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专题 05 圆与二次函数结合型压轴题专题
（原卷版）
通用的解题思路：
一、点在圆上的使用技巧：①没告诉半径，利用圆上的点到圆心的距离等于半径可以表示出半径的长度；
②告诉半径，圆上的点到圆心的距离等于半径这个等量关系可以求出一个参数。
二、判断直线与圆的位置关系的标准流程：第一步，利用圆上的点到圆心的距离等于半径表示出半径r，
第二步，表示出圆心到直线的距离 d，第三步，比较半径r和距离d的大小：若半径r 距离d，则直线与
圆相交，若半径r=距离d，则直线与圆相切，若半径r 距离d，则直线与圆相离。
三、记直线 被圆 截得的弦长为 的常用方法
弦长公式：
2．（长沙中考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和
（ ， ）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的 P总经过定点A（0，2）．
（1）求a，b，c的值； ⊙
（2）求证：在点P运动的过程中， P始终与x轴相交；
（3）设 P与x轴相交于M（x
1
，0⊙），N（x
2
，0）（x
1
＜x
2
）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆
心P的纵⊙坐标．
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2．（岳麓区校级月考）如图，已知直线l：y＝﹣1和抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0），抛物线L的顶点为
原点，且经过点 ，直线y＝kx+1与y轴交于点F，与抛物线L交于点B（x ，y ），C（x ，
1 1 2
y ），且x ＜x ．
2 1 2
（1）求抛物线L的解析式；
（2）点P是抛物线L上一动点．
①以点P为圆心，PF为半径作 P，试判断 P与直线l的位置关系，并说明理由；
②若点Q（2，3），当|PQ﹣PF⊙|的值最大时，⊙求点P的坐标；
（3）求证：无论k为何值，直线l总是与以BC为直径的圆相切．
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3．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ 的图象经过点A（2，0）和点B（1，﹣
），直线l经过抛物线的顶点且与y轴垂直，垂足为Q．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y 随时间t（t≥0）的变化规律
1
为y ＝﹣ +2t．现以线段OP为直径作 C．
1
①当点P在起始位置点B处时，试判断⊙直线l与 C的位置关系，并说明理由；在点P运动的过程中，
直线l与 C是否始终保持这种位置关系？请说明⊙你的理由．
②若在点⊙P开始运动的同时，直线l也向上平行移动，且垂足Q的纵坐标y
2
随时间t的变化规律为y
2
＝
﹣1+3t，则当t在什么范围内变化时，直线l与 C相交？此时，若直线l被 C所截得的弦长为a，试
求a2的最大值． ⊙ ⊙
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4．（长沙中考）如图半径分别为m，n（0＜m＜n）的两圆 O 和 O 相交于P，Q两点，且点P（4，
1 2
1），两圆同时与两坐标轴相切， O 与x轴，y轴分别切⊙于点M⊙，点N， O 与x轴，y轴分别切于点
1 2
R，点H． ⊙ ⊙
（1）求两圆的圆心O ，O 所在直线的解析式；
1 2
（2）求两圆的圆心O ，O 之间的距离d；
1 2
（3）令四边形PO QO 的面积为S ，四边形RMO O 的面积为S ．
1 2 1 1 2 2
试探究：是否存在一条经过P，Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为 的抛物线？
若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
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5．（广益）如图1，已知一次函数y＝﹣x+4与反比例函数 相交于P，Q两点（P在Q的右侧）．
（1）求P，Q的坐标并写出△OPQ的面积；
（2）如图2，已知M（m，m），N（n，n），其中（0＜m＜n），若分别以M，N为圆心的圆均与x轴
相切，切点分别为A，B，并且点P既在 M上又在 N上．
①求直线MN的解析式； ⊙ ⊙
②求出线段MN的长度d；
（3）在（2）的前提上，记四边形PMQN的面积为S ，四边形AMNB的面积为S ，已知抛物线y＝
1 2
ax2+bx+c满足两个条件：①经过点P和点Q，②该抛物线截x轴得到的线段长度为 ，请求
出抛物线二次项系数a的值．
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6．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠O）经过X轴上的两点A（x ，0）、B（x ，0）和y轴上的点C
1 2
（0， ）， P的圆心P在y轴上，且经过B、C两点，若b＝ a，AB＝2 ，
（1）求抛物线的⊙解析式；
（2）设D在抛物线上，且C，D两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD是否经过圆心P，并说明理由；
（3）设直线BD交 P于另一点E，求经过E点的 P的切线的解析式．
⊙ ⊙
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7．（青竹湖）定义：如果一条直线与一条曲线有且只有一个交点，且曲线位于直线的同旁，称之为直线
与曲线相切，这条直线叫做曲线的切线，直线与曲线的唯一交点叫做切点．
（1）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，以点A（0，﹣3）为圆心，5为半径作圆A，交x
轴的负半轴于点B，求过点B的圆A的切线的解析式；
（2）若抛物线y＝ax2（a≠0）与直线y＝kx+b（k≠0）相切于点（2，2），求直线的解析式；
（3）若函数y＝ x2+（n﹣k﹣1）x+m+k﹣2的图象与直线y＝﹣x相切，且当﹣1≤n≤2时，m的最小
值为k，求k的值．
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8．（麓山国际）如图，经过定点A的直线y＝k（x﹣2）+1（k＜0）交抛物线y＝﹣x2+4x于B，C两点（点
C在点B的右侧），D为抛物线的顶点．
（1）直接写出点A的坐标；
（2）如图（1），若△ACD的面积是△ABD面积的两倍，求k的值；
（3）如图（2），以AC为直径作 E，若 E与直线y＝t所截的弦长恒为定值，求t的值．
⊙ ⊙
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9．（长郡）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4）， M与y轴相切于点C，与x轴相交于
A、B两点． ⊙
（1）分别求A、B、C三点的坐标；
（2）如图1，设经过A、B两点的抛物线解析式为 ，它的顶点为E，求证：直线EA与
M相切；
⊙（3）如图2，过点M作直线FG∥y轴，与圆分别交于F、G两点，点P为弧FB上任意一点（不与B、
F重合），连接FP、AP，FN⊥BP的延长线于点N．请问 是否为定值，若为定值，请求出这个
值，若不为定值，请说明理由．
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10.（长郡）如图1，抛物线 与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB．
（1）求∠AOB的度数；
（2）如图2，以点A为圆心，4为半径作 A，点M在 A上．连接OM、BM，
①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时⊙，求点M的坐⊙标；
②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在 A上运动时，求线段BN长度的取值范围．
⊙
10
