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绝密★启用前
2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合 ，则
A． B． C． D．
2．若 ，则z=
A． B． C． D．
3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古
典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其
中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有 90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80
位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有 60位，则该校阅读过《西游
记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
4．（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A．12 B．16 C．20 D．24
5．已知各项均为正数的等比数列{a}的前4项为和为15，且a=3a+4a，则a=
n 5 3 1 3
A． 16 B． 8 C．4 D． 2
6．已知曲线 在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则A． B．a=e，b=1 C． D． ，
7．函数 在 的图象大致为
A． B．
C． D．
8．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M
是线段ED的中点，则
A．BM=EN，且直线BM、EN 是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN 是相交直线C．BM=EN，且直线BM、EN 是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN 是异面直线
9．执行下边的程序框图，如果输入的 为0.01，则输出 的值等于
A. B. C. D.
10．双曲线C： =1的右焦点为F，点P在C的一条渐进线上，O为坐标原点，若
，则△PFO的面积为
A． B． C． D．
11．设 是定义域为R的偶函数，且在 单调递减，则
A． （log ）＞ （ ）＞ （ ）
3
B． （log ）＞ （ ）＞ （ ）
3C． （ ）＞ （ ）＞ （log ）
3
D． （ ）＞ （ ）＞ （log ）
3
12．设函数 =sin（ ）( ＞0)，已知 在 有且仅有5个零点，下述
四个结论：
① 在（ ）有且仅有3个极大值点
② 在（ ）有且仅有2个极小值点
③ 在（ ）单调递增
④ 的取值范围是[ )
其中所有正确结论的编号是
A． ①④ B． ②③ C． ①②③ D． ①③④
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知a，b为单位向量，且a·b=0，若 ，则 ___________.
14．记S 为等差数列{a}的前n项和， ，则 ___________.
n n
15．设 为椭圆C: 的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M的坐标为___________.
16．学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体
挖去四棱锥O—EFGH后所得几何体，其中O为长方体的中心，
E，F，G，H分别为所在棱的中点， ，3D打印所用原料
密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200只小鼠随机分
成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶
液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法
测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的
估计值为0.70．
（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值
为代表）．
18．（12分）
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 ．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．
19．（12分）
图 1 是由矩形 ADEB、Rt ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB=1，
BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿△AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2中的二面角B-CG-A的大小.
20．（12分）
已知函数 .（1）讨论 的单调性；
（2）是否存在 ，使得 在区间 的最小值为 且最大值为1？若存在，求
出 的所有值；若不存在，说明理由.
21．已知曲线C：y= ，D为直线y= 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为
A，B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0， )为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形
ADBE的面积.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
如图，在极坐标系 Ox中， ， ， ， ，弧 ，
， 所在圆的圆心分别是 ， ， ，曲线 是弧 ，曲线
是弧 ，曲线 是弧 .
（1）分别写出 ， ， 的极坐标方程；
（2）曲线 由 ， ， 构成，若点 在M上，且 ，求P的极坐标.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设 ，且 .
（1）求 的最小值；
（2）若 成立，证明： 或 .
