π D．6 π
【考点】LG：球的体积和表面积．
菁优网版权所有【专题】11：计算题．
【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离
为 ，求出球的半径，然后求解球的体积．
【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的
距离为 ，
所以球的半径为： = ．
所以球的体积为： =4 π．
故选：B．
【点评】本题考查球的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力．
9．（5 分）已知 ω＞0，0＜φ＜π，直线 x= 和 x= 是函数 f（x）=sin
（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=（ ）
A． B． C． D．
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
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【专题】11：计算题．
【分析】通过函数的对称轴求出函数的周期，利用对称轴以及φ的范围，确定
φ的值即可．
【解答】解：因为直线x= 和x= 是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相
邻的对称轴，
所以T= =2π．所以ω=1，并且sin（ +φ）与sin（ +φ）分别
是最大值与最小值，0＜φ＜π，
所以φ= ．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，注意函数的最值的应用，考查计算能力．
10．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的
准线交于点A和点B，|AB|=4 ，则C的实轴长为（ ）
A． B． C．4 D．8
【考点】KI：圆锥曲线的综合．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与
抛物线y2=16x的准线交于A，B两点， ，能求出C的实轴长．
【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），
y2=16x的准线l：x=﹣4，
∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，
∴A（﹣4，2 ），B（﹣4，﹣2 ），
将A点坐标代入双曲线方程得 =4，
∴a=2，2a=4．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意
挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
11．（5分）当0＜x≤ 时，4x＜log x，则a的取值范围是（ ）
a
A．（0， ） B．（ ，1） C．（1， ） D．（ ，2）
【考点】7J：指、对数不等式的解法．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒
成立问题加以解决即可
【解答】解：∵0＜x≤ 时，1＜4x≤2要使4x＜log x，由对数函数的性质可得0＜a＜1，
a
数形结合可知只需2＜log x，
a
∴
即 对0＜x≤ 时恒成立
∴
解得 ＜a＜1
故选：B．
【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，不等式恒成立问
题的一般解法，属基础题
12．（5 分）数列{a }满足 a +（﹣1）na =2n﹣1，则{a }的前 60 项和为
n n+1 n n
（ ）
A．3690 B．3660 C．1845 D．1830
【考点】8E：数列的求和．
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【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得 a ﹣a =1，a +a =3，a ﹣a =5，a +a =7，a ﹣a =9，
2 1 3 2 4 3 5 4 6 5
a +a =11，…a ﹣a =97，变形可得
7 6 50 49
a +a =2 ， a +a =8 ， a +a =2 ， a +a =24 ， a +a =2 ， a +a =40 ， a +a =2 ，
3 1 4 2 7 5 8 6 9 7 12 10 13 11
a +a =56，…利用
16 14
数列的结构特征，求出{a }的前60项和．
n
【解答】解：由于数列{a }满足 a +（﹣1）n a =2n﹣1，故有 a ﹣a =1，
n n+1 n 2 1
a +a =3，a ﹣a =5，
3 2 4 3
a +a =7，a ﹣a =9，a +a =11，…a ﹣a =97．
5 4 6 5 7 6 50 49
从 而 可 得 a +a =2 ， a +a =8 ， a +a =2 ， a +a =24 ， a +a =2 ， a +a =40 ，
3 1 4 2 7 5 8 6 11 9 12 10
a +a =2，a +a =56，…
15 13 16 14
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，
从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等
差数列．
{a }的前60项和为 15×2+（15×8+ ）=1830，
n
故选：D．
【点评】本题主要考查数列求和的方法，等差数列的求和公式，注意利用数列
的结构特征，属于中档题．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为 y=4x﹣3 ．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程．
【解答】解：求导函数，可得y′=3lnx+4，
当x=1时，y′=4，
∴曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=4（x﹣1），即y=4x﹣
3．
故答案为：y=4x﹣3．【点评】本题考查导数的几何意义，考查点斜式求直线的方程，属于基础题．
14．（5分）等比数列{a }的前n项和为S ，若S +3S =0，则公比q= ﹣ 2 ．
n n 3 2
【考点】89：等比数列的前n项和．
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【专题】11：计算题．
【分析】由题意可得，q≠1，由S +3S =0，代入等比数列的求和公式可求q
3 2
【解答】解：由题意可得，q≠1
∵S +3S =0
3 2
∴
∴q3+3q2﹣4=0
∴（q﹣1）（q+2）2=0
∵q≠1
∴q=﹣2
故答案为：﹣2
【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，解题中要注意公比q是
否为1
15．（5分）已知向量 夹角为45°，且 ，则 = 3
．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；9S：数量积表示两个向量的夹
角．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
【 分 析 】 由 已 知 可 得 ， = ， 代 入 |2 |=
= = = 可求【解答】解：∵ ， =1
∴ =
∴|2 |= = = =
解得
故答案为：3
【点评】本题主要考查了向量的数量积 定义的应用，向量的数量积性质| |=
是求解向量的模常用的方法
16．（5 分）设函数 f（x）= 的最大值为 M，最小值为 m，则
M+m= 2 ．
【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．
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【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】函数可化为 f（x）= = ，令 ，
则 为奇函数，从而函数 的最大值与最小值的和
为0，由此可得函数f（x）= 的最大值与最小值的和．
【解答】解：函数可化为f（x）= = ，
令 ，则 为奇函数，∴ 的最大值与最小值的和为0．
∴函数f（x）= 的最大值与最小值的和为1+1+0=2．
即M+m=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，解题的关键是将函数化简，
转化为利用函数的奇偶性解题．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c= asinC
﹣ccosA．
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为 ，求b，c．
【考点】HU：解三角形．
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【专题】11：计算题．
【分析】（1）由正弦定理有： sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，可以求出A；
（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c．
【解答】解：（1）c= asinC﹣ccosA，由正弦定理有：
sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC•（ sinA﹣cosA﹣1）=0，
又，sinC≠0，
所以 sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A﹣ ）=1，
所以A= ；
（2）S = bcsinA= ，所以bc=4，
△ABC
a=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，
即有 ，解得b=c=2．
【点评】本题综合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公
式的综合应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基
础，解题的关键是熟练掌握基本公式
18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以
每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．
（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求
量n（单位：枝，n N）的函数解析式．
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：
∈
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位
元）的平均数；
（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需
求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．
【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；BB：众数、中位数、平均数；
CS：概率的应用．
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【专题】15：综合题；5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建
立分段函数；
（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数，利用 100天的销售量除以100即可得
到结论；
（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故可求当天的
利润不少于75元的概率．
【解答】解：（Ⅰ）当日需求量n≥17时，利润y=85；当日需求量n＜17时，利
润y=10n﹣85；（4分）
∴利润y关于当天需求量n的函数解析式 （n N*）（6分）
∈（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数为
元；（9分）
（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润
不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7．（12分）
【点评】本题考查函数解析式的确定，考查概率知识，考查利用数学知识解决
实际问题，属于中档题．
19．（12 分）如图，三棱柱 ABC﹣A B C 中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，
1 1 1
AC=BC= AA ，D是棱AA 的中点．
1 1
（Ⅰ）证明：平面BDC ⊥平面BDC
1
（Ⅱ）平面BDC 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
1
【考点】L2：棱柱的结构特征；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平
面垂直．
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【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（Ⅰ）由题意易证DC ⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得
1
平面BDC ⊥平面BDC；
1
（Ⅱ）设棱锥 B﹣DACC 的体积为 V ，AC=1，易求V = × ×1×1= ，三棱
1 1 1
柱ABC﹣A B C 的体积V=1，于是可得（V﹣V ）：V =1：1，从而可得答案．
1 1 1 1 1
【解答】证明：（1）由题意知BC⊥CC ，BC⊥AC，CC ∩AC=C，
1 1
∴BC⊥平面ACC A ，又DC 平面ACC A ，
1 1 1 1 1
⊂∴DC ⊥BC．
1
由题设知∠A DC =∠ADC=45°，
1 1
∴∠CDC =90°，即DC ⊥DC，又DC∩BC=C，
1 1
∴DC ⊥平面BDC，又DC 平面BDC ，
1 1 1
∴平面BDC ⊥平面BDC；
1 ⊂
（2）设棱锥B﹣DACC 的体积为V ，AC=1，由题意得V = × ×1×1= ，
1 1 1
又三棱柱ABC﹣A B C 的体积V=1，
1 1 1
∴（V﹣V ）：V =1：1，
1 1
∴平面BDC 分此棱柱两部分体积的比为1：1．
1
【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，着重考查线面垂直的判定定理的应
用与棱柱、棱锥的体积，考查分析，表达与运算能力，属于中档题．
20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A C，已知以
F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；
∈
（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为 ，求p的值及圆F的方程；
（2）若A，B，F三点在同一直线 m上，直线n与m平行，且n与C只有一个
公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．
【考点】J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KI：圆锥曲线的综合．
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【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l
的距离 ，由△ABD 的面积 S = ，知 =
△ABD
，由此能求出圆F的方程．
（2）由对称性设 ，则 点A，B关于点F对称得：，得： ，由此能求出坐
标原点到m，n距离的比值．
【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p
点A到准线l的距离 ，
∵△ABD的面积S = ，
△ABD
∴ = ，
解得p=2，所以F坐标为（0，1），
∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．
（2）由题设 ，则 ，
∵A，B，F三点在同一直线m上，
又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．
由点A，B关于点F对称得：
得 ： ， 直 线 ，
切点
直线
坐标原点到m，n距离的比值为 ．
【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的
简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合
理地进行等价转化．
21．（12分）设函数f（x）=ex﹣ax﹣2．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．
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【专题】15：综合题；16：压轴题；32：分类讨论；35：转化思想．
【分析】（Ⅰ）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母
a，故应按a的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间；
（II）由题设条件结合（I），将不等式，（x﹣k） f´（x）+x+1＞0在x＞0时成
立转化为k＜ （x＞0）成立，由此问题转化为求g（x）= 在x
＞0上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出k的最大值；
【解答】解：（I）函数f（x）=ex﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）=ex﹣a，
若a≤0，则f′（x）=ex﹣a≥0，所以函数f（x）=ex﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上
单调递增．
若a＞0，则当x （﹣∞，lna）时，f′（x）=ex﹣a＜0；
当x （lna，+∞）时，f′（x）=ex﹣a＞0；
∈
所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．
∈
（II）由于a=1，所以，（x﹣k） f´（x）+x+1=（x﹣k） （ex﹣1）+x+1
故当x＞0时，（x﹣k） f´（x）+x+1＞0等价于k＜ （x＞0）①
令g（x）= ，则g′（x）=
由（I）知，当a=1时，函数h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，
而h（1）＜0，h（2）＞0，
所以h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，
故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α （1，2）
当x （0，α）时，g′（x）＜0；当x （α，+∞）时，g′（x）＞0；
∈
所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．
∈ ∈
又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1 （2，3）
由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2．
∈
【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一小题应用分类的讨论的方法，第二小题将问题转化为求函数的
最小值问题，本题考查了转化的思想，分类讨论的思想，考查计算能力及推
理判断的能力，综合性强，是高考的重点题型，难度大，计算量也大，极易
出错．
22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的
外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：
（1）CD=BC；
（2）△BCD∽△GBD．
【考点】N4：相似三角形的判定．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明
四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；
（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．
【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点
∴DF∥BC，AD=DB
∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形
∴CF∥BD，CF=BD
∴CF∥AD，CF=AD
∴四边形ADCF是平行四边形
∴AF=CD
∵ ，∴BC=AF，∴CD=BC．
（2）由（1）知 ，所以 ．所以∠BGD=∠DBC．
因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．
所以△BCD～△GBD．
【点评】本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，
属于基础题．
23．选修4﹣4；坐标系与参数方程
已知曲线C 的参数方程是 （φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的
1
正半轴为极轴建立坐标系，曲线 C 的坐标系方程是 ρ=2，正方形ABCD的顶
2
点都在C 上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，
2
）．
（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设P为C 上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．
1
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；
QL：椭圆的参数方程．
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【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐
标；
（2）利用参数方程设出 P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|
PC|2+|PD|2的取值范围．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 点 A ， B ， C ， D 的 极 坐 标 为点A，B，C，D的直角坐标为
（2）设P（x ，y ），则 为参数）
0 0
t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ
∵sin2φ [0，1]
∴t [32，52]
∈
【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于
∈
中档题．
24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|
①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；
②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．
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【专题】17：选作题；59：不等式的解法及应用；5T：不等式．
【分析】①不等式等价于 ，或 ，或 ，
求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．
②原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即
，可得x≤1；
，可得x ；
∈∅
，可得x≥4．
取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1或x≥4}．
（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在
[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．
故当 1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，
故a的取值范围为[﹣3，0]．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等
价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
