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2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．（5分）设z＝ ，则|z|＝（ ）
A．2 B． C． D．1
2．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，
7}，则B∩ A＝（ ）
U
A．{1，6}∁ B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7}
3．（5分）已知a＝log 0.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（ ）
2
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a
4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比
是 （ ≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此
外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上
述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能
是（ ）
A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm
5．（5分）函数f（x）＝ 在[﹣ ， ]的图象大致为（ ）
π πA． B．
C． D．
6．（5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从
这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，
则下面4名学生中被抽到的是（ ）
A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生
7．（5分）tan255°＝（ ）
A．﹣2﹣ B．﹣2+ C．2﹣ D．2+
8．（5 分）已知非零向量 ， 满足| |＝2| |，且（ ﹣ ）⊥ ，则 与 的夹角为
（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入（ ）A．A＝ B．A＝2+ C．A＝ D．A＝1+
10．（5分）双曲线C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C
的离心率为（ ）
A．2sin40° B．2cos40° C． D．
11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，
cosA＝﹣ ，则 ＝（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
12．（5分）已知椭圆C的焦点为F （﹣1，0），F （1，0），过F 的直线与C交于A，
1 2 2
B两点．若|AF |＝2|F B|，|AB|＝|BF |，则C的方程为（ ）
2 2 1
A． +y2＝1 B． + ＝1
C． + ＝1 D． + ＝1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）曲线y＝3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线方程为 ．
14．（5分）记S 为等比数列{a }的前n项和．若a ＝1，S ＝ ，则S ＝ ．
n n 1 3 4
15．（5分）函数f（x）＝sin（2x+ ）﹣3cosx的最小值为 ．
16．（5分）已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，
BC的距离均为 ，那么P到平面ABC的距离为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客
对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意 不满意男顾客 40 10
女顾客 30 20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：K2＝ ．
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
18．（12分）记S 为等差数列{a }的前n项和．已知S ＝﹣a ．
n n 9 5
（1）若a ＝4，求{a }的通项公式；
3 n
（2）若a ＞0，求使得S ≥a 的n的取值范围．
1 n n
19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A B C D 的底面是菱形，AA ＝4，AB＝2，∠BAD
1 1 1 1 1
＝60°，E，M，N分别是BC，BB ，A D的中点．
1 1
（1）证明：MN∥平面C DE；
1
（2）求点C到平面C DE的距离．
120．（12分）已知函数f（x）＝2sinx﹣xcosx﹣x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0， ）存在唯一零点；
（2）若x [0， ]时，f（x）≥ax，π求a的取值范围．
∈ π
21．（12分）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4， M过点A，B且与直线x+2＝
0相切． ⊙
（1）若A在直线x+y＝0上，求 M的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A⊙运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数）．以
坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2 cos +
sin +11＝0． ρ θ
（1ρ）求θC和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：
（1） + + ≤a2+b2+c2；
（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．（5分）设z＝ ，则|z|＝（ ）
A．2 B． C． D．1
【分析】直接利用复数商的模等于模的商求解．
【解答】解：由z＝ ，得|z|＝| |＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．
2．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，
7}，则B∩ A＝（ ）
U
A．{1，6}∁ B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7}
【分析】先求出 A，然后再求B∩ A即可求解
U U
【解答】解：∵∁U＝{1，2，3，4，5∁，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，
∴ A＝{1，6，7}，
U
则∁B∩
U
A＝{6，7}
故选：∁C．
【点评】本题主要考查集合的交集与补集的求解，属于基础试题．
3．（5分）已知a＝log 0.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（ ）
2
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a
【分析】由指数函数和对数函数的单调性易得log 0.2＜0，20.2＞1，0＜0.20.3＜1，从而
2
得出a，b，c的大小关系．
【解答】解：a＝log 0.2＜log 1＝0，
2 2
b＝20.2＞20＝1，
∵0＜0.20.3＜0.20＝1，
∴c＝0.20.3 （0，1），
∴a＜c＜b，∈故选：B．
【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，属基础题．
4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比
是 （ ≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此
外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上
述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能
是（ ）
A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm
【分析】充分运用黄金分割比例，结合图形，计算可估计身高．
【解答】解：头顶至脖子下端的长度为26cm，
说明头顶到咽喉的长度小于26cm，
由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是 ≈0.618，
可得咽喉至肚脐的长度小于 ≈42cm，
由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 ，
可得肚脐至足底的长度小于 ＝110，
即有该人的身高小于110+68＝178cm，
又肚脐至足底的长度大于105cm，
可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm，
即该人的身高大于65+105＝170cm，
故选：B．【点评】本题考查简单的推理和估算，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
5．（5分）函数f（x）＝ 在[﹣ ， ]的图象大致为（ ）
π π
A． B．
C． D．
【分析】由f（x）的解析式知f（x）为奇函数可排除A，然后计算f（ ），判断正负即
可排除B，C． π
【解答】解：∵f（x）＝ ，x [﹣ ， ]，
∈ π π
∴f（﹣x）＝ ＝﹣ ＝﹣f（x），
∴f（x）为[﹣ ， ]上的奇函数，因此排除A；
π π
又f（ ）＝ ，因此排除B，C；
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象与性质，解题关键是奇偶性和特殊值，属基础题．
6．（5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从
这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，
则下面4名学生中被抽到的是（ ）
A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生
【分析】根据系统抽样的特征，从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，抽样
的分段间隔为10，结合从第4组抽取的号码为46，可得第一组用简单随机抽样抽取的
号码．
【解答】解：：∵从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，
∴系统抽样的分段间隔为 ＝10，∵46号学生被抽到，
则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为6，以后每个号码都比前一个
号码增加10，所有号码数是以6为首项，以10为公差的等差数列，
设其数列为{a }，则a ＝6+10（n﹣1）＝10n﹣4，
n n
当n＝62时，a ＝616，即在第62组抽到616．
62
故选：C．
【点评】本题考查了系统抽样方法，关键是求得系统抽样的分段间隔．
7．（5分）tan255°＝（ ）
A．﹣2﹣ B．﹣2+ C．2﹣ D．2+
【分析】利用诱导公式变形，再由两角和的正切求解．
【解答】解：tan255°＝tan（180°+75°）＝tan75°＝tan（45°+30°）
＝ ＝ ＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的取值，考查诱导公式与两角和的正切，是基础题．
8．（5 分）已知非零向量 ， 满足| |＝2| |，且（ ﹣ ）⊥ ，则 与 的夹角为
（ ）
A． B． C． D．
【 分 析 】 由 （ ﹣ ） ⊥ ， 可 得 ， 进 一 步 得 到
，然后求出夹角即可．
【解答】解：∵（ ﹣ ）⊥ ，
∴
＝ ，
∴＝ ＝ ，
∵ ，
∴ ．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属基础题．
9．（5分）如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入（ ）
A．A＝ B．A＝2+ C．A＝ D．A＝1+
【分析】模拟程序的运行，由题意，依次写出每次得到的A的值，观察规律即可得解．
【解答】解：模拟程序的运行，可得：
A＝ ，k＝1；
满足条件k≤2，执行循环体，A＝ ，k＝2；
满足条件k≤2，执行循环体，A＝ ，k＝3；此时，不满足条件k≤2，退出循环，输出A的值为 ，
观察A的取值规律可知图中空白框中应填入A＝ ．
故选：A．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得
出正确的结论，是基础题．
10．（5分）双曲线C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C
的离心率为（ ）
A．2sin40° B．2cos40° C． D．
【分析】由已知求得 ，化为弦函数，然后两边平方即可求得C的离心率．
【解答】解：双曲线C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝ ，
由双曲线的一条渐近线的倾斜角为130°，得 ，
则 ＝ ，
∴ ＝ ，
得 ，
∴e＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，
cosA＝﹣ ，则 ＝（ ）A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】利用正弦定理和余弦定理列出方程组，能求出结果．
【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA＝﹣ ，
∴ ，
解得3c2＝ ，
∴ ＝6．
故选：A．
【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质，考查了推理能力与计算能力，
属于中档题．
12．（5分）已知椭圆C的焦点为F （﹣1，0），F （1，0），过F 的直线与C交于A，
1 2 2
B两点．若|AF |＝2|F B|，|AB|＝|BF |，则C的方程为（ ）
2 2 1
A． +y2＝1 B． + ＝1
C． + ＝1 D． + ＝1
【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a＝ ，b＝ ，可得椭圆的方程．
【解答】解：∵|AF |＝2|BF |，∴|AB|＝3|BF |，
2 2 2
又|AB|＝|BF |，∴|BF |＝3|BF |，
1 1 2
又|BF |+|BF |＝2a，∴|BF |＝ ，
1 2 2
∴|AF |＝a，|BF |＝ a，
2 1
∵|AF |+|AF |＝2a，∴|AF |＝a，
1 2 1
∴|AF |＝|AF |，∴A在y轴上．
1 2在Rt△AF O中，cos∠AF O＝ ，
2 2
在△BF F 中，由余弦定理可得cos∠BF F ＝ ，
1 2 2 1
根据cos∠AF O+cos∠BF F ＝0，可得 + ＝0，解得a2＝3，∴a＝ ．
2 2 1
b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2．
所以椭圆C的方程为： + ＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）曲线y＝3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线方程为 y ＝ 3 x ．
【分析】对y＝3（x2+x）ex求导，可将x＝0代入导函数，求得斜率，即可得到切线方程．
【解答】解：∵y＝3（x2+x）ex，
∴y'＝3ex（x2+3x+1），
∴当x＝0时，y'＝3，
∴y＝3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线斜率k＝3，
∴切线方程为：y＝3x．
故答案为：y＝3x．
【点评】本题考查了利用导数研究函数上某点的切线方程，切点处的导数值为斜率是解
题关键，属基础题．14．（5分）记S 为等比数列{a }的前n项和．若a ＝1，S ＝ ，则S ＝ ．
n n 1 3 4
【分析】利用等比数列的通项公式及求和公式表示已知，可求公比，然后再利用等比数
列的求和公式即可求解
【解答】解：∵等比数列{a }的前n项和，a ＝1，S ＝ ，
n 1 3
∴q≠1， ＝ ，
整理可得， ，
解可得，q＝﹣ ，
则S ＝ ＝ ＝ ．
4
故答案为：
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题
15．（5分）函数f（x）＝sin（2x+ ）﹣3cosx的最小值为 ﹣ 4 ．
【分析】线利用诱导公式，二倍角公式对已知函数进行化简，然后结合二次函数的 单
调性即可去求解最小值
【解答】解：∵f（x）＝sin（2x+ ）﹣3cosx，
＝﹣cos2x﹣3cosx＝﹣2cos2x﹣3cosx+1，
令t＝cosx，则﹣1≤t≤1，
∵f（t）＝﹣2t2﹣3t+1的开口向下，对称轴t＝ ，在[﹣1，1]上先增后减，
故当t＝1即cosx＝1时，函数有最小值﹣4．
故答案为：﹣4
【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦公式在三角好按时化简求值中的应用
及利用余弦函数，二次函数的性质求解最值的应用，属于基础试题
16．（5分）已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为 ，那么P到平面ABC的距离为 ．
【分析】过点P作PD⊥AC，交AC于D，作PE⊥BC，交BC于E，过P作PO⊥平面
ABC，交平面ABC于O，连结OD，OC，则PD＝PE＝ ，从而CD＝CE＝OD＝OE＝
＝1，由此能求出P到平面ABC的距离．
【解答】解：∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC
的距离均为 ，
过点P作PD⊥AC，交AC于D，作PE⊥BC，交BC于E，过P作PO⊥平面ABC，交平
面ABC于O，
连结OD，OC，则PD＝PE＝ ，
∴CD＝CE＝OD＝OE＝ ＝1，
∴PO＝ ＝ ＝ ．
∴P到平面ABC的距离为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系
等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意 不满意
男顾客 40 10
女顾客 30 20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：K2＝ ．
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【分析】（1）由题中数据，结合等可能事件的概率求解；
（2）代入计算公式：K2＝ ，然后把所求数据与3.841进行比
较即可判断．
【解答】解：（1）由题中数据可知，男顾客对该商场服务满意的概率P＝ ＝ ，
女顾客对该商场服务满意的概率P＝ ＝ ；
（2）由题意可知，K2＝ ＝ ≈4.762＞3.841，
故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．
【点评】本题主要考查了等可能事件的概率求解及独立性检验的基本思想的应用，属于
基础试题．
18．（12分）记S 为等差数列{a }的前n项和．已知S ＝﹣a ．
n n 9 5
（1）若a ＝4，求{a }的通项公式；
3 n
（2）若a ＞0，求使得S ≥a 的n的取值范围．
1 n n
【分析】（1）根据题意，等差数列{a }中，设其公差为d，由S ＝﹣a ，即可得S ＝
n 9 5 9
＝9a ＝﹣a ，变形可得a ＝0，结合a ＝4，计算可得d的值，结合等差
5 5 5 3
数列的通项公式计算可得答案；
（2）若S ≥a ，则na + d≥a +（n﹣1）d，分n＝1与n≥2两种情况讨论，求
n n 1 1
出n的取值范围，综合即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，等差数列{a }中，设其公差为d，
n
若S ＝﹣a ，则S ＝ ＝9a ＝﹣a ，变形可得a ＝0，即a +4d＝0，
9 5 9 5 5 5 1
若a ＝4，则d＝ ＝﹣2，
3
则a ＝a +（n﹣3）d＝﹣2n+10，
n 3
（2）若S ≥a ，则na + d≥a +（n﹣1）d，
n n 1 1
当n＝1时，不等式成立，
当n≥2时，有 ≥d﹣a ，变形可得（n﹣2）d≥﹣2a ，
1 1
又由S ＝﹣a ，即S ＝ ＝9a ＝﹣a ，则有a ＝0，即a +4d＝0，则有（n
9 5 9 5 5 5 1
﹣2） ≥﹣2a ，
1
又由a ＞0，则有n≤10，
1
则有2≤n≤10，
综合可得：n的取值范围是{n|1≤n≤10，n N}．
【点评】本题考查等差数列的性质以及等差∈数列的前n项和公式，涉及数列与不等式的
综合应用，属于基础题．
19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A B C D 的底面是菱形，AA ＝4，AB＝2，∠BAD
1 1 1 1 1
＝60°，E，M，N分别是BC，BB ，A D的中点．
1 1
（1）证明：MN∥平面C DE；
1
（2）求点C到平面C DE的距离．
1【分析】法一：
（1）连结B C，ME，推导出四边形MNDE是平行四边形，从而MN∥ED，由此能证明
1
MN∥平面C DE．
1
（2）过 C作C E的垂线，垂足为 H，推导出 DE⊥BC，DE⊥C C，从而 DE⊥平面
1 1
C CE，DE⊥CH，进而CH⊥平面C DE，故CH的长即为C到时平面C DE的距离，由
1 1 1
此能求出点C到平面C DE的距离．
1
法二：（1）以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DD 为z轴，建立空间直角坐标系，
1
利用向量法能证明MN∥平面C DE．
1
（2）求出 ＝（﹣1， ，0），平面C DE的法向量 ＝（4，0，1），利用向量法能
1
求出点C到平面C DE的距离．
1
【解答】解法一：
证明：（1）连结B C，ME，∵M，E分别是BB ，BC的中点，
1 1
∴ME∥B C，又N为A D的中点，∴ND＝ A D，
1 1 1
由题设知A B DC，∴B C A D，∴ME ND，
1 1 1 1
∴四边形MNDE是平行四边形，
MN∥ED，
又MN 平面C DE，∴MN∥平面C DE．
1 1
解：（⊄2）过C作C
1
E的垂线，垂足为H，
由已知可得DE⊥BC，DE⊥C C，
1
∴DE⊥平面C CE，故DE⊥CH，
1
∴CH⊥平面C DE，故CH的长即为C到时平面C DE的距离，
1 1
由已知可得CE＝1，CC ＝4，
1
∴C E＝ ，故CH＝ ，
1
∴点C到平面C DE的距离为 ．
1
解法二：
证明：（1）∵直四棱柱ABCD﹣A B C D 的底面是菱形，
1 1 1 1
AA ＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB ，A D的中点．
1 1 1
∴DD ⊥平面ABCD，DE⊥AD，
1以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DD 为z轴，建立空间直角坐标系，
1
M（1， ，2），N（1，0，2），D（0，0，0），E（0， ，0），C （﹣1， ，
1
4），
＝（0，﹣ ，0）， ＝（﹣1， ）， ＝（0， ），
设平面C DE的法向量 ＝（x，y，z），
1
则 ，
取z＝1，得 ＝（4，0，1），
∵ • ＝0，MN 平面C DE，
1
∴MN∥平面C
1
DE⊄．
解：（2）C（﹣1， ，0）， ＝（﹣1， ，0），
平面C DE的法向量 ＝（4，0，1），
1
∴点C到平面C DE的距离：
1
d＝ ＝ ＝ ．【点评】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线
面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（12分）已知函数f（x）＝2sinx﹣xcosx﹣x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0， ）存在唯一零点；
（2）若x [0， ]时，f（x）≥ax，π求a的取值范围．
【分析】（∈ 1）π令g（x）＝f′（x），对g（x）再求导，研究其在（0， ）上的单调性，
结合极值点和端点值不难证明； π
（2）利用（1）的结论，可设f′（x）的零点为x ，并结合f′（x）的正负分析得到f
0
（x）的情况，作出图示，得出结论．
【解答】解：
（1）
证明：∵f（x）＝2sinx﹣xcosx﹣x，
∴f′（x）＝2cosx﹣cosx+xsinx﹣1
＝cosx+xsinx﹣1，
令g（x）＝cosx+xsinx﹣1，
则g′（x）＝﹣sinx+sinx+xcosx
＝xcosx，
当x （0， ）时，xcosx＞0，
∈
当x 时，xcosx＜0，
∴当x＝ 时，极大值为g（ ）＝ ＞0，
又g（0）＝0，g（ ）＝﹣2，
π∴g（x）在（0， ）上有唯一零点，
即f′（x）在（0，π ）上有唯一零点；
（2） π
由（1）知，f′（x）在（0， ）上有唯一零点x ，
0
使得f′（x 0 ）＝0， π
且f′（x）在（0，x ）为正，
0
在（x ， ）为负，
0
∴f（x）在π [0，x
0
]递增，在[x
0
， ]递减，
结合f（0）＝0，f（ ）＝0， π
可知f（x）在[0， ]上π 非负，
令h（x）＝ax， π
作出图示，
∵f（x）≥h（x），
∴a≤0，
∴a的取值范围是（﹣∞，0]．
【点评】此题考查了利用导数研究函数的单调性，零点等问题，和数形结合的思想方法，
难度较大．
21．（12分）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4， M过点A，B且与直线x+2＝
0相切． ⊙
（1）若A在直线x+y＝0上，求 M的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A⊙运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由．
【分析】（1）由条件知点M在线段AB的中垂线x﹣y＝0上，设圆的方程为 M的方程
为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝R2（R＞0），然后根据圆与直线x+2＝0相切和圆心⊙到直线x+y＝0的距离，半弦长和半径的关系建立方程组即可；
（2）设M的坐标为（x，y），然后根据条件的到圆心M的轨迹方程为y2＝4x，然后根
据抛物线的定义即可得到定点．
【解答】解：∵ M过点A，B且A在直线x+y＝0上，
∴点M在线段A⊙B的中垂线x﹣y＝0上，
设 M的方程为：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝R2（R＞0），则
⊙
圆心M（a，a）到直线x+y＝0的距离d＝ ，
又|AB|＝4，∴在Rt△OMB中，
d2+（ |AB|）2＝R2，
即
①
又∵ M与x＝﹣2相切，∴|a+2|＝R
⊙ ②
由 解得 或 ，
①②
∴ M的半径为2或6；
（⊙2）∵线段AB为 M的一条弦O是弦AB的中点，∴圆心M在线段AB的中垂线上，
设点M的坐标为（⊙x，y），则|OM|2+|OA|2＝|MA|2，
∵ M与直线x+2＝0相切，∴|MA|＝|x+2|，
∴⊙|x+2|2＝|OM|2+|OA|2＝x2+y2+4，
∴y2＝4x，
∴M的轨迹是以F（1，0）为焦点x＝﹣1为准线的抛物线，
∴|MA|﹣|MP|＝|x+2|﹣|MP|
＝|x+1|﹣|MP|+1＝|MF|﹣|MP|+1，
∴当|MA|﹣|MP|为定值时，则点P与点F重合，即P的坐标为（1，0），
∴存在定点P（1，0）使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值．
【点评】本题考查了直线与圆的关系和抛物线的定义，考查了待定系数法和曲线轨迹方
程的求法，属难题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数）．以
坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2 cos +
sin +11＝0． ρ θ
（1ρ）求θC和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
【分析】（1）把曲线C的参数方程变形，平方相加可得普通方程，把x＝ cos ，y＝
sin 代入2 cos + sin +11＝0，可得直线l的直角坐标方程； ρ θ
ρ（2）θ 法一、ρ设出θ椭圆ρ上动θ点的坐标（参数形式），再由点到直线的距离公式写出距离，
利用三角函数求最值；
法二、写出与直线l平行的直线方程为 ，与曲线C联立，化为关于x的一
元二次方程，利用判别式大于0求得m，转化为两平行线间的距离求C上的点到l距离
的最小值．
【解答】解：（1）由 （t为参数），得 ，
两式平方相加，得 （x≠﹣1），
∴C的直角坐标方程为 （x≠﹣1），
由2 cos + sin +11＝0，得 ．
即直ρ线lθ的直角ρ坐标θ 方程为得 ；
（2）法一、设C上的点P（cos ，2sin ）（ ≠ ），
则P到直线得 的θ距离为：θ θ π
d＝ ＝ ．
∴当sin（ + ）＝﹣1时，d有最小值为 ．
法二、设与θ直φ线 平行的直线方程为 ，联立 ，得16x2+4mx+m2﹣12＝0．
由△＝16m2﹣64（m2﹣12）＝0，得m＝±4．
∴当m＝4时，直线 与曲线C的切点到直线 的距离最小，
为 ．
【点评】本题考查间单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与椭圆
位置关系的应用，训练了两平行线间的距离公式的应用，是中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：
（1） + + ≤a2+b2+c2；
（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．
【分析】（1）利用基本不等式和1的运用可证，（2）分析法和综合法的证明方法可证．
【解答】证明：（1）分析法：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．
要证（1） + + ≤a2+b2+c2；因为abc＝1．
就要证： + + ≤a2+b2+c2；
即证：bc+ac+ab≤a2+b2+c2；
即：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2；
2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0
（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0；
∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．
∴（a﹣b）2≥0；（a﹣c）2≥0；（b﹣c）2≥0恒成立；当且仅当：a＝b＝c＝1时取等
号．
即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0得证．
故 + + ≤a2+b2+c2得证．
（2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24成立；
即：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．（a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数；
（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）；
当且仅当（a+b）＝（b+c）＝（c+a）时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；
∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．
（a+b）≥2 ；（b+c）≥2 ；（c+a）≥2 ；
当且仅当a＝b，b＝c；c＝a时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；
∴（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）≥3×8 • • ＝
24abc＝24；
当且仅当a＝b＝c＝1时取等号；
故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．得证．
故得证．
【点评】本题考查重要不等式和基本不等式的运用，分析法和综合法的证明方法．
