文档内容
2025 年普通高等学校招生全国统一考试（新 1 卷）
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写
在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改
动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按
以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
1． 的虚部为（ ）
A． B．0 C．1 D．6
2．设全集 ，集合 ，则 中元素个数为（ ）
A．0 B．3 C．5 D．8
3．若双曲线C的虚轴长为实轴长的 倍，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
4．若点 是函数 的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．设 是定义在 上且周期为2的偶函数，当 时， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风
速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的
向量大小相等，方向相反。图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系。已知某帆船运动员在某
时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图 2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），
学科网（北京）股份有限公司则真风为（ ）
等级 风速大小m/s 名称
2 1.1~3.3 轻风
3 3.4~5.4 微风
4 5.5~7.9 和风
5 8.0~10.1 劲风
A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风
7．若圆 上到直线 的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（
）
A． B． C． D．
8．若实数x，y，z满足 ，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．在正三棱柱 中，D为BC中点，则（ ）
A． B． 平面
C． 平面 D．
10．设抛物线 的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于AB的直线交 于
E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知 的面积为 ，若 ，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。
12．若直线 是曲线 的切线，则 _________．
13．若一个等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为_________．
14．一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X，则
数学期望 _________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到
如下列联表：
超声波检查结果 正常 不正常 合计
组别
患该疾病 20 180 200
未患该疾病 780 20 800
合计 800 200 1000
（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P，求P的估计值；
（2）根据小概率值 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附 ，
0.005 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16．（15分）设数列 满足 ，
（1）证明：为等差数列；
（2）设 ，求 ．
17．（15分）如图所示的四棱锥 中， 平面ABCD， ．
学科网（北京）股份有限公司（1）证明：平面 平面PAD；
（2） ，P，B，C，D在同一个球面上，设该球面的球心为O．
（i）证明：O在平面ABCD上；
（ⅱ）求直线AC与直线PO所成角的余弦值．
18．（17分）设椭圆 的离心率为 ，下顶点为A，右顶点为B，
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足 ．
（i）设 ，求点R的坐标（用m，n表示）；
（ⅱ）设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求 的最大值．
19．（17分）设函数 ．
（1）求 在 的最大值；
（2）给定 ，设a为实数，证明：存在 ，使得 ；
（3）若存在 使得对任意x，都有 ，求b的最小值．
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