文档内容
2013 年普通高等学校招生全国统一考试数学
理工农医类(四川卷)
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个是符合题目要求的．
1．(2013四川，理1)设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B＝( )．
A．{－2} B．{2}
C．{－2,2} D．
2．(2013四川，理2)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复
数的点是( )．
A．A B．B
C．C D．D
3．(2013四川，理3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是(
)．
4．(2013四川，理4)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：
x∈A,2x∈B，则( )．
A． p： x∈A,2x B B． p： x A,2x B
C． p： x A,2x∈B D． p： x∈A,2x B
5．(2013四川，理5)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ) 的部分图象如图所
示，则ω，φ的值分别是( )．
A．2，
B．2，
C．4，
D．4，
6．(2013四川，理6)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－ ＝1的渐近线的距离是( )．
A． B． C．1 D．
7．(2013四川，理7)函数 的图象大致是( )．8．(2013四川，理8)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共
可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )．
A．9 B．10 C．18 D．20
9．(2013四川，理9)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次
闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为
间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概
率是( )．
A． B． C． D．
10．(2013四川，理10)设函数f(x)＝ (a∈R，e为自然对数的底数)，若曲线y
＝sin x上存在点(x，y)使得f(f(y))＝y，则a的取值范围是( )．
0 0 0 0
A．[1，e] B．[e－1－1,1]
C．[1，e＋1] D．[e－1－1，e＋1]
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．(2013四川，理11)二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是__________．(用
数字作答)
12．(2013四川，理12)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O， ＋ ＝λ
，则λ＝__________.
13．(2013四川，理13)设sin 2α＝－sin α，α∈ ，则tan 2α的值是
__________．
14．(2013四川，理14)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那
么，不等式f(x＋2)＜5的解集是__________．
15．(2013四川，理15)设P，P，…，P为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，
1 2 n
若点P到点P，P，…，P的距离之和最小，则称点P为点P，P，…，P的一个“中
1 2 n 1 2 n
位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：
①若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是__________．(写出所有真命题的序号)
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．(2013四川，理16)(本小题满分12分)在等差数列{a}中，a＋a＝8，且a为a和a
n 1 3 4 2 9
的等比中项，求数列{a}的首项、公差及前n项和．
n17．(2013四川，理17)(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，
c，且2 cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝ ，
(1)求cos A的值；
(2)若 ，b＝5，求向量 在 方向上的投影．
18．(2013四川，理18)(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x
在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．
(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P(i＝1,2,3)；
i
(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了
输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计表(部分)
运行 输出y的值 输出y的值 输出y的值
次数n 为1的频数 为2的频数 为3的频数
30 14 6 10
… … … …
2 100 1 027 376 697
乙的频数统计表(部分)
运行 输出y的值 输出y的值 输出y的值
次数n 为1的频数 为2的频数 为3的频数
30 12 11 7… … … …
2 100 1 051 696 353
当n＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝
1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能
性较大；
(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学
期望．19．(2013四川，理19)(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－ABC中，侧棱AA⊥底面
1 1 1 1
ABC，AB＝AC＝2AA，∠BAC＝120°，D，D分别是线段BC，BC的中点，P是线段AD
1 1 1 1
的中点．
(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面ABC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平
1
面ADDA；
1 1
(2)设(1)中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A－AM－N的余弦值．
120．(2013四川，理20)(本小题满分13分)已知椭圆C： (a＞b＞0)的两个
焦点分别为F(－1,0)，F(1,0)，且椭圆C经过点P .
1 2
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且
，求点Q的轨迹方程．21．(2013四川，理21)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ 其中a是
实数．设A(x，f(x))，B(x，f(x))为该函数图象上的两点，且x＜x.
1 1 2 2 1 2
(1)指出函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x＜0，求x－x的最小值；
2 2 1
(3)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(四川卷)
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个是符合题目要求的．
1．
答案：A
解析：由题意可得，A＝{－2}，B＝{－2,2}，
∴A∩B＝{－2}．故选A．
2．
答案：B
解析：复数z表示的点与其共轭复数表示的点关于实轴对称．
3．
答案：D
解析：由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体，故选D．
4．
答案：D
5．
答案：A
解析：由图象可得， ，
∴T＝π，则ω＝ ＝2，再将点 代入f(x)＝2sin(2x＋φ)中得，
，
令 ＋φ＝2kπ＋ ，k∈Z，
解得，φ＝2kπ－ ，k∈Z，
又∵φ∈ ，则取k＝0，
∴φ＝ .故选A．
6．
答案：B
解析：由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线方程为 ，即 x
－y＝0，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离
.
7．
答案：C
解析：由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A；取x＝－
1，y＝ ＝ ＞0，故再排除B；当x→＋∞时，3x－1远远大于x3的值且都为正，
故 →0且大于0，故排除D，选C．
8．
答案：C
解析：记基本事件为(a，b)，则基本事件空间Ω＝{(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,1)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,1)，(5,3)，(5,7)，(5,9)，(7,1)，(7,3)，
(7,5)，(7,9)，(9,1)，(9,3)，(9,5)，(9,7)}共有20个基本事件，而lg a－lg b＝
，其中基本事件(1,3)，(3,9)和(3,1)，(9,3)使 的值相等，则不同值的个数
为20－2＝18(个)，故选C．
9．
答案：C
解析：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，则由题意可得，0≤x≤4,0≤y≤4；而
所求事件“两串彩灯同时通电后，第一次闪亮相差不超过2秒”＝{(x，y)||x－y|
≤2}，由图示得，该事件概率 .
10．
答案：A
解析：由题意可得，y＝sin x∈[－1,1]，
0 0
而由f(x)＝ 可知y∈[0,1]，
0
当a＝0时，f(x)＝ 为增函数，
∴y∈[0,1]时，f(y)∈[1， ]．
0 0
∴f(f(y))≥ ＞1.
0
∴不存在y∈[0,1]使f(f(y))＝y成立，故B，D错；
0 0 0
当a＝e＋1时，f(x)＝ ，当y∈[0,1]时，只有y＝1时f(x)才有意义，而
0 0
f(1)＝0，
∴f(f(1))＝f(0)，显然无意义，故C错．故选A．
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
注意事项：
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先
用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．答案：10
解析：由二项式展开系数可得，x2y3的系数为 ＝ ＝10.
12．答案：2
解析：如图所示，在平行四边形ABCD中， ＋ ＝ ＝2 ，
∴λ＝2.
13．答案：解析：∵sin 2α＝－sin α，
∴2sin αcos α＝－sin α.
又∵α∈ ，∴cos α＝ .
∴sin α＝ .
∴sin 2α＝ ，cos 2α＝2cos2α－1＝ .
∴tan 2α＝ ＝ .
14．答案：(－7,3)
解析：当x≥0时，令x2－4x＜5，解得，0≤x＜5.
又因为f(x)为定义域为R的偶函数，则不等式f(x＋2)＜5等价于－5＜x＋2＜5，即－7＜x
＜3；故解集为(－7,3)．
15．
答案：①④
解析：由“中位点”可知，若C在线段AB上，则线段AB上任一点都为“中位点”，C也不
例外，故①正确；
对于②假设在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如图所示，点P为斜边AB中点，设腰长为
2，则|PA|＋|PB|＋|PC|＝ |AB|＝ ，而若C为“中位点”，则|CB|＋|CA|＝4＜
，故②错；
对于③，若B，C三等分AD，若设|AB|＝|BC|＝|CD|＝1，则|BA|＋|BC|＋|BD|＝4＝|CA|
＋|CB|＋|CD|，故③错；
对于④，在梯形ABCD中，对角线AC与BD的交点为O，在梯形ABCD内任取不同于点O的一
点M，则在△MAC中，|MA|＋|MC|＞|AC|＝|OA|＋|OC|，
同理在△MBD中，|MB|＋|MD|＞|BD|＝|OB|＋|OD|，
则得，
|MA|＋|MB|＋|MC|＋|MD|＞|OA|＋|OB|＋|OC|＋|OD|，
故O为梯形内唯一中位点是正确的．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．解：设该数列公差为d，前n项和为S.
n
由已知，可得2a＋2d＝8，(a＋3d)2＝(a＋d)(a＋8d)．
1 1 1 1
所以，a＋d＝4，d(d－3a)＝0，解得a＝4，d＝0，或a＝1，d＝3，即数列{a}的首项为
1 1 1 1 n
4，公差为0，或首项为1，公差为3.
所以，数列的前n项和S＝4n或S＝ .
n n17．
解：(1)由2 cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝ ，得[cos(A－B)＋
1]cos B－sin(A－B)sin B－cos B＝ ，
即cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝ .
则cos(A－B＋B)＝ ，即cos A＝ .
(2)由cos A＝ ，0＜A＜π，得sin A＝ ，
由正弦定理，有 ，
所以，sin B＝ .
由题知a＞b，则A＞B，故 .
根据余弦定理，有 ＝52＋c2－2×5c× ，解得c＝1或c＝－7(舍去)．
故向量 在 方向上的投影为| |cos B＝ .
18．
解：(1)变量x是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．
当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P＝
1
；
当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P＝ ；
2
当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P＝ .
3
所以，输出y的值为1的概率为 ，输出y的值为2的概率为 ，输出y的值为3的概率
为 .
(2)当n＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率如下：
输出y的值 输出y的值 输出y的值
为1的频率 为2的频率 为3的频率
甲
乙
比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大．
(3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝ ，P(ξ＝1)＝ ，
P(ξ＝2)＝ ，
P(ξ＝3)＝ ，
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
所以，Eξ＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝1.
即ξ的数学期望为1.
19．
解：(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线l∥BC，
因为l在平面ABC外，BC在平面ABC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面
1 1
ABC．
1
由已知，AB＝AC，D是BC的中点，
所以，BC⊥AD，则直线l⊥AD．
因为AA⊥平面ABC，
1
所以AA⊥直线l.
1
又因为AD，AA在平面ADDA内，且AD与AA相交，
1 1 1 1
所以直线l⊥平面ADDA.
1 1
(2)解法一：
连接AP，过A作AE⊥AP于E，过E作EF⊥AM于F，连接AF.
1 1 1
由(1)知，MN⊥平面AEA，
1
所以平面AEA⊥平面AMN.
1 1
所以AE⊥平面AMN，则AM⊥AE.
1 1
所以AM⊥平面AEF，则AM⊥AF.
1 1
故∠AFE为二面角A－AM－N的平面角(设为θ)．
1
设AA＝1，则由AB＝AC＝2AA，∠BAC＝120°，有∠BAD＝60°，AB＝2，AD＝1.
1 1
又P为AD的中点，
所以M为AB中点，且AP＝ ，AM＝1，
所以，在Rt△AAP中，AP＝ ；在Rt△AAM中，AM＝ .
1 1 1 1
从而 ，
.所以sin θ＝ .
所以cos θ＝ .
故二面角A－AM－N的余弦值为 .
1
解法二：设AA＝1.如图，过A作AE平行于BC，以A为坐标原点，分别以 ， ，
1 1 1 1 1 1
的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz(点O与点A重
1
合)．
则A(0,0,0)，A(0,0,1)．
1
因为P为AD的中点，
所以M，N分别为AB，AC的中点．
故M ，N .
所以 ＝ ， ＝(0,0,1)， ＝( ，0,0)．
设平面AAM的一个法向量为n＝(x，y，z)，
1 1 1 1 1
则 即
故有
从而
取x＝1，则y＝ ，
1 1
所以n＝(1， ，0)．
1
设平面AMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，
1 2 2 2 2
则 即
故有
从而
取y＝2，则z＝－1，所以n＝(0,2，－1)．
2 2 2
设二面角A－AM－N的平面角为θ，
1又θ为锐角，
则cos θ＝
＝ .
故二面角A－AM－N的余弦值为 .
1
20．
解：(1)由椭圆定义知，
2a＝|PF|＋|PF|＝ ，
1 2
所以 .
又由已知，c＝1.
所以椭圆C的离心率 .
(2)由(1)知，椭圆C的方程为 ＋y2＝1.
设点Q的坐标为(x，y)．
(1)当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0,1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为
.
(2)当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2.
因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x，kx＋2)，(x，kx＋2)，
1 1 2 2
则|AM|2＝(1＋k2)x2，|AN|2＝(1＋k2)x2.
1 2
又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2.
由 ，得
，
即 .①
将y＝kx＋2代入 ＋y2＝1中，得
(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.②
由Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6＞0，得k2＞ .
由②可知，x＋x＝ ，xx＝ ，
1 2 1 2
代入①中并化简，得 .③
因为点Q在直线y＝kx＋2上，
所以 ，代入③中并化简，得10(y－2)2－3x2＝18.由③及k2＞ ，可知0＜x2＜ ，即x∈ ∪ .
又 满足10(y－2)2－3x2＝18，
故x∈ .
由题意，Q(x，y)在椭圆C内，
所以－1≤y≤1.
又由10(y－2)2＝18＋3x2有(y－2)2∈ 且－1≤y≤1，
则y∈ .
所以，点Q的轨迹方程为10(y－2)2－3x2＝18，其中x∈ ，y∈
.
21．
解：(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)．
(2)由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f′(x)，点B处的切线斜率为f′(x)，
1 2
故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有f′(x)f′(x)＝－1.
1 2
当x＜0时，对函数f(x)求导，得f′(x)＝2x＋2.
因为x＜x＜0，
1 2
所以，(2x＋2)(2x＋2)＝－1.
1 2
所以2x＋2＜0,2x＋2＞0.
1 2
因此x－x＝ [－(2x＋2)＋2x＋2]≥ ＝1，当且仅当－(2x＋2)
2 1 1 2 1
＝2x＋2＝1，即 且 时等号成立．
2
所以，函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直时，x－x的最小值为1.
2 1
(3)当x＜x＜0或x＞x＞0时，f′(x)≠f′(x)，故x＜0＜x.
1 2 2 1 1 2 1 2
当x＜0时，函数f(x)的图象在点(x，f(x))处的切线方程为y－(x2＋2x＋a)＝(2x＋2)
1 1 1 1 1 1
(x－x)，即y＝(2x＋2)x－x2＋a.
1 1 1
当x＞0时，函数f(x)的图象在点(x，f(x))处的切线方程为y－ln x＝ (x－x)，即y
2 2 2 2 2
＝ ·x＋ln x－1.
2
两切线重合的充要条件是
由①及x＜0＜x知，－1＜x＜0.
1 2 1
由①②得，a＝x2＋ －1＝x2－ln(2x＋2)－1.
1 1 1
设h(x)＝x2－ln(2x＋2)－1(－1＜x＜0)，
1 1 1 1
则h′(x)＝2x－ ＜0.
1 1所以，h(x)(－1＜x＜0)是减函数．
1 1
则h(x)＞h(0)＝－ln 2－1，
1
所以a＞－ln 2－1.
又当x∈(－1,0)且趋近于－1时，h(x)无限增大，
1 1
所以a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．
故当函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．
