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专题 11 二次函数的图象与性质
考点 01 二次函数的图象
1．（2025·河南·中考真题）在二次函数 中， 与 的几组对应值如下表所示．
… 0 1 …
… 1 …
(1)求二次函数的表达式．
(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
(3)将二次函数的图象向右平移 个单位长度后，当 时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为
5，请直接写出 的值．
2．（2023·广东·中考真题）如图，抛物线 经过正方形 的三个顶点A，B，C，点B在 轴
上，则 的值为（ ）
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A． B． C． D．
3．（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于 轴对称，当 时， ；当 时，
．若直线 与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数 的范围是（ ）
A． B．
C． D． 或
4．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数 和 的图象大致
如图所示，则函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·辽宁沈阳·中考真题）二次函数 图象的顶点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2023·安徽·中考真题）已知反比例函数 在第一象限内的图象与一次函数 的图象
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如图所示，则函数 的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
考点 02 二次函数的图象与系数
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数 的图象与 轴交于两点 ，
，且 ．下列结论：① ；② ；③ ；④若 和 是关于 的一元
二次方程 的两根，且 ，则 ， ；⑤关于 的不等式
的解集为 ．其中正确结论的个数是（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2025·安徽·中考真题）已知二次函数 的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·四川凉山·中考真题）二次函数 的部分图像如图所示，其对称轴为 ，且图像
经过点 ，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．若 且 ，则
D．若 两点都在抛物线 的图像上，则
4．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线
，则下列结论中：
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① ② （m为任意实数） ③
④若 、 是抛物线上不同的两个点，则 ．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ，与
轴交于点 ，对称轴为直线 ，下列四个结论：① ；② ；③ ；④若
，则 ，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
6．（2024·西藏·中考真题）如图，已知二次函数 的图象与x轴相交于点 ，
，则下列结论正确的个数是（ ）
①
②
③对任意实数m， 均成立
④若点 ， 在抛物线上，则
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2024·湖北·中考真题）抛物线 的顶点为 ，抛物线与 轴的交点位于 轴上方．
以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点 03 二次函数的图象平移
1．（2025·上海·中考真题）将函数 的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为 ．
2．（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线 向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数 （a是常数），下列结论：①将这个函数的
图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当 时，这个函数的图像在函数 图像的
上方；③若 ，则当 时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正
确的是 （填写序号）．
4．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线 向下平移5个单位长度后，经过点 ，则
．
5．（2023·西藏·中考真题）将抛物线 通过平移后，得到抛物线的解析式为 ，
则平移的方向和距离是（ ）
A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
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C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
6．（2023·江苏·中考真题）如图，二次函数 的图像与x轴相交于点 ，其顶点是
C．
(1) _______；
(2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD， ；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线
经过点D，过点 作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；
(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接
PC、QC、PQ．已知 是直角三角形，求点P的坐标．
7．（2023·上海·中考真题）在平面直角坐标系 中，已知直线 与x轴交于点A，y轴交于点
B，点C在线段 上，以点C为顶点的抛物线M： 经过点B．
(1)求点A，B的坐标；
(2)求b，c的值；
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(3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结 ，且 轴，如果点P在x轴上，且新
抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．
考点 0 4 二次函数的顶点、对称轴、单调性问题
1．（2025·山东威海·中考真题）已知点 都在二次函数 的图象上，则
的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广东·中考真题）若点 都在二次函数 的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川甘孜·中考真题）下列关于二次函数 的说法正确的是( )
A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与 轴没有交点
C．当 时， 随 增大而增大 D．图象的顶点坐标是
4．（2023·广东广州·中考真题）已知点 ， 在抛物线 上，且 ，则
．（填“<”或“>”或“=”）
5．（2023·安徽·中考真题）下列函数中， 的值随 值的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与 轴有两
个交点，且这两个交点分别位于 轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．当 时， 的值随 值的增大而增大
C．函数的最小值小于 D．当 时，
7．（2025·福建·中考真题）已知点 在抛物线 上，若 ，则下列判断
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正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线 向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为
（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数 的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是 ，
顶点坐标为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．二次函数图象的对称轴是直线
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C．当 时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
10．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 .
(1)当 时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知 和 是抛物线上的两点.若对于 ， ，都有 ，求 的取值范围.
11．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线 与x轴相交于点 、点 ，与y轴
相交于点C，点D在抛物线上，当 轴时， ．
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考点 0 5 二次函数的最值
1．（2024·青海西宁·中考真题）【感知特例】
（1）如图1，点A， 在直线 上， ， ，垂足分别为A， ，点 在线段 上，且 ，
垂足为 ．
结论：
（请将下列证明过程补充完整）
证明： ， ， ，
，
，
，
，（同角的余角相等）
，（两角分别相等的两个三角形相似）
．（相似三角形的对应边成比例）
即
【建构模型】
（2）如图2，点A， 在直线 上，点 在线段 上，且 ．结论
仍成立吗？请说明理由．
【解决问题】
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（3）如图3，在 中， ， ，点 和点 分别是线段 ， 上的动点，始终满足
．设 长为 ，当 时， 有最大值是 ．
2．（2024·四川攀枝花·中考真题）在平面直角坐标系 中，已知二次函数的表达式为 ．
(1)若 ，且点 在函数的图象上，求此时函数的最小值；
(2)若函数的图象经过点 ，当自变量x的值满足 时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
(3)若函数的图象的对称轴为 ，点 在函数的图象上，且总有 ，求m的取值
范围．
3．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数 ，当 时，函数取得最大值；
当 时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川眉山·中考真题）定义运算： ，例如 ，则函数
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·山东威海·中考真题）已知抛物线 与x轴交点的坐标分别为 ， ，
且 ．
(1)若抛物线 与x轴交点的坐标分别为 ， ，且 ．试判断下列每组
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数据的大小（填写 、 或 ）：
________ ； ________ ； ________ ．
① ② ③
(2)若 ， ，求b的取值范围；
(3)当 时， 最大值与最小值的差为 ，求b的值．
6．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知点 在函数 的图象上， ，设 ，
当 且 时，则下列结论正确的是（ ）．
A．m有最大值，也有最小值 B．m有最小值，但没有最大值
C．m有最大值，但没有最小值 D．m没有最小值，也没有最大值
7．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数 （ 为常数）的图像经过
点 ，其对称轴在 轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值
8．（2023·辽宁大连·中考真题）已知抛物线 ，则当 时，函数的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．2
考点 0 6 二次函数与方程
1．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 与相交于点 ， ，点
的坐标为 ，若点 在抛物线上，则 的长为 ．
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2．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线 与y轴的交点坐标是 ．
3．（2025·四川宜宾·中考真题）如图， 是坐标原点，已知二次函数 的图象与 轴交
于 两点，与 轴交于 点，顶点为 ，对称轴为直线 ，其中 ，且 ．
以下结论：① ；② ；③ 是钝角三角形；④若方程 的两根为 、
，则 ， ．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于 轴对称，当 时， ；当 时，
．若直线 与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数 的范围是（ ）
A． B．
C． D． 或
5．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向下
平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ．
6．（2024·宁夏·中考真题）若二次函数 的图象与 轴有交点，则 的取值范围是 ．
7．（2024·四川雅安·中考真题）已知一元二次方程 有两实根 ， ，且 ，
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则下列结论中正确的有（ ）
① ；②抛物线 的顶点坐标为 ；
③ ；④若 ，则 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，二次函数 与 轴交于点 、 ，与 轴
交于点 ，其中 ．则下列结论：
① ；②方程 没有实数根；③ ； ④ ．
其中错误的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2023·四川成都·中考真题）如图，二次函数 的图象与x轴交于 ， 两点，下列
说法正确的是（ ）
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A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为
C． ， 两点之间的距离为 D．当 时， 的值随 值的增大而增大
考点 0 7 二次函数与不等式
1．（2023·浙江衢州·中考真题）已知二次函数 （a是常数， ）的图象上有 和
两点．若点 ， 都在直线 的上方，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·四川德阳·中考真题）已知抛物线 （a，b，c是常数， ）过点 ，
且 ，该抛物线与直线 （k，c是常数， ）相交于 两点（点A在点
B左侧）．下列说法：① ；② ；③点 是点A关于直线 的对称点，则 ；
④当 时，不等式 的解集为 ．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点 ，其中
，下列四个结论：① ；② ；③ ；④不等式 的解
集为 ．其中正确结论的个数是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数 图象经过点 和 ．
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当 时，请根据图象直接写出x的取值范围．
5．（2023·四川眉山·中考真题）如图，二次函数 的图象与x轴的一个交点坐标为
，对称轴为直线 ，下列四个结论：① ；② ；③ ；④当
时， ；其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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