文档内容
2014 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数 学
（文史类）
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。满分
150分。考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
注意事项：
必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共10小题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符
合题目要求的。
1、已知集合 ，集合 为整数集，则 （ ）
A、 B、 C、 D、
2、在“世界读书日”前夕，为了了解某地 名居民某天的阅读时间，从中抽取了 名居民的阅
读时间进行统计分析。在这个问题中， 名居民的阅读时间的全体是（ ）
A、总体B、个体
2
C、样本的容量D、从总体中抽取的一个样本 1
2 2
3、为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象
1
2
1 1
上所有的点（ ） 侧视图 俯视图
A、向左平行移动 个单位长度B、向右平行移动 个单位长度
C、向左平行移动 个单位长度D、向右平行移动 个单位长度
4、某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（
）（锥体体积公式： ，其中 为底面面积， 为高）学
科网
A、 B、 C、 D、
5、若 ， ，则一定有（ ）A、 B、 C、 D、
6、执行如图的程序框图，如果输入的 ，那么输出的 的最大值为（ ）
A、 B、 C、 D、
7、已知 ， ， ， ，则下列等式一定成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
8、如图，从气球 上测得正前方的河流的两岸 ， 的俯角分别为 ，
A
30°
，此时气球的高是 ，则河流的宽度 等于（ ）
60m
75°
A、 B、 B C
C、 D、
9、设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于点 ，
则 的取值范围是（ ）学科网
A、 B、 C、 D、
10、已知 为抛物线 的焦点，点 ， 在该抛物线上且位于 轴的两侧， （其
中 为坐标原点），则 与 面积之和的最小值是（ ）
A、 B、 C、 D、
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
注意事项：
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所示的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，
确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。
第Ⅱ卷共11小题。
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11、双曲线 的离心率等于____________。
12、复数 ____________。
13、设 是定义在 上的周期为 的函数，当 时， ，
则 ____________。
14、平面向量 ， ， （ ），且 与 的夹角等于 与 的夹角，
则 ____________。
15、以 表示值域为 的函数组成的集合， 表示具有如下性质的函数 组成的集合：对于函数
，存在一个正数 ，使得函数 的值域包含于区间 。例如，当 ，
时， ， 。现有如下命题：
①设函数 的定义域为 ，则“ ”的充要条件是“ ， ， ”；
②若函数 ，则 有最大值和最小值；学科网
③若函数 ， 的定义域相同，且 ， ，则 ；
④若函数 （ ， ）有最大值，则 。
其中的真命题有____________。（写出所有真命题的序号）。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16、(本小题满分12分)
一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 ， ， ，这三张卡片除标记的数字外完全相同。
随机有放回地抽取 次，每次抽取 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 ， ， 。（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足 ”的概率；
（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字 ， ， 不完全相同”的概率。
17、(本小题满分12分)
已知函数
（Ⅰ）求 的单调递增区间；
（Ⅱ）若 是第二象限角， ，求 的值。
A C
1 1
B
1
18、(本小题满分12分)
E
在如图所示的多面体中，四边形 和 都为矩形。
A C
（Ⅰ）若 ，证明：直线 平面 ；
D
B
（Ⅱ）设 ， 分别是线段 ， 的中点，在线段 上是否存在一点
，使直线 平面 ？请证明你的结论。19、(本小题满分12分)
设等差数列 的公差为 ，点 在函数 的图象上（ ）。
（Ⅰ）证明：数列 为等差数列；学科网
（Ⅱ）若 ，函数 的图象在点 处的切线在 轴上的截距为 ，求数列
的前 项和 。
20、(本小题满分13分)
已知椭圆 ： （ ）的左焦点为 ，离心率为 。
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）设 为坐标原点， 为直线 上一点，过 作 的垂线交椭圆于 ， 。当四边形
是平行四边形时，求四边形 的面积。
21、(本小题满分14分)
已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数。（Ⅰ）设 是函数 的导函数，求函数 在区间 上的最小值；学科网
（Ⅱ）若 ，函数 在区间 内有零点，证明： 。
2014 年普通高等学校招生全国统一考试（四川
卷）
数学（文科）
第Ⅰ卷（共 50 分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
（1）【2014 年四川卷，文 1，5 分】已知集合 ，集合 为整数集，则
（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】由已知得 ，又集合 为整数集，所以 ，故选D．
（2）【2014年四川卷，文2，5分】在“世界读书日”前夕，为了了解某地 名居民某天的阅读
时间，从中抽取了 名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中， 名居民的阅读时
间的全体是
（ ）
（A）总体 （B）个体 （C）样本的容 （D）从总体中抽取的一
个样本【答案】A
【解析】由题目条件知， 名居民的阅读时间的全体是总体；其中1名居民的阅读时间是个体；
从 名居民某天的阅读时间中抽取的 名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，
样本容量是 ，故选A．
（3）【2014年四川卷，文3，5分】为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象
上所有的点
（ ）
（A）向左平行移动 个单位长度 （B）向右平行移动 个单位长度
（C）向左平行移动 个单位长度 （D）向右平行移动 个单位长度
【答案】A
【解析】根据平移法则“左加右减”可知，将函数 的图像上所有的点向左平移移动1个单位
长度即可得到函数 的图像，故选A．
（4）【2014年四川卷，文4，5分】某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱
1 2
锥的体积是（ ）（锥体体积公式： ，其中 为底面面积， 为高） 2 2
1
（A）3 （B）2 （C） （D）1 2
1 1
侧视图 俯视图
【答案】D
【解析】由俯视图可知，三棱锥底面是边长为2的等边三角形．由侧视图可知，三棱锥的高为 ．
故该三棱锥的体积 ，故选D．
（5）【2014年四川卷，文5，5分】若 ， ，则一定有（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，两边同乘 ，得 ，又
，故由不等式的性质可知 ，两边同乘 ，得 ，
故选B．
（6）【2014年四川卷，文6，5分】执行如图的程序框图，如果输入的 ，那么输
出的 的最大值为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【答案】C
y
【解析】由程序框图可知，若输入的 ， 满足约束条件 ，则输出目标函数
1
-1 O 1 2 x
的值，否则，输出 ．如图，作出满足条件的可行域．当 ， 时，
目标 -1 x+y=1
函数 取得最大值2， ，故输出的 的最大值为 ，故选C．
（7）【2014年四川卷，文7，5分】已知 ， ， ， ，则下列等式一定成
立的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B【解析】 ， ，故由换底公式得 ，所以 ．因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，即 ，将其代入 中得 ，即 ，故选
A
B． 30°
（8）【2014年四川卷，文8，5分】如图，从气球 上测得正前方的河流的两岸 ， 60m
75°
的俯角分
别为 ， ，此时气球的高是 ，则河流的宽度 等于（ ）
B C
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】如图， ， ， ，
在 中， ， A
30°
75°
60 m
在 中， ，
C
D B
所以 ，故选C．
（9）【2014年四川卷，文9，5分】设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线
交于点 ，则 的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
x
mx-y-m+3=0
【解析】直线 过定点 ，直线 过定点 ． 3 B
①当 时，过定点 的直线方程为 ，过定点 的直线方程为 ， x+my=0
2
两条
P
直线互相垂直，此时 ，所以 ． 1
②当 时，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 -2 -1 A 1 2 3 y
-1
，
因为 ，所以两条直线互相垂直，即点 可视为以 为直径的圆上
的点．当点 与点 或点 重合时， 有最小值 ．当点 不与点 ，点
重 合 时 ， 为 直 角 三 角 形 ， 且 ． 由 不 等 式 性 质 知
， 所 以 ． 综 合 ① ② 得
，故选B．
（10）【2014年四川卷，文10，5分】已知 为抛物线 的焦点，点 ， 在该抛物线上且位
于 轴的两侧， （其中 为坐标原点），则 与 面积之和的
最小值是（ ）
（A）2 （B）3 （C） （D）
【答案】B
【解析】如图所示，设 ， ，则 （*）．不妨设 点在第一象限，则 ， ．设直线 ： ，代入 中，得 ，
则 ，代入（*）式，有 ，解得 或 （舍），故直线 过定
点 ，
所以 ，故选B．
第 II 卷（共 100 分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分
（11）【2014年四川卷，文11，5分】双曲线 的离心率等于 ．
【答案】
【解析】由双曲线方程 知 ， ， ，所以 ．
（12）【2014年四川卷，文12，5分】复数 ．
【答案】
【解析】 ．
（13）【2014年四川卷，文13，5分】设 是定义在 上的周期为 的函数，当 时，
，则 ________．
【答案】1
【解析】 是定义域在 上的圆周期为 的函数，且 ，
所以 ．
（14）【2014年四川卷，文14，5分】平面向量 ， ， （ ），且
与 的夹角等于 与 的夹角，则 _______．
【答案】
【解析】 ， ，则 ， ， ， ，
． 因 为 与 的 夹 角 等 于 与 的 夹 角 ， 所 以 ， 所 以
，解得 ．
（15）【2014年四川卷，文15，5分】以 表示值域为 的函数组成的集合， 表示具有如下性质
的函数 组成的集合：对于函数 ，存在一个正数 ，使得函数 的值域包含于区间
．例如，当 ， 时， ， ．现有如下命题：
①设函数 的定义域为 ，则“ ”的充要条件是“ ， ， ”；
②若函数 ，则 有最大值和最小值；
③若函数 ， 的定义域相同，且 ， ，则 ；
④若函数 （ ， ）有最大值，则 ．
其中的真命题有____________．（写出所有真命题的序号）．
【答案】①③④
【解析】对于①， 的值域为 ， ， ，故①正确；对于②，当 ， 时， ，即 ，但 无最值，故
②不正确；
对于③，因为 ， ，所以总存在 ，使得 趋近于无穷大，
即 ，故③正确；
对于④，令 ，则 ，令 ，解得
，故 在 上单调递增，且 ， ，又 在 上单
调递减， 时， ，
又 为奇函数，故 ．而 ，当 时，若 ，则 由③
知， ，即 无最大值， 所以 时， 有最大值，此时
，故④正确．综上：真命题的有①③④．
三、解答题：本大题共6题，共75分．
（16）【2014年四川卷，文16，12分】一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 ， ， ，这三
张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取 次，每次抽取 张，将抽取的卡片上的
数字依次记为 ， ， ．
（1）求“抽取的卡片上的数字满足 ”的概率；
（2）求“抽取的卡片上的数字 ， ， 不完全相同”的概率．
解：（1）由题意知， 所有可能的结果为 ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
，共 种．设“抽取的卡片上的数字满足 ”为事件 ，则事件 包括 ，
， ，共3种．所以 ．因此，“抽取的卡片上的数字满足 ”
的概率为 ．
（2）设“抽取的卡片上的数字 ， ， 不完全相同”为事件 ，则事件 包括 ， ，
，共
3种．所以 ．因此“抽取的卡片上的数字 ， ， 不完全相同”的
概率为 ．
（17）【2014年四川卷，文17，12分】已知函数 ．
（1）求 的单调递增区间；
（2）若 是第二象限角， ，求 的值．
解 ： （ 1 ） 因 为 函 数 的 单 调 递 增 区 间 为 ， ． 由
， ，
得 ， ．所以函数 的单调递增区间为 ，．
（2）由已知，有 ，
所以 ，
即 ．
当 时，由 是第二象限角，知 ， ．此时 ．
当 时，有 ．由 是第二象限角，知 ，
此时 ．综上所述， 或 ．
（18）【2014年四川卷，文18，12分】在如图所示的多面体中，四边形 和 A 1 C 1
B
都为矩形． 1
（1）若 ，证明：直线 平面 ； E
（2）设 ， 分别是线段 ， 的中点，在线段 上是否存在一点 ，使直线
A C
D
平面 ？请证明你的结论．
B
解：（1）因为四边形 和 都是矩形，所以 ， ．因为 ，
为平面 内两
条相交直线，所以 平面 ．因为直线 平面 ，所以 ． A C
1 1
又 ， ，
为平面 内两条相交直线，所以 平面 ． O E
B
1
（2）取线段 的中点 ，连接 ， ， ， ，设 为 ， 的交点．
由已知可知 为 的中点．连接 ， ，则 ， 分别为 ， A C
的中 M D
B
位线，所以 ， ，因此 ．连接 ，从而四边形
为
平行四边形，则 ．因为直线 平面 ，所以直线 平面 ，
即线段 上存在一点 （线段 的中点），使直线 平面 ．
（19）【2014年四川卷，文19，12分】设等差数列 的公差为 ，点 在函数 的图
象上（ ）．
（1）证明：数列 为等差数列；
（2）若 ，函数 的图象在点 处的切线在 轴上的截距为 ，求数列
的前 项和
．
解：（1）证明：由已知可知， ，当 时， ，所以数列 是首项为 ，
公比为
等比数列．
（2）函数 在 处的切线方程为 ，它在 轴上的截距为
．由题意知， ，解得 ．所以 ， ， ，
．
于 是 ， ，
，
因 此 ． 所 以
．
（20）【2014年四川卷，文20，13分】已知椭圆 ： （ ）的左焦点为 ，
离心率为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设 为坐标原点， 为直线 上一点，过 作 的垂线交椭圆于 ， ．当四边形
是平
行四边形时，求四边形 的面积．
解：（1）因为 ，所以 ，又 ，所以 ， ，即椭圆 的方程为
．
（2）如图所示，由题意可设直线 的方程为 ．当 时， ，
此
时 ， ， 关于点 对称，但 ，故四边形 不是
平行四
边 形，与题意不符，故 ．直线 ： ，令 ，得
，
即 ，连接 ，设 ，则 ，联立方程
，
消去 整理得 ，即 ，显然 ，
令 ， ．则 ， ，则 ，
解得 ．
此 时 ，
．
所以四边形 的面积 ．
（21）【2014 年四川卷，文 21，14 分】已知函数 ，其中 ，
为自然对数的底数．
（1）设 是函数 的导函数，求函数 在区间 上的最小值；
（2）若 ，函数 在区间 内有零点，证明： ．解：（1） ， ． ．当 时，
．
当 时， ，所以 在 上单调递增．因此 在 上的最小值是
；
当 时， ，所以 在 上单调递减．因此 在 上的最小值是
；
当 时，令 ，得 ．所以函数 在区间 上单调
递减，
在 区 间 上 单 调 递 增 ． 于 是 ， 在 上 的 最 小 值 是
．
综上所述，当 时， 在 上的最小值是 ；当 时， 在
上的最小
值是 ；当 时， 在 上的最小值是 ．
（2）设 为 在区间 内的一个零点，则由 可知， 在区间 上
不可能单调
递增，也不可能单调递减．则 不可能恒为正，也不可能恒为负．故 在区间
内存在零点
．同理 在 区间内存在零点 ．所以 在区间 内至少有两个零点．
由（1）知，当 时， 在 上单调递增，故 在 内至多有一个零点．
当 时， 在 上单调递减，故 在 内至多有一个零点．所以 ．
此时 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．
因此 ， ，必有 ， ．
由 ，有 ，有 ， ，得
．
所以函数 在区间 内有零点时， ．
