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2018年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考
试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。学科:网
第一部分
（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A B=
（A）{0，1} （B）{–1，0，1}
（C）{–2，0，1，2} （D）{–1，0，1，2}
（2）在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为
（A） （B）（C） （D）
（4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发
展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，
每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 ．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频
率为
（A） （B）
（C） （D）
（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
（A）1 （B）2
（C）3 （D）4
（6）设a，b均为单位向量，则“ ”是“a⊥b”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线 的距离，当θ，m变化时，d的
最大值为
（A）1 （B）2
（C）3 （D）4
（8）设集合 则（A）对任意实数a， （B）对任意实数a，（2，1）
（C）当且仅当a<0时，（2，1） （D）当且仅当 时，（2，1）
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）设 是等差数列，且a=3，a+a=36，则 的通项公式为__________．
1 2 5
（10）在极坐标系中，直线 与圆 相切，则a=__________．
（11）设函数f（x）= ，若 对任意的实数x都成立，则ω的最小值为
__________．
（12）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y–x的最小值是__________．
（13）能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命
题的一个函数是__________．
（14）已知椭圆 ，双曲线 ．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四
个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离
心率为__________．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。学@科网
（15）（本小题13分）
在△ABC中，a=7，b=8，cosB=– ．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求AC边上的高．
（16）（本小题14分）
如图，在三棱柱ABC- 中， 平面ABC，D，E，F，G分别为 ，AC， ， 的中点，
AB=BC= ，AC= =2．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求二面角B-CD-C 的余弦值；
1
（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．
（17）（本小题12分）
电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ ”表示第k类电影得
到人们喜欢，“ ”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差 ， ，
， ， ， 的大小关系．
（18）（本小题13分）
设函数 =[ ] ．
（Ⅰ）若曲线y= f（x）在点（1， ）处的切线与 轴平行，求a；（Ⅱ）若 在x=2处取得极小值，求a的取值范围．
（19）（本小题14分）
已知抛物线C： =2px经过点 （1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，
且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点， ， ，求证： 为定值．
（20）（本小题14分）
设n为正整数，集合A= ．对于集合A中的任意元素
和 ，记
M（ ）= ．
（Ⅰ）当n=3时，若 ， ，求M（ ）和M（ ）的值；
（Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素 ，当 相同时，M（ ）是
奇数；当 不同时，M（ ）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；
（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素 ，
M（ ）=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．学科&网绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
一、选择题
1．A 2．D 3．B 4．D 5．C 6．C 7．C 8．D
二、填空题
9． 10． 11． 12．3
13．y=sinx（答案不唯一） 14．
三、解答题
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，∵cosB=– ，∴B∈（ ，π），∴sinB= ．由正弦定理得 = ，∴sinA= ．
∵B∈（ ，π），∴A∈（0， ），∴∠A= ．
（Ⅱ）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA= = ．
如图所示，在△ABC中，∵sinC= ，∴h= = ，
∴AC边上的高为 ．
（16）（共14分）
解：（Ⅰ）在三棱柱ABC-ABC 中，
1 1 1
∵CC ⊥平面ABC，
1
∴四边形AACC 为矩形．
1 1
又E，F分别为AC，AC 的中点，
1 1
∴AC⊥EF．
∵AB=BC．
∴AC⊥BE，
∴AC⊥平面BEF．
（Ⅱ）由（I）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC ．
1
又CC ⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC．
1
∵BE 平面ABC，∴EF⊥BE．
如图建立空间直角坐称系E-xyz．由题意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1）．
∴ ，
设平面BCD的法向量为 ，
∴ ，∴ ，
令a=2，则b=-1，c=-4，
∴平面BCD的法向量 ，
又∵平面CDC 的法向量为 ，
1
∴ ．
由图可得二面角B-CD-C 为钝角，所以二面角B-CD-C 的余弦值为 ．
1 1
（Ⅲ）平面BCD的法向量为 ，∵G（0，2，1），F（0，0，2），
∴ ，∴ ，∴ 与 不垂直，
∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，∴GF与平面BCD相交．
（17）（共12分）
解：（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50．
故所求概率为 ．
（Ⅱ）设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，
事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．
故所求概率为P（ ）=P（ ）+P（ ）=P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）．
由题意知：P（A）估计为0.25，P（B）估计为0.2．
故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35．
（Ⅲ） > > = > > ．
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）因为 =[ ] ，
所以f ′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）
=［ax2–（2a+1）x+2］ex．
f ′(1)=(1–a)e．
由题设知f ′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．
此时f (1)=3e≠0．
所以a的值为1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．
若a> ，则当x∈( ，2)时，f ′(x)<0；
当x∈(2，+∞)时，f ′(x)>0．
所以f (x)<0在x=2处取得极小值．
若a≤ ，则当x∈(0，2)时，x–2<0，ax–1≤ x–1<0，
所以f ′(x)>0．
所以2不是f (x)的极小值点．
综上可知，a的取值范围是（ ，+∞）．
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），
所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．
由题意可知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．
由 得 ．依题意 ，解得k<0或0
