文档内容
2010 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版Ⅱ）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）复数（ ）2=（ ）
A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i
2．（5分）函数 的反函数是（ ）
A．y=e2x﹣1﹣1（x＞0） B．y=e2x﹣1+1（x＞0）
C．y=e2x﹣1﹣1（x R） D．y=e2x﹣1+1（x R）
∈ ∈
3．（5 分）若变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值为（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（5分）如果等差数列{a }中，a +a +a =12，那么a +a +…+a =（ ）
n 3 4 5 1 2 7
A．14 B．21 C．28 D．35
5．（5分）不等式 ＞0的解集为（ ）
A．{x|x＜﹣2，或x＞3} B．{x|x＜﹣2，或1＜x＜3}
C．{x|﹣2＜x＜1，或x＞3} D．{x|﹣2＜x＜1，或1＜x＜3}
6．（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，
若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法
共有（ ）
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种
7．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣ ）的图象，只需把函数 y=sin（2x+
）的图象（ ）
A．向左平移 个长度单位 B．向右平移 个长度单位
C．向左平移 个长度单位 D．向右平移 个长度单位
8．（5分）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若 = ， = ，| |=1，| |=2，则 =（ ）
A． + B． + C． + D． +
9．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2 ，那么当该棱锥的体积最大时，
它的高为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
10．（5分）若曲线y= 在点（a， ）处的切线与两个坐标围成的三角形
的面积为18，则a=（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
11．（5分）与正方体ABCD﹣A B C D 的三条棱AB、CC 、A D 所在直线的距离
1 1 1 1 1 1 1
相等的点（ ）
A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．有且只有3个 D．有无数个
12．（5分）已知椭圆T： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，过右焦点F
且斜率为 k（k＞0）的直线与 T 相交于 A，B 两点，若 =3 ，则 k=
（ ）
A．1 B． C． D．2
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知a是第二象限的角，tan（π+2α）=﹣ ，则tanα= ．
14．（5分）若（x﹣ ）9的展开式中x3的系数是﹣84，则a= ．
15．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为
的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若 ，则p= ．
16．（5分）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M
与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN= ．
三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）△ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB= ，cos∠ADC=
，求AD．
18．（12分）已知数列{a }的前n项和S =（n2+n）•3n．
n n
（Ⅰ）求 ；（Ⅱ）证明： + +…+ ＞3n．
19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A B C 中，AC=BC，AA =AB，D为BB 的中
1 1 1 1 1
点，E为AB 上的一点，AE=3EB ．
1 1
（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB 与CD的公垂线；
1
（Ⅱ）设异面直线AB 与CD的夹角为45°，求二面角A ﹣AC ﹣B 的大小．
1 1 1 1
20．（12分）如图，由 M到N的电路中有 4个元件，分别标为 T ，T ，T ，
1 2 3
T ，电流能通过T ，T ，T 的概率都是P，电流能通过T 的概率是0.9，电流
4 1 2 3 4能否通过各元件相互独立．已知 T ，T ，T 中至少有一个能通过电流的概率
1 2 3
为0.999．
（Ⅰ）求P；
（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．
21．（12分）已知斜率为1的直线l与双曲线C： 相交
于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D三点
的圆与x轴相切．
22．（12分）设函数f（x）=1﹣e﹣x．
（Ⅰ）证明：当x＞﹣1时，f（x）≥ ；
（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤ ，求a的取值范围．2010 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）复数（ ）2=（ ）
A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i
【考点】A5：复数的运算．
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【专题】11：计算题．
【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复
数整理成整式形式，再进行复数的乘方运算，合并同类项，得到结果．
【解答】解：（ ）2=[ ]2=（1﹣2i）2=﹣3﹣4i．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的除法和乘方运算，是一个基础题，解题时没有规
律和技巧可寻，只要认真完成，则一定会得分．
2．（5分）函数 的反函数是（ ）
A．y=e2x﹣1﹣1（x＞0） B．y=e2x﹣1+1（x＞0）
C．y=e2x﹣1﹣1（x R） D．y=e2x﹣1+1（x R）
∈ ∈
【考点】4H：对数的运算性质；4R：反函数．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】从条件中 中反解出x，再将x，y互换即得．解答
本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换
位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．
【解答】解：由原函数解得x=e 2y﹣1+1，
∴f﹣1（x）=e 2x﹣1+1，
又x＞1，∴x﹣1＞0；
∴ln（x﹣1） R∴在反函数中x R，
故选：D．
∈ ∈
【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出
x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域
（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．
3．（5 分）若变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值为（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】7C：简单线性规划．
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【专题】31：数形结合．
【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，
只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可．
【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，
可得直线与y=x与3x+2y=5的交点为最优解点，
∴即为B（1，1），当x=1，y=1时z =3．
max
故选：C．
【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．（5分）如果等差数列{a }中，a +a +a =12，那么a +a +…+a =（ ）
n 3 4 5 1 2 7
A．14 B．21 C．28 D．35
【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．
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【分析】由等差数列的性质求解．
【解答】解：a +a +a =3a =12，a =4，
3 4 5 4 4
∴a +a +…+a = =7a =28
1 2 7 4
故选：C．
【点评】本题主要考查等差数列的性质．
5．（5分）不等式 ＞0的解集为（ ）
A．{x|x＜﹣2，或x＞3} B．{x|x＜﹣2，或1＜x＜3}
C．{x|﹣2＜x＜1，或x＞3} D．{x|﹣2＜x＜1，或1＜x＜3}
【考点】73：一元二次不等式及其应用．
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【专题】11：计算题．
【分析】解 ，可转化成f（x）•g（x）＞0，再利用根轴法进行求解．
【解答】解： （x﹣3）（x+2）（x﹣1）＞0
⇔ ⇔
利用数轴穿根法解得﹣2＜x＜1或x＞3，
故选：C．
【点评】本试题主要考查分式不等式与高次不等式的解法，属于不等式的基础
题．
6．（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，
若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法
共有（ ）
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．
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【专题】11：计算题．
【分析】本题是一个分步计数问题，首先从3个信封中选一个放1，2有3种不
同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有C 2，余下放入最后一个
4
信封，根据分步计数原理得到结果．
【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，
∵先从3个信封中选一个放1，2，有 =3种不同的选法；根据分组公式，其
他四封信放入两个信封，每个信封两个有 =6种放法，
∴共有3×6×1=18．
故选：B．
【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的
关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中，这里包含两
个步骤，先平均分组，再排列．
7．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣ ）的图象，只需把函数 y=sin（2x+
）的图象（ ）
A．向左平移 个长度单位 B．向右平移 个长度单位
C．向左平移 个长度单位 D．向右平移 个长度单位
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
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【专题】1：常规题型．
【分析】先将2提出来，再由左加右减的原则进行平移即可．
【解答】解：y=sin（2x+ ）=sin2（x+ ），y=sin（2x﹣ ）=sin2（x﹣
），所以将y=sin（2x+ ）的图象向右平移 个长度单位得到y=sin（2x﹣ ）的
图象，
故选：B．
【点评】本试题主要考查三角函数图象的平移．平移都是对单个的x来说的．
8．（5分）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若 = ， = ，| |
=1，| |=2，则 =（ ）
A． + B． + C． + D． +
【考点】9B：向量加减混合运算．
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【分析】由△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，根据三角形内角平分
线定理，我们易得到 ，我们将 后，将各向量用 ， 表
示，即可得到答案．
【解答】解：∵CD为角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定
理，即若AD为三角形ABC的内角A的角平分线，则AB：AC=BD：CD
9．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2 ，那么当该棱锥的体积最大时，
它的高为（ ）
A．1 B． C．2 D．3【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得
最大值时，高的值．
【解答】解：设底面边长为a，则高h= = ，所以体积V=
a2h= ，
设y=12a4﹣ a6，则y′=48a3﹣3a5，当y取最值时，y′=48a3﹣3a5=0，解得a=0或
a=4时，当a=4时，体积最大，
此时h= =2，
故选：C．
【点评】本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法．是中
档题．
10．（5分）若曲线y= 在点（a， ）处的切线与两个坐标围成的三角形
的面积为18，则a=（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
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【专题】31：数形结合．
【分析】欲求参数a值，必须求出在点（a， ）处的切线方程，只须求出其
斜率的值即可，故先利用导数求出在x=a处的导函数值，再结合导数的几何
意义即可求出切线的斜率得到切线的方程，最后求出与坐标轴的交点坐标结
合三角形的面积公式．从而问题解决．【解答】解：y′=﹣ ，∴k=﹣ ，
切线方程是y﹣ =﹣ （x﹣a），
令x=0，y= ，令y=0，x=3a，
∴三角形的面积是s= •3a• =18，
解得a=64．
故选：A．
【点评】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的
面积公式，考查考生的计算能力．
11．（5分）与正方体ABCD﹣A B C D 的三条棱AB、CC 、A D 所在直线的距离
1 1 1 1 1 1 1
相等的点（ ）
A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．有且只有3个 D．有无数个
【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．
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【专题】16：压轴题．
【分析】由于点D、B 显然满足要求，猜想 B D上任一点都满足要求，然后想
1 1
办法证明结论．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A B C D 上建立如图所示空间直角坐标系，
1 1 1 1
并设该正方体的棱长为1，连接B D，并在B D上任取一点P，
1 1
因为 =（1，1，1），
所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1．
作PE⊥平面A D，垂足为E，再作EF⊥A D ，垂足为F，
1 1 1
则PF是点P到直线A D 的距离．
1 1
所以PF= ；
同理点P到直线AB、CC 的距离也是 ．
1所以B D上任一点与正方体 ABCD﹣A B C D 的三条棱AB、CC 、A D 所在直线
1 1 1 1 1 1 1 1
的距离都相等，
所以与正方体 ABCD﹣A B C D 的三条棱AB、CC 、A D 所在直线的距离相等的
1 1 1 1 1 1 1
点有无数个．
故选：D．
【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法．
12．（5分）已知椭圆T： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，过右焦点F
且斜率为 k（k＞0）的直线与 T 相交于 A，B 两点，若 =3 ，则 k=
（ ）
A．1 B． C． D．2
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设A（x ，y ），B（x ，y ），根据 求得y 和y 关系根据离心
1 1 2 2 1 2
率设 ，b=t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达
定理表示出y +y 和y y ，进而根据y 和y 关系求得k．
1 2 1 2 1 2
【解答】解：A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
∵ ，∴y =﹣3y ，
1 2
∵ ，设 ，b=t，
∴x2+4y2﹣4t2=0①，设直线AB方程为 ，代入①中消去x，可得 ，
∴ ， ，
解得 ，
故选：B．
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强，
要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识
的运用．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知a是第二象限的角，tan（π+2α）=﹣ ，则tanα= ．
【考点】GO：运用诱导公式化简求值；GS：二倍角的三角函数．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据诱导公式 tan（π+α）=tanα 得到 tan2α，然后利用公式 tan
（α+β）= 求出tanα，因为α为第二象限的角，判断取值即可．
【解答】解：由tan（π+2a）=﹣ 得tan2a=﹣ ，又tan2a= =﹣ ，
解得tana=﹣ 或tana=2，
又a是第二象限的角，所以tana=﹣ ．
故答案为： ．
【点评】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，
考查考生的计算能力．14．（5分）若（x﹣ ）9的展开式中x3的系数是﹣84，则a= 1 ．
【考点】DA：二项式定理．
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【专题】11：计算题．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第 r+1项，令x的指数为3得展开式
中x3的系数，列出方程解得．
【解答】解： 展开式的通项为 =（﹣a）rC rx9﹣2r
9
令9﹣2r=3得r=3
∴展开式中x3的系数是C 3（﹣a）3=﹣84a3=﹣84，
9
∴a=1．
故答案为1
【点评】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法．
15．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为
的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若 ，则p= 2 ．
【考点】K8：抛物线的性质．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设直线AB的方程与抛物线方程联立消去y得3x2+（﹣6﹣2p）x+3=0，
进而根据 ，可知M为A、B的中点，
可得p的关系式，解方程即可求得p．
【解答】解：设直线AB： ，代入y2=2px得3x2+（﹣6﹣2p）x+3=0，
又∵ ，即M为A、B的中点，
∴x +（﹣ ）=2，即x =2+ ，
B B
得p2+4P﹣12=0，
解得p=2，p=﹣6（舍去）
故答案为：2
【点评】本题考查了抛物线的几何性质．属基础题．16．（5分）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M
与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN= 3 ．
【考点】JE：直线和圆的方程的应用；ND：球的性质．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】根据题意画出图形，欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三
角形MNO中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可
解得．
【解答】解法一：∵ON=3，球半径为4，
∴小圆N的半径为 ，
∵小圆N中弦长AB=4，作NE垂直于AB，
∴NE= ，同理可得 ，在直角三角形ONE中，
∵NE= ，ON=3，
∴ ，
∴ ，
∴MN=3．
故填：3．
解法二：如下图：设AB的中点为C，则OC与MN必相交于MN中点为E，因为
OM=ON=3，
故小圆半径NB为C为AB中点，故CB=2；所以NC= ，
∵△ONC为直角三角形，NE为△ONC斜边上的高，OC=
∴MN=2EN=2•CN• =2× × =3
故填：3．
【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，还考查球、直线与圆的基
础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）△ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB= ，cos∠ADC=
，求AD．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．
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【分析】先由cos∠ADC= 确定角 ADC的范围，因为∠BAD=∠ADC﹣B所以可
求其正弦值，最后由正弦定理可得答案．
【解答】解：由cos∠ADC= ＞0，则∠ADC＜ ，
又由知B＜∠ADC可得B＜ ，由sinB= ，可得cosB= ，
又由cos∠ADC= ，可得sin∠ADC= ．
从 而 sin∠ BAD=sin （ ∠ ADC﹣B ） =sin∠ ADCcosB﹣cos∠ ADCsinB=
= ．
由正弦定理得 ，
所以AD= = ．
【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试
题中频繁出现．这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，
估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变．解决此类问题，要根据已知
条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化．
18．（12分）已知数列{a }的前n项和S =（n2+n）•3n．
n n
（Ⅰ）求 ；（Ⅱ）证明： + +…+ ＞3n．
【考点】6F：极限及其运算；R6：不等式的证明．
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【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（1）由题意知 ，
由此可知答案．
（2）由题意知， =
= ， 由此可知，当n≥1时， ．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ）
，所以 = ；
（2）当n=1时， ；
当n＞1时， =
= =
所以，n≥1时， ．
【点评】本题考查数列的极限问题，解题时要注意公式的灵活运用．
19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A B C 中，AC=BC，AA =AB，D为BB 的中
1 1 1 1 1
点，E为AB 上的一点，AE=3EB ．
1 1
（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB 与CD的公垂线；
1
（Ⅱ）设异面直线AB 与CD的夹角为45°，求二面角A ﹣AC ﹣B 的大小．
1 1 1 1【考点】LM：异面直线及其所成的角；LQ：平面与平面之间的位置关系．
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【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（1）欲证 DE 为异面直线 AB 与CD 的公垂线，即证 DE与异面直线
1
AB 与CD垂直相交即可；
1
（2）将AB 平移到DG，故∠CDG为异面直线AB 与CD的夹角，作HK⊥AC ，K
1 1 1
为垂足，连接B K，由三垂线定理，得B K⊥AC ，因此∠B KH为二面角A ﹣
1 1 1 1 1
AC ﹣B 的平面角，在三角形B KH中求出此角即可．
1 1 1
【解答】解：（1）连接A B，记A B与AB 的交点为F．
1 1 1
因为面AA BB 为正方形，故A B⊥AB ，且AF=FB ，
1 1 1 1 1
又AE=3EB ，所以FE=EB ，
1 1
又D为BB 的中点，
1
故DE∥BF，DE⊥AB ．
1
作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点．
又由底面ABC⊥面AA B B．连接DG，则DG∥AB ，
1 1 1
故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD．
所以DE为异面直线AB 与CD的公垂线．
1
（2）因为DG∥AB ，故∠CDG为异面直线AB 与CD的夹角，∠CDG=45°
1 1
设AB=2，则AB = ，DG= ，CG= ，AC= ．
1
作B H⊥A C ，H为垂足，因为底面A B C ⊥面AA CC ，故B H⊥面AA C C．又
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
作HK⊥AC ，K为垂足，连接B K，由三垂线定理，得B K⊥AC ，因此∠B KH
1 1 1 1 1
为二面角A ﹣AC ﹣B 的平面角．
1 1 1
B H= ，C H= ，AC = ，HK=
1 1 1
tan∠B KH= ，
1∴二面角A ﹣AC ﹣B 的大小为arctan ．
1 1 1
【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想
象与推理计算的能力．三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的
热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角
的主要手段．通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡
化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变
得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处．
20．（12分）如图，由 M到N的电路中有 4个元件，分别标为 T ，T ，T ，
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T ，电流能通过T ，T ，T 的概率都是P，电流能通过T 的概率是0.9，电流
4 1 2 3 4
能否通过各元件相互独立．已知 T ，T ，T 中至少有一个能通过电流的概率
1 2 3
为0.999．
（Ⅰ）求P；
（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．
【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的
概率乘法公式．
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【专题】11：计算题．
【分析】（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将T1，T2，
T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得p．
（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，根据电路图，可得B=A +（1﹣A ）A A +（1﹣A ）（1﹣A ）A A ，由互斥事件的概率公式，代
4 4 1 3 4 1 2 3
入数据计算可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，记电流能通过T为事件A，i=1、2、3、4，
i i
A表示事件：T ，T ，T ，中至少有一个能通过电流，
1 2 3
易得A ，A ，A 相互独立，且 ，
1 2 3
P（ ）=（1﹣p）3=1﹣0.999=0.001，
计算可得，p=0.9；
（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，
有B=A +（1﹣A ）A A +（1﹣A ）（1﹣A ）A A ，
4 4 1 3 4 1 2 3
则P（B）=P（A +（1﹣A ）A A +（1﹣A ）（1﹣A ）A A ）
4 4 1 3 4 1 2 3
=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9
=0.9891．
【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，注意先
明确事件之间的关系，进而选择对应的公式来计算．
21．（12分）已知斜率为1的直线l与双曲线C： 相交
于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D三点
的圆与x轴相切．
【考点】J9：直线与圆的位置关系；KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线
的综合．
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【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．
【分析】（Ⅰ）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于
BD两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式
找出a，b的关系式即求得离心率．
（Ⅱ）利用离心率将条件|FA||FB|=17，用含a的代数式表示，即可求得 a，则A点坐标可得（1，0），由于A在x轴上所以，只要证明2AM=BD即证得．
【解答】解：（Ⅰ）由题设知，l的方程为：y=x+2，代入C的方程，并化简，
得（b2﹣a2）x2﹣4a2x﹣a2b2﹣4a2=0，
设B（x ，y ），D（x ，y ），则 ， ，①
1 1 2 2
由M（1，3）为BD的中点知 ．
故 ，即b2=3a2，②
故 ，
∴C的离心率 ．
（Ⅱ）由①②知，C的方程为：3x2﹣y2=3a2，A（a，0），F（2a，0），
．
故不妨设x ≤﹣a，x ≥a，
1 2
， ，
|BF|•|FD|=（a﹣2x ）（2x ﹣a）=﹣4x x +2a（x +x ）﹣a2=5a2+4a+8．
1 2 1 2 1 2
又|BF|•|FD|=17，故5a2+4a+8=17．
解得a=1，或 （舍去），
故 =6，
连接MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，
从而MA=MB=MD，且MA⊥x轴，
因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，
所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决
问题的能力．
22．（12分）设函数f（x）=1﹣e﹣x．
（Ⅰ）证明：当x＞﹣1时，f（x）≥ ；
（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤ ，求a的取值范围．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值．
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【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】（1）将函数f（x）的解析式代入f（x）≥ 整理成ex≥1+x，组成
新函数 g（x）=ex﹣x﹣1，然后根据其导函数判断单调性进而可求出函数 g
（x）的最小值g（0），进而g（x）≥g（0）可得证．
（2）先确定函数f（x）的取值范围，然后对a分a＜0和a≥0两种情况进行讨
论．当a＜0时根据x的范围可直接得到f（x）≤ 不成立；当a≥0时，
令h（x）=axf（x）+f（x）﹣x，然后对函数h（x）进行求导，根据导函数判
断单调性并求出最值，求a的范围．
【解答】解：（1）当x＞﹣1时，f（x）≥ 当且仅当ex≥1+x
令g（x）=ex﹣x﹣1，则g'（x）=ex﹣1
当x≥0时g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）是增函数当x≤0时g'（x）≤0，g（x）在（﹣∞，0]是减函数
于是 g（x）在 x=0 处达到最小值，因而当 x R 时，g（x）≥g（0）时，即
ex≥1+x
∈
所以当x＞﹣1时，f（x）≥
（2）由题意x≥0，此时f（x）≥0
当a＜0时，若x＞﹣ ，则 ＜0，f（x）≤ 不成立；
当a≥0时，令h（x）=axf（x）+f（x）﹣x，则
f（x）≤ 当且仅当h（x）≤0
因为f（x）=1﹣e﹣x，所以h'（x）=af（x）+axf'（x）+f'（x）﹣1=af（x）﹣axf
（x）+ax﹣f（x）
（i）当0≤a≤ 时，由（1）知x≤（x+1）f（x）
h'（x）≤af（x）﹣axf（x）+a（x+1）f（x）﹣f（x）
=（2a﹣1）f（x）≤0，
h（x）在[0，+∞）是减函数，h（x）≤h（0）=0，即f（x）≤ ；
（ii）当a＞ 时，由y=x﹣f（x）=x﹣1+e﹣x，
y′=1﹣e﹣x，x＞0时，函数y递增；x＜0，函数y递减．
可得x=0处函数y取得最小值0，即有x≥f（x）．
h'（x）=af（x）﹣axf（x）+ax﹣f（x）≥af（x）﹣axf（x）+af（x）﹣f（x）=
（2a﹣1﹣ax）f（x）
当0＜x＜ 时，h'（x）＞0，所以h'（x）＞0，所以h（x）＞h（0）=0，即
f（x）＞
综上，a的取值范围是[0， ]
【点评】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题
的能力；导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求
考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算
能力．估计以后对导数的考查力度不会减弱．作为压轴题，主要是涉及利用
导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，
这也是难点之所在．
