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2008 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）函数 的定义域为（ ）
A．{x|x≥0} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}
2．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这
一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（5分）在△ABC中， = ， = ．若点D满足 =2 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）设a R，且（a+i）2i为正实数，则a=（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
∈
5．（5分）已知等差数列{a }满足a +a =4，a +a =10，则它的前10项的和S =
n 2 4 3 5 10
（ ）
A．138 B．135 C．95 D．23
6．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln 的图象关于直线y=x对称，
则f（x）=（ ）
A．e2x﹣2 B．e2x C．e2x+1 D．e2x+2
7．（5分）已知曲线y= 在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a
的值为（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣28．（5 分）为得到函数 的图象，只需将函数 y=sin2x 的图象（
）
A．向左平移 个长度单位 B．向右平移 个长度单位
C．向左平移 个长度单位 D．向右平移 个长度单位
9．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式
＜0的解集为（ ）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1）
10．（5分）若直线 =1与圆x2+y2=1有公共点，则（ ）
A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C． D．
11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A B C 的侧棱与底面边长都相等，A 在底面ABC
1 1 1 1
内的射影为△ABC的中心，则AB 与底面ABC所成角的正弦值等于（ ）
1
A． B． C． D．
12．（5分）如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选
种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数
为（ ）A．96 B．84 C．60 D．48
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）若x，y满足约束条件 ，则z=2x﹣y的最大值为 ．
14．（5分）已知抛物线 y=ax2﹣1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴
的三个交点为顶点的三角形面积为 ．
15．（5分）在△ABC中，AB=BC， ．若以A，B为焦点的椭圆经过点
C，则该椭圆的离心率e= ．
16．（5分）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D
的余弦值为 ，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值
等于 ．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣
bcosA= c．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．
18．（12分）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，
BC=2， ，AB=AC．
（Ⅰ）证明：AD⊥CE；（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小．
19．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0， ）上是减函数，求实数a的取值范围．
20．（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定
患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面
是两种化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病
动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结
果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．21．（12分）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l ，
1
l ，经过右焦点F垂直于l 的直线分别交l ，l 于A，B两点．已知| |、| |、
2 1 1 2
| |成等差数列，且 与 同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
22．（12分）设函数f（x）=x﹣xlnx．数列{a }满足0＜a ＜1，a =f（a ）．
n 1 n+1 n
（Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；
（Ⅱ）证明：a ＜a ＜1；
n n+1
（Ⅲ）设b （a ，1），整数 ．证明：a ＞b．
1 k+1
∈
