文档内容
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
2017 年浙江省高考数学试卷
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）函数y=f（x）的导函数 y=f′（x）的图象如图所示，则函数 y=f（x）的图象可能是（
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
）
1．（5分）已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q=（ ）
A．（﹣1，2） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（1，2）
2．（5分）椭圆 + =1的离心率是（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（
A． B． C． D．
）
8．（5分）已知随机变量ξ 满足P（ξ=1）=p，P（ξ=0）=1﹣p，i=1，2．若0＜p ＜p ＜ ，则（
i i i i i 1 2
）
A．E（ξ ）＜E（ξ ），D（ξ ）＜D（ξ ）B．E（ξ ）＜E（ξ ），D（ξ ）＞D（ξ ）
1 2 1 2 1 2 1 2
C．E（ξ ）＞E（ξ ），D（ξ ）＜D（ξ ）D．E（ξ ）＞E（ξ ），D（ξ ）＞D（ξ ）
1 2 1 2 1 2 1 2
9．（5分）如图，已知正四面体 D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、
BC、CA上的点，AP=PB， = =2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为
A． +1 B． +3 C． +1 D． +3
α、β、γ，则（ ）
4．（5分）若x、y满足约束条件 ，则z=x+2y的取值范围是（ ）
A．[0，6] B．[0，4] C．[6，+∞） D．[4，+∞）
5．（5 分）若函数 f（x）=x2+ax+b 在区间[0，1]上的最大值是 M，最小值是 m，则 M﹣m
（ ）
A．γ＜α＜βB．α＜γ＜βC．α＜β＜γD．β＜γ＜α
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
10．（5分）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
I = • ，I = • ，I = • ，则（ ）
1 2 3
6．（5分）已知等差数列{a }的公差为d，前n项和为S ，则“d＞0”是“S +S ＞2S ”的（ ）
n n 4 6 5（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
A．I ＜I ＜I B．I ＜I ＜I C．I ＜I ＜I D．I ＜I ＜I
1 2 3 1 3 2 3 1 2 2 1 3
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分
11．（4分）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率 π，理论上能把π的值计算到
20．（15分）已知函数f（x）=（x﹣ ）e﹣x（x≥ ）．
任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将 π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一
千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S ，S = ． （1）求f（x）的导函数；
6 6
12．（6分）已知a、b R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），则a2+b2= ，ab= ．
（2）求f（x）在区间[ ，+∞）上的取值范围．
13．（6分）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a x4+a x3+a x2+a x+a ，则a = ，a = ．
∈ 1 2 3 4 5 4 5
14．（6分）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC 21．（15分）如图，已知抛物线 x2=y，点A（﹣ ， ），B（ ， ），抛物线上的点P（x，y）
的面积是 ，com∠BDC= ．
15．（6分）已知向量 、 满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣ |的最小值是 ，最大值是 （﹣ ＜x＜ ），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．
．
（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；
16．（4分）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，
（Ⅱ）求|PA|•|PQ|的最大值．
要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）
17．（4分）已知a R，函数f（x）=|x+ ﹣a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围
∈
是 ．
三、解答题（共5小题，满分74分）
18．（14分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx（x R）． 22．（15分）已知数列{x n }满足：x 1 =1，x n =x n+1 +ln（1+x n+1 ）（n N*），证明：当n N*时，
（Ⅰ）0＜x ＜x ；
（Ⅰ）求f（ ）的值． ∈ n+1 n ∈ ∈
（Ⅱ）2x ﹣x ≤ ；
n+1 n
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．
19．（15分）如图，已知四棱锥 P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，
（Ⅲ） ≤x ≤ ．
n
CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．2017 年浙江省高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q=（ ）
A．（﹣1，2） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（1，2） A． +1 B． +3 C． +1 D． +3
【分析】直接利用并集的运算法则化简求解即可．
【分析】根据几何体的三视图，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，画出图形，结合图中
【解答】解：集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，
数据即可求出它的体积．
那么P∪Q={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2）．
【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，
故选：A．
圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等
【点评】本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力．
均为3，
故该几何体的体积为 × ×π×12×3+ × × × ×3= +1，
2．（5分）椭圆 + =1的离心率是（ ）
故选：A
A． B． C． D．
【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可．
【解答】解：椭圆 + =1，可得a=3，b=2，则c= = ，
所以椭圆的离心率为： = ．
故选：B．
【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出原几何体的结
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
构特征，是基础题目．
3．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（
） 4．（5分）若x、y满足约束条件 ，则z=x+2y的取值范围是（ ）A．[0，6] B．[0，4] C．[6，+∞） D．[4，+∞） 函数f（x）在区间[0，1]上单调，
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可． 此时M﹣m=|f（1）﹣f（0）|=|a|，
故M﹣m的值与a有关，与b无关
【解答】解：x、y满足约束条件 ，表示的可行域如图：
②当 ≤﹣ ≤1，即﹣2≤a≤﹣1时，
目标函数z=x+2y经过坐标原点时，函数取得最小值，
函数f（x）在区间[0，﹣ ]上递减，在[﹣ ，1]上递增，
经过A时，目标函数取得最大值，
且f（0）＞f（1），
由 解得A（0，3），
此时M﹣m=f（0）﹣f（﹣ ）= ，
目标函数的直线为：0，最大值为：36
目标函数的范围是[0，6]． 故M﹣m的值与a有关，与b无关
故选：A．
③当0≤﹣ ＜ ，即﹣1＜a≤0时，
函数f（x）在区间[0，﹣ ]上递减，在[﹣ ，1]上递增，
且f（0）＜f（1），
此时M﹣m=f（0）﹣f（﹣ ）=a﹣ ，
故M﹣m的值与a有关，与b无关
【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．
综上可得：M﹣m的值与a有关，与b无关
故选：B
5．（5 分）若函数 f（x）=x2+ax+b 在区间[0，1]上的最大值是 M，最小值是 m，则 M﹣m
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答
（ ）
的关键．
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
6．（5分）已知等差数列{a }的公差为d，前n项和为S ，则“d＞0”是“S +S ＞2S ”的（ ）
n n 4 6 5
【分析】结合二次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下 M﹣m的取值与a，b的关系，综合可
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
得答案．
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：函数f（x）=x2+ax+b的图象是开口朝上且以直线x=﹣ 为对称轴的抛物线，
【分析】根据等差数列的求和公式和S +S ＞2S ，可以得到d＞0，根据充分必要条件的定义即可判
4 6 5
断．
①当﹣ ＞1或﹣ ＜0，即a＜﹣2，或a＞0时，
【解答】解：∵S +S ＞2S ，
4 6 5∴4a +6d+6a +15d＞2（5a +10d），
1 1 1 8．（5分）已知随机变量ξ 满足P（ξ=1）=p，P（ξ=0）=1﹣p，i=1，2．若0＜p ＜p ＜ ，则（
i i i i i 1 2
∴21d＞20d，
）
∴d＞0，
A．E（ξ ）＜E（ξ ），D（ξ ）＜D（ξ ）B．E（ξ ）＜E（ξ ），D（ξ ）＞D（ξ ）
故“d＞0”是“S +S ＞2S ”充分必要条件， 1 2 1 2 1 2 1 2
4 6 5
C．E（ξ ）＞E（ξ ），D（ξ ）＜D（ξ ）D．E（ξ ）＞E（ξ ），D（ξ ）＞D（ξ ）
故选：C 1 2 1 2 1 2 1 2
【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题
【分析】由已知得0＜p ＜p ＜ ， ＜1﹣p ＜1﹣p ＜1，求出E（ξ ）=p ，E（ξ ）=p ，从而求出
1 2 2 1 1 1 2 2
D（ξ ），D（ξ ），由此能求出结果．
1 2
7．（5分）函数y=f（x）的导函数 y=f′（x）的图象如图所示，则函数 y=f（x）的图象可能是（
【解答】解：∵随机变量ξ满足P（ξ=1）=p，P（ξ=0）=1﹣p，i=1，2，…，
i i i i i
）
0＜p ＜p ＜ ，
1 2
∴ ＜1﹣p ＜1﹣p ＜1，
2 1
E（ξ ）=1×p +0×（1﹣p ）=p ，
1 1 1 1
E（ξ ）=1×p +0×（1﹣p ）=p ，
2 2 2 2
D（ξ ）=（1﹣p ）2p +（0﹣p ）2（1﹣p ）= ，
1 1 1 1 1
A． B． C． D．
D（ξ ）=（1﹣p ）2p +（0﹣p ）2（1﹣p ）= ，
2 2 2 2 2
【分析】根据导数与函数单调性的关系，当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，
函数f（x）单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可 D（ξ 1 ）﹣D（ξ 2 ）=p 1 ﹣p 1 2﹣（ ）=（p 2 ﹣p 1 ）（p 1 +p 2 ﹣1）＜0，
判断函数极值的位置，即可求得函数y=f（x）的图象可能
∴E（ξ ）＜E（ξ ），D（ξ ）＜D（ξ ）．
1 2 1 2
【解答】解：由当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，
故选：A．
则由导函数y=f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递
【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解
增，排除A，C，
能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，
故选D
9．（5分）如图，已知正四面体 D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、
【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形
结合思想，属于基础题． BC、CA上的点，AP=PB， = =2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为
α、β、γ，则（ ）∵ ＞ ＞ ．
∴α＜γ＜β．
解法二：如图所示，连接 OD，OQ，OR，过点O发布作垂线：OE⊥DR，OF⊥DQ，OG⊥QR，垂足
分别为E，F，G，连接PE，PF，PG．
A．γ＜α＜βB．α＜γ＜βC．α＜β＜γD．β＜γ＜α
设OP=h．
【分析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O．不妨设OP=3．则
则cosα= = = ．
O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，﹣6，0），D（0，0，6 ），Q ，R
，利用法向量的夹角公式即可得出二面角．
解法二：如图所示，连接 OD，OQ，OR，过点O发布作垂线：OE⊥DR，OF⊥DQ，OG⊥QR，垂足 同理可得：cosβ= = ，cosγ= = ．
分别为 E，F，G，连接 PE，PF，PG．设 OP=h．可得 cosα= = = ．同理可得： 由已知可得：OE＞OG＞OF．
∴cosα＞cosγ＞cosβ，α，β，γ为锐角．
∴α＜γ＜β．
cosβ= = ，cosγ= = ．由已知可得：OE＞OG＞OF．即可得出． 故选：B．
【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O．
不妨设OP=3．则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，﹣6，0），D（0，0，6 ），
Q ，R ，
= ， =（0，3，6 ）， =（ ，5，0）， = ，
= ．
设平面PDR的法向量为 =（x，y，z），则 ，可得 ，
可得 = ，取平面ABC的法向量 =（0，0，1）．
则cos = = ，取α=arccos ．
同理可得：β=arccos ．γ=arccos ．任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将 π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一
千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S ，S = ．
6 6
【分析】根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积．
【解答】解：如图所示，
单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF中，
【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了推理
△AOB是边长为1的正三角形，
能力与计算能力，属于难题．
所以正六边形ABCDEF的面积为
S =6× ×1×1×sin60°= ．
6
10．（5分）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记
I = • ，I = • ，I = • ，则（ ）
1 2 3 故答案为： ．
A．I ＜I ＜I B．I ＜I ＜I C．I ＜I ＜I D．I ＜I ＜I
1 2 3 1 3 2 3 1 2 2 1 3
【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可．
【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3， 【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题，是基础题．
∴AC=2 ，
∴∠AOB=∠COD＞90°， 12．（6分）已知a、b R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），则a2+b2= 5 ，ab= 2 ．
由图象知OA＜OC，OB＜OD， 【分析】a、b R，（
∈
a+bi）2=3+4i（i 是虚数单位），可得 3+4i=a2﹣b2+2abi，可得 3=a2﹣b2，
∴0＞ • ＞ • ， • ＞0， 2ab=4，解出即可
∈
得出．
即I ＜I ＜I ， 【解答】解：a、b R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），
3 1 2
故选：C． ∴3+4i=a2﹣b2+2abi
∈
，
【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题 ∴3=a2﹣b2，2ab=4，
的关键．
解得ab=2， ， ．
则a2+b2=5，
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分
故答案为：5，2．
11．（4分）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率 π，理论上能把π的值计算到
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． ∴∠BDC=∠BCD，
∴∠ABE=2∠BDC
13．（6分）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a x4+a x3+a x2+a x+a ，则a = 1 6 ，a = 4 ． 在Rt△ABE中，
1 2 3 4 5 4 5
【分析】利用二项式定理的展开式，求解x的系数就是两个多项式的展开式中x与常数乘积之和，
∵cos∠ABE= = ，
a 就是常数的乘积．
5
【解答】解：多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a x4+a x3+a x2+a x+a ， ∴cos∠ABE=2cos2∠BDC﹣1= ，
1 2 3 4 5
（x+1）3中，x的系数是：3，常数是1；（x+2）2中x的系数是4，常数是4，
∴cos∠BDC= ，
a =3×4+1×4=16；
4
a =1×4=4．
5 故答案为： ，
故答案为：16；4．
【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题．
14．（6分）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC
的面积是 ，com∠BDC= ．
【分析】如图，取BC得中点E，根据勾股定理求出AE，再求出S ，再根据S = S 即可求
△ABC △BDC △ABC
【点评】本题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于基础题
出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出
【解答】解：如图，取BC得中点E，
15．（6分）已知向量 、 满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣ |的最小值是 4 ，最大值是
∵AB=AC=4，BC=2，
．
∴BE= BC=1，AE⊥BC，
【分析】通过记∠AOB=α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知| + |= 、| ﹣ |=
，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．
∴AE= = ，
【解答】解：记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，
由余弦定理可得：
∴S = BC•AE= ×2× = ，
△ABC
| + |= ，
∵BD=2，
| ﹣ |= ，
∴S = S = ，
△BDC △ABC
∵BC=BD=2， 令x= ，y= ，则x2+y2=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图， 故有40×12=480种，
令z=x+y，则y=﹣x+z， 第二类，先选 2 女 2 男，有 C 2C 2=15 种，这 4 人选 2 人作为队长和副队有 A 2=12 种，故有
6 2 4
则直线y=﹣x+z过M、N时z最小为z =1+3=3+1=4， 15×12=180种，
min
当直线y=﹣x+z与圆弧MN相切时z最大， 根据分类计数原理共有480+180=660种，
由平面几何知识易知z 即为原点到切线的距离的 倍， 故答案为：660
max
也就是圆弧MN所在圆的半径的 倍， 【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理，属于中档题
所以z = × = ．
max
综上所述，| + |+| ﹣ |的最小值是4，最大值是 ． 17．（4分）已知a R，函数f（x）=|x+ ﹣a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围
∈
故答案为：4、 ．
是 （﹣ ∞ ， ） ．
【分析】通过转化可知|x+ ﹣a|+a≤5且a≤5，进而解绝对值不等式可知2a﹣5≤x+ ≤5，进而
计算可得结论．
【解答】解：由题可知|x+ ﹣a|+a≤5，即|x+ ﹣a|≤5﹣a，所以a≤5，
又因为|x+ ﹣a|≤5﹣a，
所以a﹣5≤x+ ﹣a≤5﹣a，
所以2a﹣5≤x+ ≤5，
又因为1≤x≤4，4≤x+ ≤5，
【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦
所以2a﹣5≤4，解得a≤ ，
定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．
故答案为：（﹣∞， ）．
16．（4分）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，
要求服务队中至少有1名女生，共有 66 0 种不同的选法．（用数字作答） 【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，
【分析】由题意分两类选1女3男或选2女2男，再计算即可 属于中档题．
【解答】解：第一类，先选 1女3男，有C 3C 1=40种，这4人选2人作为队长和副队有 A 2=12种，
6 2 4
三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx（x R）．
（Ⅰ）求f（ ）的值． ∈
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，
（Ⅰ）代入可得：f（ ）的值．
【分析】（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间
直角系，利用向量法能证明CE∥平面PAB．
（Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得f（x）的最小正周期及单调递增区间
（Ⅱ）求出平面PBC的法向量和 ，利用向量法能求出直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
【解答】解：∵函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx=﹣ sin2x﹣cos2x=2sin（2x+ ）
【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，
（Ⅰ）f（ ）=2sin（2× + ）=2sin =2，
BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点，
∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角系，
（Ⅱ）∵ω=2，故T=π，
设PC=AD=2DC=2CB=2，
即f（x）的最小正周期为π，
则C（0，1，0），D（0，0，0），P（1，0，1），E（ ），A（2，0，0），B（1，1，
由2x+ [﹣ +2kπ， +2kπ]，k Z得：
0），
∈ ∈
x [﹣ +kπ，﹣ +kπ]，k Z，
=（ ）， =（1，0，﹣1）， =（0，1，﹣1），
∈ ∈
故f（x）的单调递增区间为[﹣ +kπ，﹣ +kπ]，k Z．
设平面PAB的法向量 =（x，y，z），
∈
【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，
则 ，取z=1，得 =（1，1，1），
难度中档．
∵ = =0，CE 平面PAB，
19．（15分）如图，已知四棱锥 P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，
⊄
∴CE∥平面PAB．
CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．
解：（Ⅱ） =（﹣1，1，﹣1），设平面PBC的法向量 =（a，b，c），
（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
则 ，取b=1，得 =（0，1，1），
设直线CE与平面PBC所成角为θ，=（1﹣x+ ）e﹣x=（1﹣x）（1﹣ ）e﹣x；
则sinθ=|cos＜ ＞|= = = ．
（2）由f（x）的导数f′（x）=（1﹣x）（1﹣ ）e﹣x，
∴直线CE与平面PBC所成角的正弦值为 ．
可得f′（x）=0时，x=1或 ，
当 ＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当1＜x＜ 时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当x＞ 时，f′（x）＜0，f（x）递减，
且x≥ x2≥2x﹣1 （x﹣1）2≥0，
则f（x）≥0．
⇔ ⇔
【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面 由f（ ）= e ，f（1）=0，f（ ）= e ，
间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思
即有f（x）的最大值为 e ，最小值为f（1）=0．
想、化归与转化思想，是中档题．
则f（x）在区间[ ，+∞）上的取值范围是[0， e ]．
20．（15分）已知函数f（x）=（x﹣ ）e﹣x（x≥ ）．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导
（1）求f（x）的导函数； 是解题的关键，属于中档题．
（2）求f（x）在区间[ ，+∞）上的取值范围．
21．（15分）如图，已知抛物线 x2=y，点A（﹣ ， ），B（ ， ），抛物线上的点P（x，y）
【分析】（1）求出f（x）的导数，注意运用复合函数的求导法则，即可得到所求；
（2）求出f（x）的导数，求得极值点，讨论当 ＜x＜1时，当1＜x＜ 时，当x＞ 时，f（x）的
（﹣ ＜x＜ ），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．
（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；
单调性，判断f（x）≥0，计算f（ ），f（1），f（ ），即可得到所求取值范围．
（Ⅱ）求|PA|•|PQ|的最大值．
【解答】解：（1）函数f（x）=（x﹣ ）e﹣x（x≥ ），
导数f′（x）=（1﹣ • •2）e﹣x﹣（x﹣ ）e﹣x故﹣|PA|•|PQ|= • = + =（1+k）3（k﹣1），
所以|PA|•|PQ|=（1+k）3（1﹣k），
令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，
则f′（x）=（1+x）2（2﹣4x）=﹣2（1+x）2（2x﹣1），
【分析】（Ⅰ）通过点P在抛物线上可设P（x，x2），利用斜率公式结合﹣ ＜x＜ 可得结论；
由于当﹣1＜x＜﹣ 时f′（x）＞0，当 ＜x＜1时f′（x）＜0，
（Ⅱ）通过（I）知P（x，x2）、﹣ ＜x＜ ，设直线AP的斜率为k，联立直线AP、BP方程可知
故f（x） =f（ ）= ，即|PA|•|PQ|的最大值为 ．
max
Q点坐标，进而可用 k表示出 、 ，计算可知|PA|•|PQ|=（1+k）3（1﹣k），通过令f（x）=
【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，考查运算求解能力，考查函数思想，注意解题方法的积
（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，求导结合单调性可得结论．
累，属于中档题．
【解答】解：（Ⅰ）由题可知P（x，x2），﹣ ＜x＜ ，
22．（15分）已知数列{x }满足：x =1，x =x +ln（1+x ）（n N*），证明：当n N*时，
n 1 n n+1 n+1
（Ⅰ）0＜x ＜x ；
所以k = =x﹣ （﹣1，1）， n+1 n ∈ ∈
AP
∈ （Ⅱ）2x n+1 ﹣x n ≤ ；
故直线AP斜率的取值范围是：（﹣1，1）；
（Ⅲ） ≤x ≤ ．
n
（Ⅱ）由（I）知P（x，x2），﹣ ＜x＜ ，
【分析】（Ⅰ）用数学归纳法即可证明，
所以 =（﹣ ﹣x， ﹣x2），
（Ⅱ）构造函数，利用导数判断函数的单调性，把数列问题转化为函数问题，即可证明，
设直线AP的斜率为k，则AP：y=kx+ k+ ，BP：y=﹣ x+ + ，
（Ⅲ）由 ≥2x ﹣x 得 ﹣ ≥2（ ﹣ ）＞0，继续放缩即可证明
n+1 n
联立直线AP、BP方程可知Q（ ， ），
【解答】解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：x ＞0，
n
当n=1时，x =1＞0，成立，
1
故 =（ ， ）， 假设当n=k时成立，则x ＞0，
k
那么n=k+1时，若x ＜0，则0＜x =x +ln（1+x ）＜0，矛盾，
k+1 k k+1 k+1
又因为 =（﹣1﹣k，﹣k2﹣k）， 故x ＞0，
n+1
因此x ＞0，（n N*）
n
∴x =x +ln（1+x ）＞x ，
n n+1 ∈n+1 n+1因此0＜x ＜x （n N*），
n+1 n
（Ⅱ）由x =x +ln（1+x ）得x x ﹣4x +2x =x 2﹣2x +（x +2）ln（1+x ），
n n+1 ∈ n+1 n n+1 n+1 n n+1 n+1 n+1 n+1
记函数f（x）=x2﹣2x+（x+2）ln（1+x），x≥0
∴f′（x）= +ln（1+x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）≥f（0）=0，
因此x 2﹣2x +（x +2）ln（1+x ）≥0，
n+1 n+1 n+1 n+1
故2x ﹣x ≤ ；
n+1 n
（Ⅲ）∵x =x +ln（1+x ）≤x +x =2x ，
n n+1 n+1 n+1 n+1 n+1
∴x ≥ ，
n
由 ≥2x ﹣x 得 ﹣ ≥2（ ﹣ ）＞0，
n+1 n
∴ ﹣ ≥2（ ﹣ ）≥…≥2n﹣1（ ﹣ ）=2n﹣2，
∴x ≤ ，
n
综上所述 ≤x ≤ ．
n
【点评】本题考查了数列的概念，递推关系，数列的函数的特征，导数和函数的单调性的关系，
不等式的证明，考查了推理论证能力，分析解决问题的能力，运算能力，放缩能力，运算能力，
属于难题
