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专题 1-6 二倍角的解题策略：倍半角模型与绝配角
导语：见到2倍角的条件，首先想到“导”，将图形中的角度都推导出来，挖掘出隐藏边的信息，再观察
角度的位置，结合其他条件，这里做题的经验，总结了六个字：翻、延、倍、分、导、造
目录
知识点梳理...............................................................................................................................................................
策略一：向外构造等腰（大角减半）..........................................................................................................
策略二：向内构造等腰（小角加倍或大角减半）......................................................................................
策略三：沿直角边翻折半角（小角加倍）..................................................................................................
策略四：邻二倍角的处理..............................................................................................................................
【经典例题讲解】..........................................................................................................................................
【一题多解1】围绕2倍角条件，解法围绕“翻” “延” 倍”“分”...........................................
【一题多解2】常规法与倍半角处理对比...................................................................................................
策略五：绝配角模型......................................................................................................................................
题型一 向外构造等腰三角形（大角减半）......................................................................................................
2023·深圳南山区联考二模.............................................................................................................................
2023·山西·统考中考真题................................................................................................................................
题型二 向内构造等腰（小角加倍或大角减半）..............................................................................................
题型三 沿直角边翻折半角（小角加倍）..........................................................................................................
2023·深圳宝安区二模.................................................................................................................................
2023·深圳中学联考二模.............................................................................................................................
题型四 邻二倍角的处理......................................................................................................................................
题型五 绝配角.......................................................................................................................................................
题型六 坐标系中的二倍角问题..........................................................................................................................
宿迁·中考.........................................................................................................................................................
盐城·中考.........................................................................................................................................................
河南·中考.........................................................................................................................................................
2023·内蒙古赤峰·统考中考真题....................................................................................................................
江苏苏州·统考中考真题.................................................................................................................................
内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题.....................................................................................................................
2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题...........................................................................................................
2023·湖北黄冈·统考中考真题........................................................................................................................
题型七 其它构造方式..........................................................................................................................................
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知识点梳理
策略一：向外构造等腰（大角减半）
已知条件：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB
A
D B C
辅助线作法：延长CB到D，使BD＝BA，连接AD
结论：AD＝AC，△BDA∽△ADC
策略二：向内构造等腰（小角加倍或大角减半）
已知条件：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠B
A
B C
辅助线作法：法一：作∠ABC的平分线交AC于点D，结论：∠DBC＝∠C，DB＝DC
A
D
B C
法二：在BC上取一点E，使AE＝CE，则∠AEB＝2∠C＝∠B（作AC中垂线得到点E）
A
B E C
总结：策略一和策略二都是当2倍角和1倍角共边时对应的构造方法，下面我们再来看看不在同一个三角
形中时该如何处理
策略三：沿直角边翻折半角（小角加倍）
已知条件：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边BC上一点，连接AD，∠B＝2∠CAD
A
B D C E
辅助线作法：沿AC翻折△ACD得到△ACE
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结论：AD＝AE，∠DAE＝∠B，BA＝BE，△ADE∽△BAE
策略四：邻二倍角的处理
已知条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为边BC上一点，∠BAD＝2∠CAD
A
2αα
B D C
辅助线作法：
法一：向外构造等腰（导角得相似）
延长AD到E，使AE＝AB，连接BE，结论：BD＝BE，∠DBE＝∠BAD，△BDE∽△ABE
A
2αα
B 2α D C
E
法二：作平行线，把二倍角转到同一个三角形中，延长AD到F，使CE∥AB，则∠F＝∠BAD
A
2αα
B D C
F
【经典例题讲解】
例题1如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E、F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，
则CF的长是( )
A． B． C． D．
A D
F
B E C
例题2如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，AF平分∠BAE，交BC于点F，将△ADE绕点A
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顺时针旋转90°得△ABG，则CF的长为 ．
A D
E
G B F C
例题3 如图，面积为24的□ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BD 交BC的延长线于点
E，DE＝6，则sin∠DCE的值为( )
A D
B C E
例题4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点
E，则DE＝_________．
A
D
E
B C
总结：具体问题具体对待，并非哪一种方法绝对简单，需根据问题特征选取较为合适的方法．
【一题多解 1】围绕 2 倍角条件，解法围绕“翻” “延” 倍”“分”
如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，AB＝3，BC＝5，求线段AC的长．（5种解法）
A
2α
α
B
C
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【一题多解 2】常规法与倍半角处理对比
如图，AB为⊙O的直径，BC、CD是⊙O的切线，切点分别为点B、D，点E为线段OB上的一个动点，连
接OD、CE、DE，已知AB＝2 ，BC＝2，当CE＋DE的值最小时，则 的值为( )（3种解法）
A．
D
C
B．
A O E B
C．
D．
如图，AB为⊙O的直径，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．
(1)求证：DO//AC；(2)求证：
(3)若tan ，求sin∠CDA的值。（3种解法）
C
D
E
F
A B
O
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策略五：绝配角模型
【释义】当m，n 两个角满足m＋2n＝180°时，称其为一对绝配角，或者半角的余角与它本身称为绝配角
【举例】常见的剧配角组合如下：
绝配角 组合1 组合2 组合3 组合4 组合5
m 2α 90＋2α 90－2α 60＋2α 60－2α
n 90－α 45－α 45＋α 60－α 60－α
【解 决】
思路(一)：根据三角形内角和是180°，构造等腰三角形。
思路(二)：根据平角是180°，m和2个n构成一个平角(有两条边在同一直线上)
用一句话概括为：有等腰找等腰，没等腰造等腰
其中“等腰”指的是以m为顶角、以n为底角的等腰三角形，了解绝配角模型，可以给我们提供一些辅助
线思路
（一）共顶共边翻折
当两个角满足两个角满足m＋2n＝180°时，且共顶点共一边，这样的两个角是什么样的呢?
C
B
m
90°-
2
m
A D
O
发现 OD为∠AOB邻补角的平分线，此时处理问题一般用翻折，把 OB 沿 OD 翻折．
例题1：已知Rt△ABC中∠C＝90°， ， ，求 的值．（2种解法）
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A A
2t
90°-t 绝配角
E E t
D C D C
(二)共三角形等腰
(1)若 为同一个三角形的内角，则此时三角形为等腰三角形．
(2)若 分别为同一个三角形的内角和外角，则另一内角为 ，此时三角形为等腰三角
形
(3)若 分别为同一个三角形的内角和外角，此时可以以 m为顶角作等腰三角形，此时会构成
另一个相似的等腰三角形．
(4)若 为同一个三角形的内角，与(3)的情况相同．
总结：“半角的余角，等腰形来找”
例题2：如图在矩形ABCD中，点E，F分别为AD，CD的中点，连接BE，BF，且∠ABE＝2∠FBC，若BE
＝5，则BF的长度为 ． （5种解法）
A E D A E D
F F
2α 90°-α
α
C
B C B
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重点题型·归类精练
题型一 向外构造等腰三角形（大角减半）
1．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BC＝a，AC＝b，AB＝c，探究a，b，c满足的关系．
A
B C
2．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AB＝3，AC＝2，求BC的长．
A
B C
2023·深圳南山区联考二模
3．一副三角板按如图1放置，图2为简图，D为AB中点，E、F分别是一个三角板与另一个三角板直角边
AC、BC的交点，已知AE=2，CE=5，连接DE，M为BC上一点，且满足∠CME=2∠ADE，EM=
．
2023·山西·统考中考真题
4．如图，在四边形 中， ，对角线 相交于点 ．若
，则 的长为 ．
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5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，ED⊥AD交
AB于点E，△ADE的外接圆⊙O交AC于点F，连接EF．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)求⊙O的半径r及∠3的正切值．
B
E
3
O
D
1
2
C F A
图17-8-1
6．如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，点C在⊙O上，且PC2＝PB·PA．
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)已知PC＝20，PB＝10，点D是弧AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，DE交AB于点F，求EF的长．
C
E
A F O B P
D
图17-9-1
题型二 向内构造等腰（小角加倍或大角减半）
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB上一点，∠ACD＝2∠B，＝，求cosB的值．
A
D
B C
8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为边BC上一点，∠BAD＝2∠C，BD＝2，CD＝3，求AD的
长．
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A
B D C
9．如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分∠ABM，弦CD交AB于点E，DE＝OE．
(1)求证：△ACB是等腰直角三角形；
(2)求证：OA2＝OEDC；
(3)求tan∠ACD的值．
C
M
A E O B
D
图17-10-1
10．如图，在四边形ABCD中，∠ABD＝2∠BDC，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，求BC的长．
A
D
B C
11．如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，点D是BC的中点，AE是BC边上的高，若AE＝4，CE＝2，求DE的
长．
A
B D E C
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD⊥BC于点D，AE为BC边上的中线，BD＝3，DE＝2，求AE
的长．
A
B D E C
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13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D为BC边上一点，BD＝2DC，点E在AD的延长线上，∠ABC＝
2∠DEC，AD·DE＝18，求sin∠BAC的值．
A
C
B D
E
14．如图，在□ABCD中，∠D＝2∠ACB，AE平分∠BAC交BC于点E，若BE＝2，CE＝3，求AE的长．
A D
B E C
15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC＝4，CD＝2，∠ABD＝2∠DBC，求BD的长．
A D
B C
题型三 沿直角边翻折半角（小角加倍）
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边BC上一点，∠B＝2∠CAD，AB·CD＝5，求AD的长．
A
B D C
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17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC边上一点，BD＝2CD，∠B＝2∠DAC，AB＝4，求
AD的长．
A
B D C
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边BC上一点，∠B＝2∠DAC，BD＝3，DC＝2，求AD
的长．
A
B D C
2023·深圳宝安区二模
19．如图，在 中， ，点 为 中点， ，则 的值为 ．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AC的中点，连接BD，∠A＝2∠DBC，求tan∠ABD的值．
A
D
C
B C
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2023·深圳中学联考二模
21．如图，在 中，点 在边 上， ， ， 交 的延长线于点 ，若
， ，则 ．
22．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，BE 平分∠ABC，点 D 为 BC 边上一点，BD＝2CD，∠ABC＝
2∠DAC，求的值．
A
E
B D C
23．如图，在△Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分别是边 AB，BC上的点，DC平分∠ADE，∠B＝
2∠ACD，求CE的长．
A
D
B E C
24．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是中线，AB＝6，AD＝，求BC，AC的长．
A
B D C
25．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别为边BC，AC上的点，连接AD，DE，
∠AED＝2∠DAE，CE＝7，BD＝18，求DE的长．
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A
E
B D C
26．如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠BAC，BD＝3，CD＝2，求AD的长．
A
B D C
题型四 邻二倍角的处理
27．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠DAC＝2∠DAB，BD＝4，DC＝9，求AD的长．
A
B D C
28．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D为边AC上一点，∠DBC＝2∠ABD，CD＝3，BC＝7，求BD
的长．
A
D
B C
29．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC边上一点，∠BAD＝2∠CAD，BD＝10，DC＝3，求
AD的长．
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A
B D C
30．如图，在△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD⊥BE交BE的延长线于点D，
BD＝8，AC＝11，则BC的长为_________．
B
E
A C
D
31．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，∠ABC＝2∠DBA，DE⊥BA交BA的延长线于
点E，若BE＝8，CD＝11，求BD的长．
D
E
A
B C
题型五 绝配角
32．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别为BC，AC上的点，∠B＝2∠CDE，∠ADE＝45°，
AB＝5，AE＝3，则BD的长为_________．
A
E
B D C
33．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为边AB上一点，∠ACD＝2∠B，若BD＝2，AD＝4，求
CD的长．
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A
D
C
B C
34．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边BC上一点，BD＝2CD，∠DAC＝2∠B，AD＝，求AB
的长．
A
B D C
35．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，点E在线段AD上，∠CED＝2∠BAD，若AE＝
9，DE＝3，求BC的长．
A
E
B D C
36．如图，△ABC是等边三角形，点D在BC的延长线上，点E在线段AD上，∠DAC＝2∠DBE，BE与AC
交于点F，若CF＝1，DE＝2，则CD的长为_________．
A
F E
B C D
37．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边BC上一点，BD＝2CD，∠DAC＝2∠ABC，若AD＝ 2
，求AB的长．
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A
B D C
38．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥CD，AB＝AC，∠ABD＝2∠ADC，CD＝2，求AD的长．
A D
B C
39．如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，∠ADC＝60°，∠BAD＝2∠CAD，BD＝5，CD＝1，求AD
的长．
A
B D C
40．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是边AC上一点，连接BE，
DE，∠ABE＝2∠EDC，AE＝3，求DE的长．
A
E
B D C
41．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是边AC上一点，连接BE，
DE，∠ABE＝2∠EDC，CE＝2，求AE的长．
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A
E
B D C
42．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别为边AC，BC上的点，∠ABD＝2∠BAE，BE
＝3，CD＝7，求BD的长．
A
D
C
B E C
43．如图，在等边△ABC中，点D，E分别为边BC，AC上的点，连接AD，DE，∠ADB＝2∠CDE，BD＝
3，CE＝4，求CD的长．
A
E
B D C
44．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边上一点，AD＜BD，∠ADC＝2∠ACD，AB＝8，CD
＝3，求AD的长．
A
D
B C
45．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D，E为边BC上两点（点D在点E左侧），
且BD＝CE，∠DAE＝∠BAC，求DE的长．
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A
B D E C
题型六 坐标系中的二倍角问题
宿迁·中考
46．如图，抛物线 交x轴于A、B两点，其中点A坐标为(1，0)，与y轴交于点 。
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标；
y
B O A x
C
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盐城·中考
47．如图，二次函数 的图像与一次函数y＝kx－k＋2的图像交于A、B两点，点B在点A的
右侧，直线AB分别与x轴、y轴交于C、D两点，其中k＜0．
(1)求AB两点的横坐标；
(2)二次函数图像的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得 若存在，求出k的值；
若不存在，说明理由。
y
y
A
B
C O x
O x 备用图
河南·中考
48．如图，抛物线y＝ax²＋6x＋c交x轴于A、B两点，交y轴于点C。直线y＝x－5经过点B、C。
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M，连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直
接写出点M的坐标。
y
O A B x
C
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2023·内蒙古赤峰·统考中考真题
49．如图，抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点 在抛物线上，点E在直
线 上，若 ，则点E的坐标是 ．
江苏苏州·统考中考真题
50．如图，在平面直角坐标系中，点 、 的坐标分别为 、 ，点 在第一象限内，连接
、 ．已知 ，则 ．
内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题
51．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为(1，0)，与y轴交于点C（(0，﹣
3)．
（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点
P的坐标．
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2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题
52．如图，抛物线 经过点 和点 ，与 轴的另一个交点为 ，连接 、 ．
(1)求抛物线的解析式及点 的坐标；
(2)如图，点 是第一象限内抛物线上的动点，过点 作 轴，分别交 、 轴于点 、 ，当
中有某个角的度数等于 度数的2倍时，请求出满足条件的点 的横坐标．
2023·湖北黄冈·统考中考真题
53．已知抛物线 与x轴交于 两点，与y轴交于点 ，点P为第一象限抛物线
上的点，连接 ．
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(1)直接写出结果； _____， _____，点A的坐标为_____， ______；
(2)如图1，当 时，求点P的坐标；
54．（2020·湖南张家界·中考真题）如图，抛物线 交x轴于 两点，交y轴于点C．直线
经过点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线 上是否存在点M，使 与直线 的夹角等于 的2倍？若存在，请求出点M的坐
标；若不存在，请说明理由．
题型七 其它构造方式
55．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D，E分别在边AC，BC上，且∠DBC＝2∠BAE，
AE＝2，BD＝，求AB的长．
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A
D
B E C
56．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC，∠ACD＝2∠ABD，AD＝19，CD＝25，求AB的长．
A D
B C
57．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，D为△ABC内一点，∠BDC＝2∠BAD，BD＝CD，求△ABD的
面积．
A
D
B C
58．如图，在等边△ABC中，点D在边AB上，点E在BC的延长线上，∠CAE＝2∠DCB，BD＝2，AD＝
6，求CE的长．
A
D
B C E
59．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，∠DAC＝2∠ADB，若CD＝4，BD＝10，求
△ACD的面积．
A D
B C
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60．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AC，BC上的点，连接AE与BD交于点F，∠BFE＝
∠BAC＝2∠AEB，探究AF，EF与BF的数量关系，并证明．
A
D
F
B E C
61．如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，＝，点E为AD的中点，若∠BAC＝∠BED＝2∠CED，求
的值．
A
E
B D C
62．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点P为BC边上一点，连接AP，分别过点B，C作AP的垂线，
垂足为D，E，若∠ADC＝2∠ABC，＝，求tan∠ACB的值．
A
D
B P C
E
63．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D，E为边BC上两点（点D在点E左侧），∠BAD＝∠CAE，
∠AED＝2∠ADE，BD＝7，CE＝2，求AE，DE的长．
A
B D E C
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64．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BA，BC的延长线上，连接DE，EF，DE＝，EF＝5，∠BEF
＝2∠DEF，求BF的长．
A D
B C
26
