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2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ卷）
文科数学
一、选择题
1．已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B等于( )
A．{－1,0,1} B．{0,1}
C．{－1,1} D．{0,1,2}
2．若z(1＋i)＝2i，则z等于( )
A．－1－i B．－1＋i
3．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )
A. B. C. D.
4．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古
典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100位学生，
其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80
位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有 60位，则该校阅读过《西游记》的
学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
5．函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]上的零点个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
6．已知各项均为正数的等比数列{a}的前4项和为15，且a＝3a＋4a，则a 等于( )
n 5 3 1 3
A．16 B．8 C．4 D．2
7．已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
8.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是
线段ED的中点，则( )
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线9．执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于( )
A．2－ B．2－
C．2－ D．2－
10．已知F是双曲线C： － ＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|
OF|，则△OPF的面积为( )
A. B. C. D.
11．记不等式组 表示的平面区域为D.命题p：∃(x，y)∈D,2x＋y≥9；命题q：
∀(x，y)∈D,2x＋y≤12.下面给出了四个命题：
①p∨q；②(綈p)∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∧(綈q)．
这四个命题中，所有真命题的编号是( )
A．①③ B．①② C．②③ D．③④
12．设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( )
A．f >f ( ) >f ( )
B．f >f ( )>f ( )
C．f ( )>f ( )>f
D．f ( )>f ( )>f
二、填空题
13．已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝________.14．记S 为等差数列{a}的前n项和．若a＝5，a＝13，则S ＝________.
n n 3 7 10
15．设F ，F 为椭圆C： ＋ ＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF F
1 2 1 2
为等腰三角形，则M的坐标为________．
16.学生到工厂劳动实践，利用 3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体 ABCD－
ABC D 挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H
1 1 1 1
分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA ＝4 cm,3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考
1
虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.
三、解答题
17．为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200只小鼠随机分
成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．
每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残
留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值
为0.70.
(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．
18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin ＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．19．图①是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE
＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图②.
(1)证明：图②中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
(2)求图②中的四边形ACGD的面积．
20．已知函数f(x)＝2x3－ax2＋2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当0
