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2018 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试
结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分
（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合A={( || |<2)},B={−2,0,1,2},则
𝑥 𝑥
（A）{0,1} （B）{−1,0,1}
（C）{−2,0,1,2} （D）{−1,0,1,2}
（2）在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A） （B）
（C） （D）
（4）设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（5）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的
发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单
音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若第一个单音的频率f，则第八个
单音频率为
（A） （B）
（C） （D）
（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A）1 （B）2
（C）3 （D）4
（7）在平面坐标系中， 是圆 上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角
以O 为始边，OP为终边，若 ，则P所在的圆弧是
𝑥
（A） （B）
（C） （D）
（8）设集合 则
（A）对任意实数a，
（B）对任意实数a，（2,1）
（C）当且仅当a<0时,（2,1）
（D）当且仅当 时,（2,1）第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）设向量a=（1,0），b=（−1,m）,若 ，则m=_________.
（10）已知直线l过点（1,0）且垂直于𝑥轴，若l被抛物线 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐
标为_________.
（11）能说明“若a﹥b，则 ”为假命题的一组a，b的值依次为_________.
（12）若双曲线 的离心率为 ，则a=_________.
（13）若𝑥,y满足 ，则2y− 的最小值是_________.
𝑥
（14）若 的面积为 ,且∠C 为钝角，则∠B=_________； 的取值范围是
_________.
三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
设 是等差数列，且 .
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求 .
（16）（本小题13分）
已知函数 .
（Ⅰ）求 的最小正周期；
（Ⅱ）若 在区间 上的最大值为 ，求 的最小值.（17）（本小题13分）
电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；学科*网
（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表
格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加 0.1，哪类电影的好评率减少
0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）
（18）（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F
分别为AD，PB的中点.
（Ⅰ）求证：PE⊥BC；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD.
（19）（本小题13分）
设函数 .
（Ⅰ）若曲线 在点 处的切线斜率为0，求a；
（Ⅱ）若 在 处取得极小值，求a的取值范围.
（20）（本小题14分）
已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 .斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.
（Ⅰ）求椭圆M的方程；学.科网
（Ⅱ）若 ，求 的最大值；
（Ⅲ）设 ，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若
C,D和点 共线，求k.
参考答案
1．A 2．D 3．B 4．B 5．D 6．C 7．C 8．D9． 10．
11． （答案不唯一） 12．4
13．3 14．
15．（共13分）
解：（I）设等差数列 的公差为 ，
∵ ，
∴ ，
又 ，∴ .
∴ .
（II）由（I）知 ，
∵ ，
∴ 是以2为首项，2为公比的等比数列.
∴
.
∴ .
16.（共13分）
【解析】（Ⅰ） ，
所以 的最小正周期为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 .因为 ，所以 .
要使得 在 上的最大值为 ，即 在 上的最大值为1.
所以 ，即 .
所以 的最小值为 .
17.（共13分）
（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000.
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50，
故所求概率为 .
（Ⅱ）方法一：由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1
=56+10+45+50+160+51
=372.
故所求概率估计为 .
方法二：设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B.
没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628部.
由古典概型概率公式得 .
（Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率.
18.（共14分）
【解析】（Ⅰ）∵ ，且 为 的中点，∴ .
∵底面 为矩形，∴ ，
∴ .
（Ⅱ）∵底面 为矩形，∴ .
∵平面 平面 ，∴ 平面 .
∴ .又 ,学科.网
∵ 平面 ，∴平面 平面 .
（Ⅲ）如图，取 中点 ，连接 .∵ 分别为 和 的中点，∴ ，且 .
∵四边形 为矩形，且 为 的中点，
∴ ，
∴ ，且 ，∴四边形 为平行四边形，
∴ .
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
19. （13分）
解：（Ⅰ）因为 ，
所以 .
，
由题设知 ，即 ，解得 .
（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得 .
若a>1，则当 时， ；
当 时， .
所以 在x=1处取得极小值.
若 ，则当 时， ，所以 .
所以1不是 的极小值点.
综上可知，a的取值范围是 .
方法二： .
（1）当a=0时，令 得x=1.
随x的变化情况如下表：
x 1
+ 0 −
↗ 极大值 ↘
∴ 在x=1处取得极大值，不合题意.
（2）当a>0时，令 得 .
①当 ，即a=1时， ，
∴ 在 上单调递增，
∴ 无极值，不合题意.
②当 ，即01时， 随x的变化情况如下表：x
+ 0 − 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴ 在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.
（3）当a<0时，令 得 .
随x的变化情况如下表：
x
− 0 + 0 −
↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
∴ 在x=1处取得极大值，不合题意.
综上所述，a的取值范围为 .
20．（共14分）
【解析】（Ⅰ）由题意得 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 ．
（Ⅱ）设直线 的方程为 ，
由 消去 可得 ，
则 ，即 ，设 ， ，则 ， ，
则 ，
易得当 时， ，故 的最大值为 ．
（Ⅲ）设 ， ， ， ，
则 ①， ②，
又 ，所以可设 ，直线 的方程为 ，
由 消去 可得 ，
则 ，即 ，
又 ，代入①式可得 ，所以 ，
所以 ，同理可得 ．
故 ， ，
因为 三点共线，所以 ，
将点 的坐标代入化简可得 ，即 ．
