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2009 年辽宁高考理科数学真题及答案
一-选择题（每小题5分，共60分）
（1）已知集合M={x|-30,V=S-T
(B) A<0,V=S-T
(C) A>0, V=S+T
（D）A<0, V=S+T
（11）正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为
（A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2
（12）若 满足 , 满足 , + =
（A） (B)3 (C) (D)4
（13）某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从 3个分厂生产的电子产品中共取
100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品
的使用寿命的平均值分别为980h，1020h，1032h，则抽取的100件产品的使用寿命
的平均值为 h.
（14）等差数列 的前 项和为 ，且 则
（15）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。
则该几何体的体积为
（16）以知 F 是双曲线 的左焦点， 是双曲线右支上的动点，则
的最小值为 。
（17）（本小题满分12分）
如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直
的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。
测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别
为 ， ，于水面 C处测得 B点和 D点的
仰角均为 ，AC=0.1km。试探究图中 B，D
间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B，D的距离（计算结果精确到0.01km， 1.414， 2.449）
（18）（本小题满分12分）
如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。
（Ⅰ）若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；
（Ⅱ）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。
（19）（本小题满分12分）
某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为 。该目标分为3个不同的部分，第一、
二、三部分面积之比为1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。
（Ⅰ）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；
（Ⅱ）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2
次”，求P（A）
（20）（本小题满分12分）
已知，椭圆C过点A ，两个焦点为（-1，0），（1，0）。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明
直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。
（21）（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）证明：若 ，则对任意x ，x ，x x ，有 。请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第
一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
已知 ABC中，AB=AC, D是 ABC外接圆劣弧 上的点（不与点A,C重合），延长
BD至E。
（Ⅰ）求证：AD的延长线平分 CDE；
（Ⅱ）若 BAC=30， ABC中BC边上的高为 2+ ，求
ABC外接圆的面积。
（23）（本小题满分10分）选修4-4 ：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方
程为 cos（ ）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。
（Ⅰ）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
（Ⅱ）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数 。
（Ⅰ）若 解不等式 ；
（Ⅱ）如果 , ,求 的取值范围。
参考答案
(1) B (2) D (3) B (4)B (5)A (6)B (7)D (8) C (9) A
(10) C (11)C (12)C (13)1013 (14) (15) 4 (16)9
(17)解:
在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30°,
所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA， ……5分
在△ABC中，
即
因此，
故B，D的距离约为0.33km。 ……12分
（18）（I）解法一：
取CD的中点G，连接MG，NG。
设正方形ABCD，DCEF的边长为2，
则MG⊥CD，MG=2，NG=
因为平面ABCD⊥平面DCED，
所以MG⊥平面DCEF，
可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角。
因为MN= ，所以 为MN与平面DCEF所成角的正弦值 ……6分
解法二：
设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，
分别以射线DC，DF，DA为x,y,z轴正半轴建立空间直
角坐标系如图.
则M（1,0,2）,N(0,1,0),可得 =(-1,1,2).
又 =（0，0，2）为平面DCEF的法向量，
可得 ·
所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为· ……6分
（Ⅱ）假设直线ME与BN共面， ……8分
则AB 平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN
由已知，两正方形不共面，故AB 平面DCEF。
又AB//CD，所以AB//平面DCEF。而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，
所以AB//EN。
又AB//CD//EF，
所以EN//EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立。
所以ME与BN不共面，它们是异面直线. ……12分
（19）解：
（Ⅰ）依题意知 ，
即 的分列为
0 1 2 3 4
………………6分
（Ⅱ）设 表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2.
表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2.
依题意知 ，
,
所求的概率为
=
= ………12分（20）解：
（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为 ，
因为 在椭圆上，所以 ，解得 ， （舍去）
所以椭圆方程为 。 ……………4分
（Ⅱ）设直线AE方程为： ，代入 得
设 , ,因为点 在椭圆上，所以
………8分
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以 代 ，可得
所以直线EF的斜率
即直线EF的斜率为定值，其值为 。 ……12分
(21)解：(1) 的定义域为 。
……2分（ⅰ）若 即 ,则
故 在 单调增加。
（ⅱ）若 ,而 ,故 ,则当 时， ;
当 及 时，
故 在 单调减少，在 单调增加。
（ⅲ）若 ,即 ,同理可得 在 单调减少，在
单调增加.
（Ⅱ）考虑函数
则
由于1
