文档内容
2012 年浙江省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（2012•浙江）设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P∩
（C Q）=（ ）
U
A．{1，2，3，4，6} B．{1，2，3，4，5} C．{1，2，5} D．{1，2}
2．（2012•浙江）已知i是虚数单位，则 =（ ）
A．1﹣2i B．2﹣i C．2+i D．1+2i
3．（2012•浙江）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）
A．1cm3 B．2cm3 C．3cm3 D．6cm3
4．（2012•浙江）设a∈R，则“a=1”是“直线l
1
：ax+2y﹣1=0与直线l
2
：x+2y+4=0平行的（
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2012•浙江）设l是直线，α，β是两个不同的平面（ ）
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
6．（2012•浙江）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向
左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是（ ）
A B C D
． ． ． ．
7．（2012•浙江）设 ， 是两个非零向量（ ）
A．若| + |=| |﹣| |，则 ⊥ B．若 ⊥ ，则| + |=| |﹣| |
C．若| + |=| |﹣| |，则存在实数λ，使得 =λ D．若存在实数λ，使得 =λ ，则| + |=| |﹣| |
8．（2012•浙江）如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，
O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（ ）A．3 B．2 C． D．
9．（2012•浙江）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（ ）
A． B． C．5 D．6
10．（2012•浙江）设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数（ ）
A．若ea+2a=eb+3b，则a＞b B．若ea+2a=eb+3b，则a＜b
C．若ea﹣2a=eb﹣3b，则a＞b D．若ea﹣2a=eb﹣3b，则a＜b
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．（2012•浙江）某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个
容量为280的样本，则此样本中男生人数为 ________ _ ．
12．（2012•浙江）从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距
离为 的概率是 ________ _ ．
13．（2012•浙江）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 ________ _ ．
14．（2012•浙江）设z=x+2y，其中实数x，y满足 则z的取值范围是 ________ _ ．
15．（2012•浙江）在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则 • = ________ _ ．
16．（2012•浙江）设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x+1，则
= ________ _ ．17．（2012•浙江）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线
C ：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C ：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=
1 2
_________ ．
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（2012•浙江）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA= acosB．
（1）求角B的大小；
（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值．
19．（2012•浙江）已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且S
n
=2n2+n，n∈N*，数列{b
n
}满足a
n
=4log
2
b
n
+3，
n∈N*．
（1）求a ，b ；
n n
（2）求数列{a •b }的前n项和T ．
n n n
20．（2012•浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，AD∥BC，AD⊥AB，AB= ．
AD=2，BC=4，AA =2，E是DD 的中点，F是平面B C E与直线AA 的交点．
1 1 1 1 1
（1）证明：
（i）EF∥A
1
D
1
；
（ii）BA 1⊥平面B
1
C
1
EF；
（2）求BC 与平面B C EF所成的角的正弦值．
1 1 1
21．（2012•浙江）已知a∈R，函数f（x）=4x3﹣2ax+a．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：当0≤x≤1时，f（x）+|2﹣a|＞0．
22．（2012•浙江）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1， ）到抛物线C：y2=2px（P＞0）的准线的距离
为 ．点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分．
（1）求p，t的值．
（2）求△ABP面积的最大值．2012 年浙江省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（2012•浙江）设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P∩
（C Q）=（ ）
U
A．{1，2，3，4，6} B．{1，2，3，4，5} C．{1，2，5} D．{1，2}
考点：交、并、补集的混合运算。
专题：计算题。
分析：由题意，可先由已知条件求出C Q，然后由交集的定义求出P∩（C Q）即可得到正确选项
U U
解答：解：∵U={1，2，3，4，5，6}，Q={3，4，5}，
∴C Q={1，2，6}，又P={1，2，3，4}，
U
∴P∩（C Q）={1，2}
U
故选D
点评：本题考查交、并、补的运算，解题的关键是熟练掌握交、并、补的运算规则，准确计算
2．（2012•浙江）已知i是虚数单位，则 =（ ）
A．1﹣2i B．2﹣i C．2+i D．1+2i
考点：复数代数形式的乘除运算。
专题：计算题。
分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+i，再由进行计算即可得到答案
解答：
解：
故选D
点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是
复数考查的重要内容，要熟练掌握
3．（2012•浙江）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）
A．1cm3 B．2cm3 C．3cm3 D．6cm3
考点：由三视图求面积、体积。
专题：计算题。
分析：由三视图知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为1和2的直角三角形，三棱锥的一条侧棱与
底面垂直，且长度是3，这是三棱锥的高，根据三棱锥的体积公式得到结果．
解答：解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为1cm和2cm的直角三角形，面积是
cm2，
三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是3cm，这是三棱锥的高，
∴三棱锥的体积是 cm3，故选A．
点评：本题考查由三视图还原几何体，本题解题的关键是根据三视图看出几何体的形状和长度，注意三个
视图之间的数据关系，本题是一个基础题．
4．（2012•浙江）设a∈R，则“a=1”是“直线l
1
：ax+2y﹣1=0与直线l
2
：x+2y+4=0平行的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断。
专题：计算题。
分析：利用充分、必要条件进行推导，结合两直线直线l ：A x+B y+C =0与直线l ：A x+B y+C =0平行
1 1 1 1 2 2 2 2
的充要条件是A B =A B ≠A C 可得答案．
1 2 2 1 2 1
解答：解：（1）充分性：
当a=1时，直线l ：x+2y﹣1=0与直线l ：x+2y+4=0平行；
1 2
（2）必要性：
当直线l ：ax+2y﹣1=0与直线l ：x+2y+4=0平行时有：
1 2
a•2=2•1，即：a=1．
∴“a=1”是“直线l ：ax+2y﹣1=0与直线l ：x+2y+4=0平行”充分必要条件．
1 2
故选C．
点评：本题考查充分条件、必要条件、充分必要条件以及两直线平行的充要条件，属于基础题型，要做到
熟练掌握．
5．（2012•浙江）设l是直线，α，β是两个不同的平面（ ）
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
考点：平面与平面之间的位置关系。
专题：证明题。
分析：利用面面垂直的判定定理可证明B是正确的，对于其它选项，可利用举反例法证明其是错误命题
解答：解：A，若l∥α，l∥β，则满足题意的两平面可能相交，排除A；
B，若l∥α，l⊥β，则在平面α内存在一条直线垂直于平面β，从而两平面垂直，故B正确；
C，若α⊥β，l⊥α，则l可能在平面β内，排除C；
D，若α⊥β，l∥α，则l可能与β平行，相交，排除D
故选 B
点评：本题主要考查了空间线面、面面位置关系，空间线面、面面垂直于平行的判定和性质，简单的逻辑
推理能力，空间想象能力，属基础题
6．（2012•浙江）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向
左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是（ ）
A B． C． D．
．
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换。
专题：证明题；综合题。
分析：首先根据函数图象变换的公式，可得最终得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），然后将曲线
y=cos（x+1）的图象和余弦曲线y=cosx进行对照，可得正确答案．
解答：解：将函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到的图象对应的解析式为：y=cosx+1，
再将y=cosx+1图象向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，
得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），
∵曲线y=cos（x+1）由余弦曲线y=cosx左移一个单位而得，∴曲线y=cos（x+1）经过点（ ，0）和（ ，0），且在区间（ ， ）上
函数值小于0
由此可得，A选项符合题意．
故选A
点评：本题给出一个函数图象的变换，要我们找出符合的选项，着重考查了函数图象变换规律和函数
y=Asin（ωx+φ）的图象变换公式等知识点，属于基础题．
7．（2012•浙江）设 ， 是两个非零向量（ ）
A．若| + |=| |﹣| |，则 ⊥ B．若 ⊥ ，则| + |=| |﹣| |
C．若| + |=| |﹣| |，则存在实数λ，使得 =λ D．若存在实数λ，使得 =λ ，则| + |=| |﹣| |
考点：平面向量的综合题。
专题：计算题。
分析：通过向量特例，判断A的正误；
利用向量的垂直判断矩形的对角线长度相等，判断B的正误；
通过特例直接判断向量共线，判断正误；
通过反例直接判断结果不正确即可．
解答：解：对于A， ， ，显然| + |=| |﹣| |，但是 与 不垂直，而是共
线，所以A不正确；
对于B，若 ⊥ ，则| + |=| ﹣ |，矩形的对角线长度相等，所以| + |=| |﹣| |不正确；
对于C，若| + |=| |﹣| |，则存在实数λ，使得 =λ ，例如 ， ，显然
= ，所以正确．
对于D，若存在实数λ，使得 =λ ，则| + |=| |﹣| |，例如 ，显然
= ，
但是| + |=| |﹣| |，不正确．
故选C．
点评：本题考查向量的关系的综合应用，特例法的具体应用，考查计算能力．
8．（2012•浙江）如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，
O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
考点：圆锥曲线的共同特征。
专题：计算题。
分析：根据M，N是双曲线的两顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分，可得椭圆的长轴长是双曲线实轴长
的2倍，利用双曲线与椭圆有公共焦点，即可求得双曲线与椭圆的离心率的比值．
解答：解：∵M，N是双曲线的两顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分
∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍
∵双曲线与椭圆有公共焦点，
∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2
故选B．
点评：本题考查椭圆、双曲线的几何性质，解题的关键是确定椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍．
9．（2012•浙江）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（ ）
A． B． C．5 D．6考点：基本不等式在最值问题中的应用。
专题：计算题。
分析：
将x+3y=5xy转化成 =1，然后根据3x+4y=（ ）（3x+4y），展开后利用基本不等式可
求出3x+4y的最小值．
解答：解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，
∴ =1
∴3x+4y=（ ）（3x+4y）= + + + ≥ +2 =5
当且仅当 = 时取等号
∴3x+4y≥5
即3x+4y的最小值是5
故选C
点评：本题主要考查了基本不等式在求解函数的值域中的应用，解答本题的关键是由已知变形，然后进行
“1”的代换，属于基础题．
10．（2012•浙江）设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数（ ）
A．若ea+2a=eb+3b，则a＞b B．若ea+2a=eb+3b，则a＜b
C．若ea﹣2a=eb﹣3b，则a＞b D．若ea﹣2a=eb﹣3b，则a＜b
考点：指数函数综合题。
专题：计算题。
分析：对于ea+2a=eb+3b，若a≤b成立，经分析可排除B；对于ea﹣2a=eb﹣3b，若a≥b成立，经分析可排除
C，D，从而可得答案．
解答：
解：对于ea+2a=eb+3b，若a≤b成立，则必有ea≤eb，故必有2a≥3b，即有a≥ b这与a≤b矛盾，故
a≤b成立不可能成立，故B不对；
对于ea﹣2a=eb﹣3b，若a≥b成立，则必有ea≥eb，故必有2a≥3b，即有a≥ b，故排除C，D．
故选A．
点评：本题考查指数函数综合题，对于ea+2a=eb+3b与ea﹣2a=eb﹣3b，根据选项中的条件逆向分析而排除
不适合的选项是关键，也是难点，属于难题．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．（2012•浙江）某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个
容量为280的样本，则此样本中男生人数为 16 0 ．
考点：分层抽样方法。
专题：计算题。
分析：先根据男生和女生的人数做出年纪大总人数，用要抽取得人数除以总人数得到每个个体被抽到的概
率，用男生人数乘以概率，得到结果．
解答：解：∵有男生560人，女生420人，
∴年级共有560+420=980
∵用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，
∴每个个体被抽到的概率是 = ，
∴要从男生中抽取560× =160，
故答案为：160
点评：本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解题的
依据，本题是一个基础题．12．（2012•浙江）从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距
离为 的概率是 ．
考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率。
专题：计算题。
分析：
先求出随机（等可能）取两点的总数，然后求出满足该两点间的距离为 的种数，最后根据古典
概型的概率公式求之即可．
解答：
解：从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点共有 =10种
其中两点间的距离为 的必选中心，共有4种可能
故该两点间的距离为 的概率是 =
故答案为：
点评：本题主要考查了古典概型的概率，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．
13．（2012•浙江）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 ．
考点：循环结构。
专题：计算题。
分析：通过循环框图，计算循环变量的值，当i=6时结束循环，输出结果即可．
解答：
解：循环前，T=1，i=2，不满足判断框的条件，第1次循环，T= ，i=3，
不满足判断框的条件，第2次循环，T= ，i=4，
不满足判断框的条件，第3次循环，T= ，i=5，
不满足判断框的条件，第4次循环，T= ，i=6，
满足判断框的条件，退出循环，输出结果 ．
故答案为： ．点评：本题考查循环结构的应用，注意循环的变量的计算，考查计算能力．
14．（2012•浙江）设z=x+2y，其中实数x，y满足 则z的取值范围是 [ 0 ， ] ．
考点：简单线性规划。
专题：计算题。
分析：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，结合z在目标函数中的几何意义，求出目标函数
的最大值、及最小值，进一步线出目标函数z的范围．
解答：
解：约束条件 对应的平面区域如图示：
由图易得目标函数z=2y+x在O（0，0）处取得最小值，此时z=0
在B处取最大值，由 可得B（ ），此时z=
故Z=x+2y的取值范围为：[0， ]
故答案为：[0， ]
点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件，利用目标函数中z的几何意
义是关键．15．（2012•浙江）在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则 • = ﹣ 1 6 ．
考点：平面向量数量积的运算。
专题：计算题。
分析：设∠AMB=θ，则∠AMC=π﹣θ，再由 =（ ﹣ ）•（ ﹣ ）以及两个向量的数量积
的定义求出结果．
解答：解：设∠AMB=θ，则∠AMC=π﹣θ．又 = ﹣ ， = ﹣ ，
∴ =（ ﹣ ）•（ ﹣ ）= • ﹣ • ﹣ • + ，
=﹣25﹣5×3cosθ﹣3×5cos（π﹣θ）+9=﹣16，
故答案为﹣16．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．
16．（2012•浙江）设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x+1，则
= ．
考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的值。
专题：计算题。
分析：
利用函数的周期性先把 转化成f（ ），再利用函数f（x）是定义在R上的偶函数转化
成f（ ），代入已知求解即可．
解答：解：∵函数f（x）是定义在R上的周期为2的函数，
∴ =f（ +2）=f（ ），
又∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（ ）=f（ ），
又∵当x∈[0，1]时，f（x）=x+1，
∴有：f（ ）= +1= ，
则 = ．
故答案为 ．
点评：本题主要考查函数的性质中的周期性和奇偶性，属于基础题，应熟练掌握．
17．（2012•浙江）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线
C ：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C ：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a= ．
1 2
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式。
专题：计算题。
分析：先根据定义求出曲线C ：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，然后根据曲线C ：y=x2+a的切线与
2 1
直线y=x平行时，该切点到直线的距离最近建立等式关系，解之即可．
解答：解：圆x2+（y+4）2=2的圆心为（0，﹣4），半径为圆心到直线y=x的距离为 =2
∴曲线C ：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离为2 ﹣ =
2
则曲线C ：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于
1
令y′=2x=1解得x= ，故切点为（ ， +a）
切线方程为y﹣（ +a）=x﹣ 即x﹣y﹣ +a=0
由题意可知x﹣y﹣ +a=0与直线y=x的距离为
即 解得a= 或﹣
当a=﹣ 时直线y=x与曲线C ：y=x2+a相交，故不符合题意，舍去
1
故答案为：
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及点到直线的距离的计算，同时考查了分析
求解的能力，属于中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（2012•浙江）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA= acosB．
（1）求角B的大小；
（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值．
考点：解三角形。
专题：计算题。
分析：（1）将已知的等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0，等式两边同时除以sinA，再利用同角三
角函数间的基本关系求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B
的度数；
（2）由正弦定理化简sinC=2sinA，得到关于a与c的方程，记作①，再由b及cosB的值，利用余
弦定理列出关于a与c的另一个方程，记作②，联立①②即可求出a与c的值．
解答：
解：（1）由bsinA= acosB及正弦定理 = ，得：sinBsinA= sinAcosB，
∵A为三角形的内角，∴sinA≠0，
∴sinB= cosB，即tanB= ，
又B为三角形的内角，∴B= ；
（2）由sinC=2sinA及正弦定理 = ，得：c=2a①，
∵b=3，cosB= ，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：9=a2+c2﹣ac②，
联立①②解得：a= ，c=2 ．
点评：此题属于解直角三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以
及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．
19．（2012•浙江）已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且S
n
=2n2+n，n∈N*，数列{b
n
}满足a
n
=4log
2
b
n
+3，
n∈N*．
（1）求a ，b ；
n n
（2）求数列{a •b }的前n项和T ．
n n n
考点：数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定。
专题：计算题。
分析：（I）由S =2n2+n可得，当n=1时，可求a =，当n≥2时，由a =s ﹣s 可求通项，进而可求b
n 1 n n n﹣1 n
（II）由（I）知， ，利用错位相减可求数列的和
解答：解（I）由S =2n2+n可得，当n=1时，a =s =3
n 1 1当n≥2时，a =s ﹣s =2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1
n n n﹣1
而n=1，a =4﹣1=3适合上式，
1
故a =4n﹣1，
n
又∵足a =4log b +3=4n﹣1
n 2 n
∴
（II）由（I）知，
2T =3×2+7×22+…+（4n﹣5）•2n﹣1+（4n﹣1）•2n
n
∴
=（4n﹣1）•2n
=（4n﹣1）•2n﹣[3+4（2n﹣2）]=（4n﹣5）•2n+5
点评：
本题主要考查了数列的递推公式 在数列的通项公式求解中的应用，数列
求和的错位相减求和方法的应用．
20．（2012•浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，AD∥BC，AD⊥AB，AB= ．
AD=2，BC=4，AA =2，E是DD 的中点，F是平面B C E与直线AA 的交点．
1 1 1 1 1
（1）证明：
（i）EF∥A
1
D
1
；
（ii）BA 1⊥平面B
1
C
1
EF；
（2）求BC 与平面B C EF所成的角的正弦值．
1 1 1
考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定。
专题：综合题。
分析：（1）（i）先由C
1
B 1∥A
1
D
1
证明C
1
B 1∥平面ADD
1
A
1
，再由线面平行的性质定理得出C
1
B 1∥EF，证出
EF∥A
1
D
1
．
（ii）易通过证明B
1
C 1⊥平面ABB
1
A
1
得出B
1
C 1⊥BA
1
，再由tan∠A
1
B
1
F=tan∠AA
1
B= ，即
∠A
1
B
1
F=∠AA
1
B，得出BA 1⊥B
1
F．所以BA 1⊥平面B
1
C
1
EF；
（2）设BA
1
与B
1
F交点为H，连接C
1
H，由（1）知BA 1⊥平面B
1
C
1
EF，所以∠BC
1
H是BC
1
与平
面B
1
C
1
EF所成的角．在RT△BHC
1
中求解即可．
解答：（1）证明（i）∵C
1
B 1∥A
1
D
1
，C
1
B 1⊄平面ADD
1
A
1
，∴C
1
B 1∥平面ADD
1
A
1
，
又C
1
B 1⊂平面B
1
C
1
EF，平面B
1
C
1
EF∩平面平面ADD
1
A
1
=EF，
∴C
1
B 1∥EF，∴EF∥A
1
D
1
；
（ii）∵BB 1⊥平面A
1
B
1
C
1
D
1
，∴BB 1⊥B
1
C
1
，
又∵B
1
C 1⊥B
1
A
1
，
∴B
1
C 1⊥平面ABB
1
A
1
，
∴B
1
C 1⊥BA
1
，
在矩形ABB
1
A
1
中，F是AA
1
的中点，tan∠A
1
B
1
F=tan∠AA
1
B= ，即∠A
1
B
1
F=∠AA
1
B，故
BA 1⊥B
1
F．
所以BA 1⊥平面B
1
C
1
EF；
（2）解：设BA 与B F交点为H，
1 1连接C
1
H，由（1）知BA 1⊥平面B
1
C
1
EF，所以∠BC
1
H是BC
1
与平面B
1
C
1
EF所成的角．
在矩形AA B B中，AB= ，AA =2，得BH= ，
1 1 1
在RT△BHC
1
中，BC1=2 ，sin∠BC
1
H= = ，
所以BC 与平面B C EF所成的角的正弦值是 ．
1 1 1
点评：本题考查空间直线、平面位置故选的判定，线面角求解．考查空间想象能力、推理论证能力、转
化、计算能力．
21．（2012•浙江）已知a∈R，函数f（x）=4x3﹣2ax+a．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：当0≤x≤1时，f（x）+|2﹣a|＞0．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性。
专题：综合题。
分析：
（1）求导函数，再分类讨论：a≤0时，f′（x）≥0恒成立；a＞0时，f′（x）=12x2﹣2a=12（x﹣
）（x+ ），由此可确定f（x）的单调递增区间；单调递增区间；
（2）由于0≤x≤1，故当a≤2时，f（x）+|2﹣a|=4x3﹣2ax+2≥4x3﹣4x+2；当a＞2时，f（x）+|2﹣a|
=4x3+2a（1﹣x）﹣2≥4x3+4（1﹣x）﹣2=4x3﹣4x+2，构造函数g（x）=2x3﹣2x+1，0≤x≤1，确定g
（x） =g（ ）=1﹣ ＞0，即可证得结论．
min
解答：（1）解：求导函数可得f′（x）=12x2﹣2a
a≤0时，f′（x）≥0恒成立，此时f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）
a＞0时，f′（x）=12x2﹣2a=12（x﹣ ）（x+ ）
∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣ ），（ ，+∞）；单调递增区间为（﹣ ， ）；
（2）证明：由于0≤x≤1，故
当a≤2时，f（x）+|2﹣a|=4x3﹣2ax+2≥4x3﹣4x+2
当a＞2时，f（x）+|2﹣a|=4x3+2a（1﹣x）﹣2≥4x3+4（1﹣x）﹣2=4x3﹣4x+2
设g（x）=2x3﹣2x+1，0≤x≤1，∴g′（x）=6（x﹣ ）（x+ ）
x 0
（0， ）
g′（x） ﹣ +
g（x） 极小值
∴g（x） =g（ ）=1﹣ ＞0
min
∴当0≤x≤1时，2x3﹣2x+1＞0
∴当0≤x≤1时，f（x）+|2﹣a|＞0．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，属于中档题．22．（2012•浙江）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1， ）到抛物线C：y2=2px（P＞0）的准线的距离
为 ．点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分．
（1）求p，t的值．
（2）求△ABP面积的最大值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质。
专题：计算题；综合题；转化思想。
分析：
（1）通过点P（1， ）到抛物线C：y2=2px（P＞0）的准线的距离为 ．列出方程，求出p，t的值
即可．
（2）设A（x ，y ）（x ，y ），线段AB的中点为Q（m，m），设直线AB的斜率为k，
1 1 2 2
（k≠0），利用 推出AB的方程y﹣m= ．利用弦长公式求出|AB|，设点P到
直线AB的距离为d，利用点到直线的距离公式求出d，设△ABP的面积为S，求出S= =|1
﹣2（m﹣m2）| ．利用函数的导数求出△ABP面积的最大值．
解答：
解：（1）由题意可知 得， ．
（2）设A（x ，y ）（x ，y ），线段AB的中点为Q（m，m），
1 1 2 2
由题意可知，设直线AB的斜率为k，（k≠0），
由 得，（y ﹣y ）（y +y ）=x ﹣x ，
1 2 1 2 1 2
故k•2m=1，
所以直线AB方程为y﹣m= ．
即△=4m﹣4m2＞0，y +y =2m，y y =2m2﹣m．
1 2 1 2
从而|AB|= = ，
设点P到直线AB的距离为d，则
d= ，
设△ABP的面积为S，则
S= =|1﹣2（m﹣m2）| ．
由△= ＞0，得0＜m＜1，
令u= ， ，则S=u（1﹣2u2）， ，
则S′（u）=1﹣6u2，S′（u）=0，得u= ，所以S最大值=S（ ）= ．
故△ABP面积的最大值为 ．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，抛物线的简单性质，函数与导数的应用，函数的最大值的求
法，考查分析问题解决问题的能力．
