文档内容
2010 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）已知集合 A={x||x|≤2，x R}，B={x| ≤4，x Z}，则 A∩B=（
）
∈ ∈
A．（0，2） B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}
2．（5分）平面向量 ，已知 =（4，3）， =（3，18），则 夹
角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）已知复数Z= ，则|z|=（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（ ）
A．y=x﹣1 B．y=﹣x+1 C．y=2x﹣2 D．y=﹣2x+2
5．（5 分）中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，
2），则它的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P （
0
，﹣ ），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大
致为（ ）A． B．
C． D．
7．（5分）设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a，其顶点都在一个球面上，
则该球的表面积为（ ）
A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2
8．（5分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=
（ ）
A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或
x＞6} D．{x|x＜﹣2或x＞2}
10．（5分）若cos α=﹣ ，α是第三象限的角，则sin（α+ ）=（ ）A． B． C． D．
11．（5分）已知▱ABCD的三个顶点为 A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣
2），点（x，y）在▱ABCD的内部，则z=2x﹣5y的取值范围是（ ）
A．（﹣14，16） B．（﹣14，20） C．（﹣12，18） D．（﹣12，20）
12．（5 分）已知函数 ，若 a，b，c 互不相等，且 f
（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ）
A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．（20，24）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）圆心在原点上与直线x+y﹣2=0相切的圆的方程为 ．
14．（5分）设函数y=f（x）为区间（0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，
且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法计算由曲线y=f（x）及直线x=0，
x=1，y=0所围成部分的面积S，先产生两组（每组N个），区间（0，1]上的
均匀随机数x ，x ，…，x 和y ，y ，…，y ，由此得到N个点（x，y）（i﹣
1 2 n 1 2 n
1，2…，N）．再数出其中满足y ≤f（x）（i=1，2…，N）的点数N ，那么由
1 1
随机模拟方法可得S的近似值为 ．
15．（5分）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几
何体中的 （填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③三
棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．
16．（5分）在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD= ，∠ADB=135°．
若AC= AB，则BD= ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）设等差数列{a }满足a =5，a =﹣9．
n 3 10
（Ⅰ）求{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）求{a }的前n项和S 及使得S 最大的序号n的值．
n n n18．（10 分）如图，已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面为等腰梯形，AB∥CD，
AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．
（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若AB= ，∠APB=∠ADB=60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
19．（10分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样
方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：
性别 男 女
是否需要志愿者
需要 40 30
不需要 160 270
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；
（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有
关？
（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需
要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828附：K2= ．
20．（10分）设F ，F 分别是椭圆E：x2+ =1（0＜b＜1）的左、右焦点，过
1 2
F 的直线l与E相交于A、B两点，且|AF |，|AB|，|BF |成等差数列．
1 2 2
（Ⅰ）求|AB|；
（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．
21．设函数f（x）=x（ex﹣1）﹣ax2
（Ⅰ）若a= ，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．
22．（10分）如图：已知圆上的弧 ，过C点的圆的切线与BA的延长线交
于E点，证明：
（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．
（Ⅱ）BC2=BE•CD．23．（10分）已知直线C （t为参数），C （θ为参数），
1 2
（Ⅰ）当α= 时，求C 与C 的交点坐标；
1 2
（Ⅱ）过坐标原点O做C 的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P
1
点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．
（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：
（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．2010 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）已知集合 A={x||x|≤2，x R}，B={x| ≤4，x Z}，则 A∩B=（
）
∈ ∈
A．（0，2） B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}
【考点】1E：交集及其运算．
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【专题】11：计算题．
【分析】由题意可得A={x|﹣2≤x≤2}，B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，
10，11，12，13，14，15，16}，从而可求
【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}
B={x| ≤4，x Z}={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，
15，16}
∈
则A∩B={0，1，2}
故选：D．
【点评】本题主要考查了集合的交集的求解，解题的关键是准确求解A，B，属
于基础试题
2．（5分）平面向量 ，已知 =（4，3）， =（3，18），则 夹
角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．
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【分析】先设出 的坐标，根据a=（4，3），2a+b=（3，18），求出坐标，根据数量积的坐标公式的变形公式，求出两个向量的夹角的余弦
【解答】解：设 =（x，y），
∵a=（4，3），2a+b=（3，18），
∴
∴cosθ=
= ，
故选：C．
【点评】本题是用数量积的变形公式求向量夹角的余弦值，数量积的主要应用：
①求模长；②求夹角；③判垂直，实际上在数量积公式中可以做到知三求一．
3．（5分）已知复数Z= ，则|z|=（ ）
A． B． C．1 D．2
【考点】A5：复数的运算．
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【专题】11：计算题．
【分析】由复数的代数形式的乘除运算化简可得Z= ，由复数的模长公
式可得答案．
【解答】解：化简得Z= = = •
= • = • = ，
故|z|= = ，
故选：B．
【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数的模长，属基础题．4．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（ ）
A．y=x﹣1 B．y=﹣x+1 C．y=2x﹣2 D．y=﹣2x+2
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
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【专题】1：常规题型；11：计算题．
【分析】欲求在点（1，0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利
用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜
率．从而问题解决．
【解答】解：验证知，点（1，0）在曲线上
∵y=x3﹣2x+1，
y′=3x2﹣2，所以k=y′| =1，得切线的斜率为1，所以k=1；
x﹣1
所以曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为：
y﹣0=1×（x﹣1），即y=x﹣1．
故选：A．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上
某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
5．（5 分）中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，
2），则它的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】KC：双曲线的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】先求渐近线斜率，再用c2=a2+b2求离心率．
【解答】解：∵渐近线的方程是y=± x，
∴2= •4， = ，a=2b，
c= = a，e= = ，即它的离心率为 ．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的几何性质．
6．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P （
0
，﹣ ），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大
致为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．
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【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距
离来确定答案．
【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为 ，于是可以排除
答案A，D，
再根据当 时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题．
7．（5分）设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a，其顶点都在一个球面上，
则该球的表面积为（ ）
A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2
【考点】LG：球的体积和表面积．
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【专题】11：计算题．
【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由长方体的长、宽、高
分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则长方体的对角线即为球的直径，
即球的半径R满足（2R）2=6a2，代入球的表面积公式，S =4πR2，即可得到
球
答案．
【解答】解：根据题意球的半径R满足
（2R）2=6a2，
所以S =4πR2=6πa2．
球
故选：B．
【点评】长方体的外接球直径等于长方体的对角线长．
8．（5分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（ ）A． B． C． D．
【考点】EF：程序框图．
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【专题】28：操作型．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加并输出S= 的值．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加并输出S= 的值．
∵S= =1﹣ =
故选：D．
【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要
的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代
码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算
的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理） ②建立数学模型，根
据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
⇒
9．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=
（ ）
A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或
x＞6} D．{x|x＜﹣2或x＞2}
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．
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【专题】11：计算题．
【分析】由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|
﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答
案．【解答】解：由偶函数 f（x）满足 f（x）=2x﹣4（x≥0），可得 f（x）=f（|
x|）=2|x|﹣4，
则 f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使 f（|x﹣2|）＞0，只需 2|x﹣2|﹣4＞
0，|x﹣2|＞2
解得x＞4，或x＜0．
应选：B．
【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答
本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算．
10．（5分）若cos α=﹣ ，α是第三象限的角，则sin（α+ ）=（ ）
A． B． C． D．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据α的所在的象限以及同角三角函数的基本关系求得sinα的值，进
而利用两角和与差的正弦函数求得答案．
【解答】解：∵α是第三象限的角
∴ sinα=﹣ =﹣ ， 所 以 sin （ α+ ） =sinαcos +cosαsin =﹣
=﹣ ．
故选：A．
【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数，以及同角三角函数的基本关
系的应用．根据角所在的象限判断三角函数值的正负是做题过程中需要注意
的．
11．（5分）已知▱ABCD的三个顶点为 A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣
2），点（x，y）在▱ABCD的内部，则z=2x﹣5y的取值范围是（ ）
A．（﹣14，16） B．（﹣14，20） C．（﹣12，18） D．（﹣12，20）【考点】7C：简单线性规划．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】根据点坐标与向量坐标之间的关系，利用向量相等求出顶点 D的坐标
是解决问题的关键．结合线性规划的知识平移直线求出目标函数的取值范围．
【解答】解：由已知条件得 D（0，﹣4），
⇒
由z=2x﹣5y得y= ，平移直线当直线经过点B（3，4）时，﹣ 最大，
即z取最小为﹣14；当直线经过点D（0，﹣4）时，﹣ 最小，即z取最大为
20，
又由于点（x，y）在四边形的内部，故z （﹣14，20）．
如图：故选B．
∈
【点评】本题考查平行四边形的顶点之间的关系，用到向量坐标与点坐标之间
的关系，体现了向量的工具作用，考查学生线性规划的理解和认识，考查学
生的数形结合思想．属于基本题型．
12．（5 分）已知函数 ，若 a，b，c 互不相等，且 f
（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ）
A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．（20，24）【考点】3A：函数的图象与图象的变换；3B：分段函数的解析式求法及其图象
的作法；4H：对数的运算性质；4N：对数函数的图象与性质．
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【专题】13：作图题；16：压轴题；31：数形结合．
【分析】画出函数的图象，根据 f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出
abc的范围即可．
【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，
不妨设a＜b＜c，则
ab=1，
则abc=c （10，12）．
故选：C．
∈
【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题
的能力．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）圆心在原点上与直线x+y﹣2=0相切的圆的方程为 x 2 + y 2 =2 ．
【考点】J1：圆的标准方程；J9：直线与圆的位置关系．
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【分析】可求圆的圆心到直线的距离，就是半径，写出圆的方程．
【解答】解：圆心到直线的距离：r= ，所求圆的方程为x2+y2=2．
故答案为：x2+y2=2
【点评】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是基础题．14．（5分）设函数y=f（x）为区间（0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，
且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法计算由曲线y=f（x）及直线x=0，
x=1，y=0所围成部分的面积S，先产生两组（每组N个），区间（0，1]上的
均匀随机数x ，x ，…，x 和y ，y ，…，y ，由此得到N个点（x，y）（i﹣
1 2 n 1 2 n
1，2…，N）．再数出其中满足y ≤f（x）（i=1，2…，N）的点数N ，那么由
1 1
随机模拟方法可得S的近似值为 ．
【考点】CE：模拟方法估计概率；CF：几何概型．
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【分析】由题意知本题是求∫ 1f（x）dx，而它的几何意义是函数 f（x）（其中
0
0≤f（x）≤1）的图象与x轴、直线x=0和直线x=1所围成图形的面积，积分
得到结果．
【解答】解：∵∫ 1f（x）dx的几何意义是函数f（x）（其中0≤f（x）≤1）
0
的图象与x轴、直线x=0和直线x=1所围成图形的面积，
∴根据几何概型易知∫ 1f（x）dx≈ ．
0
故答案为： ．
【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举
出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概
率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．
15．（5分）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几
何体中的 ①②③⑤ （填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱
锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．
【考点】L7：简单空间图形的三视图．
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【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】一个几何体的正视图为一个三角形，由三视图的正视图的作法判断选
项．
【解答】解：一个几何体的正视图为一个三角形，显然①②⑤正确；③是三棱柱放倒时也正确；
④⑥不论怎样放置正视图都不会是三角形；
故答案为：①②③⑤
【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查空间想象能力，是基础题．
16．（5分）在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD= ，∠ADB=135°．
若AC= AB，则BD= 2 + ．
【考点】HR：余弦定理．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】先利用余弦定理可分别表示出 AB，AC，把已知条件代入整理，根据
BC=3BD 推断出 CD=2BD，进而整理 AC2=CD2+2﹣2CD 得 AC2=4BD2+2﹣4BD 把
AC= AB，代入整理，最后联立方程消去AB求得BD的方程求得BD．
【解答】用余弦定理求得
AB2=BD2+AD2﹣2AD•BDcos135°
AC2=CD2+AD2﹣2AD•CDcos45°
即 AB2=BD2+2+2BD ①AC2=CD2+2﹣2CD ②
又BC=3BD
所以 CD=2BD
所以 由（2）得AC2=4BD2+2﹣4BD（3）
因为 AC= AB
所以 由（3）得 2AB2=4BD2+2﹣4BD （4）
（4）﹣2（1）
BD2﹣4BD﹣1=0
求得 BD=2+
故答案为：2+
【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．考查了学生创造性思维能力和基本
的推理能力．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）设等差数列{a }满足a =5，a =﹣9．
n 3 10
（Ⅰ）求{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）求{a }的前n项和S 及使得S 最大的序号n的值．
n n n
【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．
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【分析】（1）设出首项和公差，根据a =5，a =﹣9，列出关于首项和公差的二
3 10
元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项．
（2）由上面得到的首项和公差，写出数列{a }的前n项和，整理成关于n的一
n
元二次函数，二次项为负数求出最值．
【解答】解：（1）由a =a +（n﹣1）d及a =5，a =﹣9得
n 1 3 10
a +9d=﹣9，a +2d=5
1 1
解得d=﹣2，a =9，
1
数列{a }的通项公式为a =11﹣2n
n n
（2）由（1）知S =na + d=10n﹣n2．
n 1
因为S =﹣（n﹣5）2+25．
n
所以n=5时，S 取得最大值．
n
【点评】数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量
从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．
18．（10 分）如图，已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面为等腰梯形，AB∥CD，
AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．
（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若AB= ，∠APB=∠ADB=60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直．
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【专题】11：计算题；14：证明题；35：转化思想．
【分析】（Ⅰ）要证平面PAC⊥平面PBD，只需证明平面PAC内的直线AC，垂直
平面PBD内的两条相交直线PH，BD即可．
（Ⅱ） ，∠APB=∠ADB=60°，计算等腰梯形ABCD的面积，PH是棱锥的高，
然后求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【解答】解：
（1）因为PH是四棱锥P﹣ABCD的高．
所以AC⊥PH，又AC⊥BD，PH，BD都在平PHD内，且PH∩BD=H．
所以AC⊥平面PBD．
故平面PAC⊥平面PBD（6分）
（2）因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB= ．
所以HA=HB= ．
因为∠APB=∠ADB=60°
所以PA=PB= ，HD=HC=1．
可得PH= ．
等腰梯形ABCD的面积为S= ACxBD=2+ （9分）
所以四棱锥的体积为V= ×（2+ ）× = ．（12分）
【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空
间想象能力，计算能力，推理能力，是中档题．
19．（10分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样
方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：
性别 男 女
是否需要志愿者
需要 40 30
不需要 160 270
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；
（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需
要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
附：K2= ．
【考点】BL：独立性检验．
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【专题】11：计算题；5I：概率与统计．
【分析】（1）由样本的频率率估计总体的概率，
（2）求K2的观测值查表，下结论；
（3）由99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，
则可按性别分层抽样．
【解答】解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此
在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为
（2）K2的观测值
因为9.967＞6.635，且P（K2≥6.635）=0.01，
所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．
（3）根据（2）的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别
有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助
的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，
再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．
【点评】本题考查了抽样的目的，独立性检验的方法及抽样的方法选取，属于
基础题．
20．（10分）设F ，F 分别是椭圆E：x2+ =1（0＜b＜1）的左、右焦点，过
1 2F 的直线l与E相交于A、B两点，且|AF |，|AB|，|BF |成等差数列．
1 2 2
（Ⅰ）求|AB|；
（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．
【考点】K4：椭圆的性质．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）由椭圆定义知|AF |+|AB|+|BF |=4，再由|AF |，|AB|，|BF |成
2 2 2 2
等差数列，能够求出|AB|的值．
（2）L 的方程式为 y=x+c，其中 ，设 A（x ，y ），B（x ，y ），则
1 1 1 1
A，B两点坐标满足方程组 ，化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．然
后结合题设条件和根与系数的关系能够求出b的大小．
【解答】解：（1）由椭圆定义知|AF |+|AB|+|BF |=4
2 2
又2|AB|=|AF |+|BF |，得
2 2
（2）L的方程式为y=x+c，其中
设A（x ，y ），B（x ，y ），则A，B两点坐标满足方程组 ．，
1 1 2 2
化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．
则 ．
因为直线AB的斜率为1，所以
即 ．则 ．
解得 ．
【点评】本题综合考查椭圆的性质及其运用和直线与椭圆的位置关系，解题时
要注意公式的灵活运用．
21．设函数f（x）=x（ex﹣1）﹣ax2
（Ⅰ）若a= ，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
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【专题】15：综合题；53：导数的综合应用．
【分析】（I）求导函数，由导数的正负可得函数的单调区间；
（II）f（x）=x（ex﹣1﹣ax），令g（x）=ex﹣1﹣ax，分类讨论，确定g（x）的
正负，即可求得a的取值范围．
【解答】解：（I）a= 时，f（x）=x（ex﹣1）﹣ x2， =
（ex﹣1）（x+1）
令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞0；令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0；
∴函数的单调增区间是（﹣∞，﹣1），（0，+∞）；单调减区间为（﹣1，
0）；
（II）f（x）=x（ex﹣1﹣ax）．
令g（x）=ex﹣1﹣ax，则g'（x）=ex﹣a．
若a≤1，则当x （0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数，
而g（0）=0，从而当x≥0时g（x）≥0，即f（x）≥0．
∈
若a＞1，则当x （0，lna）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数，
而g（0）=0，从而当x （0，lna）时，g（x）＜0，即f（x）＜0．
∈
综合得a的取值范围为（﹣∞，1]．
∈
另解：当x=0时，f（x）=0成立；当x＞0，可得ex﹣1﹣ax≥0，即有a≤ 的最小值，
由y=ex﹣x﹣1的导数为y′=ex﹣1，
当x＞0时，函数y递增；x＜0时，函数递减，
可得函数y取得最小值0，即ex﹣x﹣1≥0，
x＞0时，可得 ≥1，
则a≤1．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学
思想，属于中档题．
22．（10分）如图：已知圆上的弧 ，过C点的圆的切线与BA的延长线交
于E点，证明：
（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．
（Ⅱ）BC2=BE•CD．
【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明；NB：弦切角．
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【专题】14：证明题．
【分析】（I）先根据题中条件：“ ”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC是圆的
切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．
（II）欲证BC2=BE x CD．即证 ．故只须证明△BDC～△ECB即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为 ，
所以∠BCD=∠ABC．
又因为EC与圆相切于点C，
故∠ACE=∠ABC
所以∠ACE=∠BCD．（5分）（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，
所以△BDC～△ECB，
故 ．
即BC2=BE×CD．（10分）
【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相
似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题．
23．（10分）已知直线C （t为参数），C （θ为参数），
1 2
（Ⅰ）当α= 时，求C 与C 的交点坐标；
1 2
（Ⅱ）过坐标原点O做C 的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P
1
点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
【考点】J3：轨迹方程；JE：直线和圆的方程的应用；Q4：简单曲线的极坐标
方程；QJ：直线的参数方程；QK：圆的参数方程．
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【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】（I）先消去参数将曲线C 与C 的参数方程化成普通方程，再联立方程
1 2
组求出交点坐标即可，
（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得
普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．
【解答】解：（Ⅰ）当α= 时，C 的普通方程为 ，C 的普通方程为
1 2
x2+y2=1．
联立方程组 ，
解得C 与C 的交点为（1，0） ．
1 2
（Ⅱ）C 的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．
1
则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，
联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），
故当α变化时，P点轨迹的参数方程为： ，
P点轨迹的普通方程 ．
故P点轨迹是圆心为 ，半径为 的圆．
【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利
用参数方程研究轨迹问题的能力．
24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．
（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：
（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换；7E：其他不等式的解法；R5：绝对值
不等式的解法．
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【专题】11：计算题；13：作图题；16：压轴题．
【分析】（I）先讨论x的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函
数分段画出函数的图象即可；
（II）根据函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知先寻找满足 f（x）≤ax的零界
情况，从而求出a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）= ，
函数y=f（x）的图象如图所示．
（Ⅱ）由函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知，极小值在点（2，1）
当且仅当a＜﹣2或a≥ 时，函数y=f（x）与函数y=ax的图象有交点．
故不等式f（x）≤ax的解集非空时，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[ ，+∞）．
【点评】本题主要考查了函数的图象，以及利用函数图象解不等式，同时考查
了数形结合的数学思想，属于基础题．
