文档内容
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种
2010 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版Ⅱ）
10．（5分）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若 = ， = ，| |=1，| |=2，则 =
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
（ ）
1．（5分）设全集U={x N |x＜6}，集合A={1，3}，B={3，5}，则 （A∪B）=（ ）
+ U
A． + B． + C． + D． +
A．{1，4} B．{1，5} C．{2，4} D．{2，5}
∈ ∁
11．（5分）与正方体ABCD﹣A B C D 的三条棱AB、CC 、A D 所在直线的距离相等的点（ ）
1 1 1 1 1 1 1
2．（5分）不等式 ＜0的解集为（ ）
A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．有且只有3个 D．有无数个
A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|x＜﹣2}
C．{x|x＜﹣2或x＞3} D．{x|x＞3} 12．（5分）已知椭圆T： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，过右焦点F且斜率为k（k＞0）
3．（5分）已知sinα= ，则cos（π﹣2α）=（ ）
的直线与T相交于A，B两点，若 =3 ，则k=（ ）
A．1 B． C． D．2
A．﹣ B．﹣ C． D．
4．（5分）函数 的反函数是（ ） 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
A．y=e2x﹣1﹣1（x＞0） B．y=e2x﹣1+1（x＞0） 13．（5分）已知α是第二象限的角，tanα=﹣ ，则cosα= ．
C．y=e2x﹣1﹣1（x R） D．y=e2x﹣1+1（x R）
14．（5分）（x+ ）9展开式中x3的系数是 ．（用数字作答）
∈ ∈
5．（5分）若变量x，y满足约束条件 ，则z=2x+y的最大值为（ ）
15．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为 的直线与l相交于
A，与C的一个交点为B，若 ，则p= ．
A．1 B．2 C．3 D．4
16．（5分）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，
6．（5分）如果等差数列{a }中，a +a +a =12，那么a +a +…+a =（ ）
n 3 4 5 1 2 7
AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN= ．
A．14 B．21 C．28 D．35
7．（5分）若曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（ ）
三、解答题（共6小题，满分70分）
A．a=1，b=2 B．a=﹣1，b=2 C．a=1，b=﹣2 D．a=﹣1，b=﹣2
8．（5分）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC， 17．（10分）△ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB= ，cos∠ADC= ，求AD．
SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，
其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）18．（12分）已知{a }是各项均为正数的等比数列a +a =2（ ），a +a +a =64 + +
n 1 2 3 4 5
）
20．（12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T ，T ，T ，T ，电流能通过T ，
1 2 3 4 1
（Ⅰ）求{a }的通项公式；
n T ，T 的概率都是 P，电流能通过 T 的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知 T ，
2 3 4 1
（Ⅱ）设b =（a + ）2，求数列{b }的前n项和T． T ，T 中至少有一个能通过电流的概率为0.999．
n n n n 2 3
（Ⅰ）求P；
（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．
19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A B C 中，AC=BC，AA =AB，D为BB 的中点，E为AB 上的一
1 1 1 1 1 1
点，AE=3EB ．
1
（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB 与CD的公垂线；
1
（Ⅱ）设异面直线AB 与CD的夹角为45°，求二面角A ﹣AC ﹣B 的大小．
1 1 1 122．（12分）已知斜率为 1的直线l与双曲线C： 相交于B、D两点，且
21．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；
BD的中点为M（1，3）．
（Ⅱ）若f（x）在区间（0， ）上是减函数，求实数a的取值范围． （Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．即x﹣3＞0且x+2＜0解得：x＞3且x＜﹣2所以无解；
或x﹣3＜0且x+2＞0，解得﹣2＜x＜3，
2010 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版Ⅱ）
所以不等式的解集为﹣2＜x＜3
参考答案与试题解析
故选：A．
【点评】本题主要考查学生求不等式解集的能力，是一道基础题．
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）设全集U={x N |x＜6}，集合A={1，3}，B={3，5}，则 （A∪B）=（ ）
+ U
3．（5分）已知sinα= ，则cos（π﹣2α）=（ ）
A．{1，4} B．{1，5} C．{2，4} D．{2，5}
∈ ∁
A．﹣ B．﹣ C． D．
【考点】1H：交、并、补集的混合运算．
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【专题】11：计算题．
【考点】GO：运用诱导公式化简求值；GS：二倍角的三角函数．
【分析】由全集U={x N + |x＜6}，可得U={1，2，3，4，5}，然后根据集合混合运算的法则即可求 菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
解．
∈
【分析】先根据诱导公式求得cos（π﹣2a）=﹣cos2a进而根据二倍角公式把 sinα的值代入即可求
【解答】解：∵A={1，3}，B={3，5}，
得答案．
∴A∪B={1，3，5}，
∵U={x N |x＜6}={1，2，3，4，5}， 【解答】解：∵sina= ，
+
∴ （A∪B）={2，4}，
U ∈
∴cos（π﹣2a）=﹣cos2a=﹣（1﹣2sin2a）=﹣ ．
故选：C．
∁
【点评】本题考查了集合的基本运算，属于基础知识，注意细心运算． 故选：B．
【点评】本题考查了二倍角公式及诱导公式．考查了学生对三角函数基础公式的记忆．
2．（5分）不等式 ＜0的解集为（ ）
4．（5分）函数 的反函数是（ ）
A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|x＜﹣2} C．{x|x＜﹣2或x＞3} D．{x|x＞3}
A．y=e2x﹣1﹣1（x＞0） B．y=e2x﹣1+1（x＞0）
【考点】73：一元二次不等式及其应用． C．y=e2x﹣1﹣1（x R） D．y=e2x﹣1+1（x R）
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【专题】11：计算题．
∈ ∈
【分析】本题的方法是：要使不等式小于0即要分子与分母异号，得到一个一元二次不等式，讨 【考点】4H：对数的运算性质；4R：反函数．
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论x的值即可得到解集． 【专题】11：计算题；16：压轴题．
【解答】解：∵ ，得到（x﹣3）（x+2）＜0 【分析】从条件中 中反解出x，再将x，y互换即得．解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义
域，据此即可求得反函数．
【解答】解：由原函数解得
x=e 2y﹣1+1，
∴f﹣1（x）=e 2x﹣1+1，
又x＞1，∴x﹣1＞0；
∴ln（x﹣1） R∴在反函数中x R，
【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
故选：D．
∈ ∈
【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交
6．（5分）如果等差数列{a }中，a +a +a =12，那么a +a +…+a =（ ）
n 3 4 5 1 2 7
换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求
A．14 B．21 C．28 D．35
反函数的定义域）．
【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．
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【分析】由等差数列的性质求解．
5．（5分）若变量x，y满足约束条件 ，则z=2x+y的最大值为（ ）
【解答】解：a +a +a =3a =12，a =4，
3 4 5 4 4
A．1 B．2 C．3 D．4
∴a +a +…+a = =7a =28
1 2 7 4
故选：C．
【考点】7C：简单线性规划．
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【点评】本题主要考查等差数列的性质．
【专题】31：数形结合．
【分析】先根据约束条件画出可行域，设 z=2x+y，再利用 z的几何意义求最值，只需求出直线
7．（5分）若曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（ ）
z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可．
A．a=1，b=2 B．a=﹣1，b=2 C．a=1，b=﹣2 D．a=﹣1，b=﹣2
【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，
可得直线与y=x与3x+2y=5的交点为最优解点，
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
∴即为B（1，1），当x=1，y=1时z =3． 菁优网版权所有
max
【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．
故选：C．
【分析】由y=x2+ax+b，知y′=2x+a，再由曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1=0，
求出a和b．
【解答】解：∵y=x2+ax+b，
∴y′=2x+a，
∵y′| =2+a，
x=1∴曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为y﹣b=（2+a）（x﹣1），
∵曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1=0，
∴a=﹣1，b=2．
故选：B．
【点评】本题考查利用导数求曲线上某点切线方程的应用，解题时要认真审题，仔细解答．
8．（5分）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，
【点评】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角．
SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D． 9．（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，
其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种
【考点】MI：直线与平面所成的角．
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【专题】11：计算题．
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．
【分析】由图，过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF， 菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
由题设条件证出∠ABF即所求线面角．由数据求出其正弦值．
【分析】本题是一个分步计数问题，首先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩
【解答】解：过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，
下的4个数中选两个放一个信封有C 2，余下放入最后一个信封，根据分步计数原理得到结果．
∵正三角形ABC， 4
【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，
∴E为BC中点，
∵BC⊥AE，SA⊥BC， ∵先从3个信封中选一个放1，2，有 =3种不同的选法；根据分组公式，其他四封信放入两个信
∴BC⊥面SAE，
∴BC⊥AF，AF⊥SE，
封，每个信封两个有 =6种放法，
∴AF⊥面SBC，
∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长2，
∴共有3×6×1=18．
∴AE= ，AS=3，
故选：B．
∴SE=2 ，AF= ， 【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二
步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列．
∴sin∠ABF= ．
故选：D． 10．（5分）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若 = ， = ，| |=1，| |=2，则 =（ ） 所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1．
作PE⊥平面A D，垂足为E，再作EF⊥A D ，垂足为F，
A． + B． + C． + D． + 1 1 1
则PF是点P到直线A D 的距离．
1 1
所以PF= ；
【考点】9B：向量加减混合运算．
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【分析】由△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得到
同理点P到直线AB、CC 的距离也是 ．
1
，我们将 后，将各向量用 ， 表示，即可得到答案． 所以B D上任一点与正方体ABCD﹣A B C D 的三条棱AB、CC 、A D 所在直线的距离都相等，
1 1 1 1 1 1 1 1
所以与正方体ABCD﹣A B C D 的三条棱AB、CC 、A D 所在直线的距离相等的点有无数个．
【解答】解：∵CD为角平分线， 1 1 1 1 1 1 1
故选：D．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，即若AD为三角
【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法．
形ABC的内角A的角平分线，则AB：AC=BD：CD
12．（5分）已知椭圆T： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，过右焦点F且斜率为k（k＞0）
11．（5分）与正方体ABCD﹣A B C D 的三条棱AB、CC 、A D 所在直线的距离相等的点（ ）
1 1 1 1 1 1 1
A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．有且只有3个 D．有无数个
的直线与T相交于A，B两点，若 =3 ，则k=（ ）
A．1 B． C． D．2
【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．
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【专题】16：压轴题．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．
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【分析】由于点D、B 显然满足要求，猜想B D上任一点都满足要求，然后想办法证明结论．
1 1
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A B C D 上建立如图所示空间直角坐标系，
1 1 1 1
【分析】设A（x ，y ），B（x ，y ），根据 求得y 和y 关系根据离心率设 ，
1 1 2 2 1 2
并设该正方体的棱长为1，连接B D，并在B D上任取一点P，
1 1
b=t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去 x，根据韦达定理表示出y +y 和y y ，进而根据y 和
1 2 1 2 1
因为 =（1，1，1），
y 关系求得k．
2【解答】解：A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
∵ ，∴y =﹣3y ， 14．（5分）（x+ ）9展开式中x3的系数是 84 ．（用数字作答）
1 2
∵ ，设 ，b=t，
【考点】DA：二项式定理．
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∴x2+4y2﹣4t2=0①，
【分析】本题考查二项式定理的展开式，解题时需要先写出二项式定理的通项T ，因为题目要求
r+1
设直线AB方程为 ，代入①中消去x，可得 ， 展开式中x3的系数，所以只要使x的指数等于3就可以，用通项可以解决二项式定理的一大部
分题目．
∴ ， ，
【解答】解：写出（x+ ）9通项 ，
∵要求展开式中x3的系数
解得 ，
∴令9﹣2r=3得r=3，
故选：B．
∴C 3=84
9
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强，要求考生有较高地
故答案为：84．
转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．
【点评】本题是一个二项展开式的特定项的求法．解本题时容易公式记不清楚导致计算错误，所
以牢记公式．它是经常出现的一个客观题．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知α是第二象限的角，tanα=﹣ ，则cosα= ． 15．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为 的直线与l相交于
A，与C的一个交点为B，若 ，则p= 2 ．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．
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【考点】K8：抛物线的性质．
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【分析】根据 ，以及sin2α+cos2α=1可求出答案．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设直线AB的方程与抛物线方程联立消去y得3x2+（﹣6﹣2p）x+3=0，进而根据 ，
【解答】解：∵ = ，∴2sinα=﹣cosα
可知M为A、B的中点，
又∵sin2α+cos2α=1，α是第二象限的角
可得p的关系式，解方程即可求得p．
∴ 【解答】解：设直线AB： ，代入y2=2px得3x2+（﹣6﹣2p）x+3=0，
又∵ ，即M为A、B的中点，
故答案为：
∴x +（﹣ ）=2，即x =2+ ，
B B
【点评】本题考查了同角三角函数的基础知识．
得p2+4P﹣12=0，解得p=2，p=﹣6（舍去） 解法二：如下图：设AB的中点为C，则OC与MN必相交于MN中点为E，因为OM=ON=3，
故答案为：2
故小圆半径NB为
【点评】本题考查了抛物线的几何性质．属基础题．
C为AB中点，故CB=2；所以NC= ，
16．（5分）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，
∵△ONC为直角三角形，NE为△ONC斜边上的高，OC=
AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN= 3 ．
∴MN=2EN=2•CN• =2× × =3
【考点】JE：直线和圆的方程的应用；ND：球的性质．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】根据题意画出图形，欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三角形MNO中，只要
求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可解得．
【解答】解法一：∵ON=3，球半径为4，
∴小圆N的半径为 ，
∵小圆N中弦长AB=4，作NE垂直于AB，
∴NE= ，同理可得 ，在直角三角形ONE中，
∵NE= ，ON=3，
∴ ， 故填：3．
【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，还考查球、直线与圆的基础知识，考查空间
∴ ，
想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
∴MN=3．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）△ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB= ，cos∠ADC= ，求AD．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．
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【分析】先由cos∠ADC= 确定角ADC的范围，因为∠BAD=∠ADC﹣B所以可求其正弦值，最后由
正弦定理可得答案．
故填：3．【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 设 正 等 比 数 列 {a } 首 项 为 a ， 公 比 为 q ， 由 题 意 得 ：
【解答】解：由cos∠ADC= ＞0，则∠ADC＜ ， n 1
又由知B＜∠ADC可得B＜ ，
由sinB= ，可得cosB= ， ∴a =2n﹣1（6分）
n
又由cos∠ADC= ，可得sin∠ADC= ．
（2）
从而sin∠BAD=sin（∠ADC﹣B）=sin∠ADCcosB﹣cos∠ADCsinB= = ．
由正弦定理得 ，
∴b 的前n项和T= （12分）
n n
所以AD= = ．
【点评】（1）此问重基础及学生的基本运算技能（2）此处重点考查了高考常考的数列求和方法
之一的分组求和，及指数的基本运算性质
【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现．这
类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会
19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A B C 中，AC=BC，AA =AB，D为BB 的中点，E为AB 上的一
1 1 1 1 1 1
有太大改变．解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边
点，AE=3EB ．
1
角互化．
（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB 与CD的公垂线；
1
（Ⅱ）设异面直线AB 与CD的夹角为45°，求二面角A ﹣AC ﹣B 的大小．
1 1 1 1
18．（12分）已知{a }是各项均为正数的等比数列a +a =2（ ），a +a +a =64 + +
n 1 2 3 4 5
）
（Ⅰ）求{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）设b =（a + ）2，求数列{b }的前n项和T．
n n n n
【考点】88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和．
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【考点】LM：异面直线及其所成的角；LQ：平面与平面之间的位置关系．
【专题】11：计算题． 菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（1）由题意利用等比数列的通项公式建立首项a 与公比q的方程，然后求解即可
1
【分析】（1）欲证DE为异面直线AB 与CD的公垂线，即证DE与异面直线AB 与CD垂直相交即
（2）由b 的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解 1 1
n可； 方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段．通过引入空间向量，用向量代数形式来处
（2）将 AB 平移到 DG，故∠CDG 为异面直线 AB 与 CD 的夹角，作 HK⊥AC ，K 为垂足，连接 理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题
1 1 1
B K，由三垂线定理，得B K⊥AC ，因此∠B KH为二面角A ﹣AC ﹣B 的平面角，在三角形B KH 变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处．
1 1 1 1 1 1 1 1
中求出此角即可．
【解答】解：（1）连接A B，记A B与AB 的交点为F． 20．（12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T ，T ，T ，T ，电流能通过T ，
1 1 1 1 2 3 4 1
因为面AA BB 为正方形，故A B⊥AB ，且AF=FB ， T ，T 的概率都是 P，电流能通过 T 的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知 T ，
1 1 1 1 1 2 3 4 1
又AE=3EB ，所以FE=EB ， T ，T 中至少有一个能通过电流的概率为0.999．
1 1 2 3
又D为BB 的中点， （Ⅰ）求P；
1
故DE∥BF，DE⊥AB ． （Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．
1
作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点．
又由底面ABC⊥面AA B B．连接DG，则DG∥AB ，
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故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD．
所以DE为异面直线AB 与CD的公垂线．
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（2）因为DG∥AB ，故∠CDG为异面直线AB 与CD的夹角，∠CDG=45°
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【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
设AB=2，则AB = ，DG= ，CG= ，AC= ． 菁优网版权所有
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【专题】11：计算题．
作B H⊥A C ，H为垂足，因为底面A B C ⊥面AA CC ，故B H⊥面AA C C．又作HK⊥AC ，K为垂
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【分析】（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将T1，T2，T3至少有一个能通
足，连接B K，由三垂线定理，得B K⊥AC ，因此∠B KH为二面角A ﹣AC ﹣B 的平面角．
1 1 1 1 1 1 1
过电流用基本事件表示并求出概率即可求得p．
B H= ，C H= ，AC = ，HK=
1 1 1 （Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在 M 与N之间通过，根据电路图，可得 B=A +（1﹣A ）
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tan∠B KH= ， A A +（1﹣A ）（1﹣A ）A A ，由互斥事件的概率公式，代入数据计算可得答案．
1 1 3 4 1 2 3
∴二面角A ﹣AC ﹣B 的大小为arctan ． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，记电流能通过T为事件A，i=1、2、3、4，
1 1 1 i i
A表示事件：T ，T ，T ，中至少有一个能通过电流，
1 2 3
易得A ，A ，A 相互独立，且 ，
1 2 3
P（ ）=（1﹣p）3=1﹣0.999=0.001，
计算可得，p=0.9；
（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，
【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能 有B=A +（1﹣A ）A A +（1﹣A ）（1﹣A ）A A ，
4 4 1 3 4 1 2 3
力．三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的热点，它是处理线线垂直问题的有效 则P（B）=P（A 4 +（1﹣A 4 ）A 1 A 3 +（1﹣A 4 ）（1﹣A 1 ）A 2 A 3 ）=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9
即a≤2x+ 恒成立．
=0.9891．
【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，注意先明确事件之间的关 设 ，则
系，进而选择对应的公式来计算．
∵x 时， ＞4，
21．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx． ∴g ∈ ′（x）＜0，
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；
∴g（x）在 上递减，
（Ⅱ）若f（x）在区间（0， ）上是减函数，求实数a的取值范围．
∴g（x）＞g（ ）=3，
∴a≤3．
【考点】3D：函数的单调性及单调区间；3E：函数单调性的性质与判断．
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【点评】本题考查函数单调性的判断和已知函数单调性求参数的范围，此类问题一般用导数解决，
【专题】16：压轴题．
综合性较强．
【分析】（1）求单调区间，先求导，令导函数大于等于0即可．
（2）已知f（x）在区间（0， ）上是减函数，即f′（x）≤0在区间（0， ）上恒成立，然后用
22．（12分）已知斜率为 1的直线l与双曲线C： 相交于B、D两点，且
分离参数求最值即可．
【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=﹣x2+3x+1﹣lnx
BD的中点为M（1，3）．
∴
（Ⅰ）求C的离心率；
解f′（x）＞0，
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．
即：2x2﹣3x+1＜0
【考点】J9：直线与圆的位置关系；KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．
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函数f（x）的单调递增区间是 ．
【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．
【分析】（Ⅰ）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于 BD两点的中点为
（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a，b的关系式即求得离心率．
（Ⅱ）f′（x）=﹣2x+a﹣ ，
（Ⅱ）利用离心率将条件|FA||FB|=17，用含a的代数式表示，即可求得 a，则A点坐标可得（1，
∵f（x）在 上为减函数， 0），由于A在x轴上所以，只要证明2AM=BD即证得．
【解答】解：（Ⅰ）由题设知，l的方程为：y=x+2，代入C的方程，并化简，
∴x 时﹣2x+a﹣ ≤0恒成立．
得（b2﹣a2）x2﹣4a2x﹣a2b2﹣4a2=0，
∈设B（x ，y ），D（x ，y ），则 ， ，①
1 1 2 2
由M（1，3）为BD的中点知 ．
故 ，即b2=3a2，②
故 ，
【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力．
∴C的离心率 ．
（Ⅱ）由①②知，C的方程为：3x2﹣y2=3a2，A（a，0），F（2a，0），
．
故不妨设x ≤﹣a，x ≥a，
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， ，
|BF|•|FD|=（a﹣2x ）（2x ﹣a）=﹣4x x +2a（x +x ）﹣a2=5a2+4a+8．
1 2 1 2 1 2
又|BF|•|FD|=17，故5a2+4a+8=17．
解得a=1，或 （舍去），
故 =6，
连接MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，
从而MA=MB=MD，且MA⊥x轴，
因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，
所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．
