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2014 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）
1．（5分）设z= ，则z的共轭复数为（ ）
A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i
2．（5分）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=（ ）
A．（0，4] B．[0，4） C．[﹣1，0） D．（﹣1，0]
3．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（ ）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b
4．（5分）若向量 、 满足：| |=1，（ + ）⊥ ，（2 + ）⊥ ，则| |=
（ ）
A．2 B． C．1 D．
5．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出 2名男医生、1名女医生组
成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
6．（5分）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点为F 、F ，离心率
1 2
为 ，过F 的直线l交C于A、B两点，若△AF B的周长为4 ，则C的方
2 1
程为（ ）
A． + =1 B． +y2=1 C． + =1 D． + =1
7．（5分）曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（ ）
A．2e B．e C．2 D．1
8．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为
2，则该球的表面积为（ ）
A． B．16π C．9π D．9．（5分）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F 、F ，点A在C上，若|F A|
1 2 1
=2|F A|，则cos∠AF F =（ ）
2 2 1
A． B． C． D．
10．（5 分）等比数列{a }中，a =2，a =5，则数列{lga }的前 8 项和等于（
n 4 5 n
）
A．6 B．5 C．4 D．3
11．（5分）已知二面角 α﹣l﹣β为60°，AB α，AB⊥l，A为垂足，CD β，
C l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成 ⊂ 角的余弦值为（ ） ⊂
A∈． B． C． D．
12．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，
则y=f（x）的反函数是（ ）
A．y=g（x） B．y=g（﹣x） C．y=﹣g（x） D．y=﹣g（﹣x）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)
13．（5分） 的展开式中x2y2的系数为 ．（用数字作答）
14．（5分）设x、y满足约束条件 ，则z=x+4y的最大值为 ．
15．（5 分）直线 l 和 l 是圆 x2+y2=2 的两条切线，若 l 与 l 的交点为（1，
1 2 1 2
3），则l 与l 的夹角的正切值等于 ．
1 2
16．（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（ ， ）是减函数，则a的
取值范围是 ．
三、解答题
17．（10 分）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知
3acosC=2ccosA，tanA= ，求B．18．（12 分）等差数列{a }的前 n 项和为 S ，已知 a =13，a 为整数，且
n n 1 2
S ≤S ．
n 4
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）设b = ，求数列{b }的前n项和T．
n n n
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A B C 中，点A 在平面ABC内的射影D在AC
1 1 1 1
上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC =2．
1
（Ⅰ）证明：AC ⊥A B；
1 1
（Ⅱ）设直线AA 与平面BCC B 的距离为 ，求二面角A ﹣AB﹣C的大小．
1 1 1 1
20．（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁 4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．
（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．
21．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交
点为P，与C的交点为Q，且|QF|= |PQ|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过 F的直线l与C相交于A、B两点，若 AB的垂直平分线 l′与C相交于
M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
22．（12分）函数f（x）=ln（x+1）﹣ （a＞1）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a =1，a =ln（a +1），证明： ＜a ≤ （n N*）．
1 n+1 n n
∈
