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专题 12 二次函数的实际应用
考点 01 图形问题
1．（2025·内蒙古·中考真题）问题背景：
综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示．
外形参数：
如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线 ，中间的矩形 和下方的抛物线 组成．
抛物线 的高度为 ，矩形 的边 ， ，抛物线 的高度为 ．在装置内部安
装矩形电子显示屏 ，点 ， 在抛物线 上，点 ， 在抛物线 上．
问题解决：
如图2，该小组以矩形 的顶点 为原点，以 边所在的直线为 轴，以 边所在的直线为 轴．
建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：
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(1)直接写出 ， ， 三点的坐标；
(2)直接写出抛物线 和 的顶点坐标，并分别求出抛物线 和 的函数表达式；
(3)为满足矩形电子显示屏 的空间要求，需要 边的长为 ，求此时 边的长．
2．（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边 长 ，面积为 ．
(1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大；
(2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积 与
的长 之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值．
3．（2025·广西·中考真题）综合与实践
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树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面
上的投影是一个平行四边形（如图1）
初始时，矩形义卖区 与遮阳伞投影 的平面图如图2所示， 在 上， ，
， ， ， ，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在
移动过程中， 也随之移动（ 始终在 边所在直线 上），且形状大小保持不变，但落在义卖
区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为 移动到 落在 上的情形．
【问题提出】
西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时 的位置．
设遮阳区的面积为 ， 从初始时向右移动的距离为 ．
【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中， 随 的增大如何变化？
【初步探究】（2）求图3情形的 与 的值；
【深入研究】（3）从图3情形起右移至 与 重合，求该过程中 关于 的解析式；
【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时， 向右移动了多少？（直接写出结果）
4．（2024·湖北·中考真题）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验
田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与
墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位： )．
(1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)；
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(2)矩形实验田的面积S能达到 吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
(3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？
5．（2024·山东潍坊·中考真题）【问题提出】
在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为 的正方
形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适
的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为 的圆面．喷洒覆盖率 ， 为待喷洒区域面积，
为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
【探索发现】
（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为 的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率
______．
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（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为 的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半
径均为3m的自动喷洒装置； ，以此类推，如图5，设计安装 个喷洒半径均为 的自动喷洒装置．
与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并
给出理由．
（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率
．已知正方形 各边上依次取点F，G，H，E，使得 ，设 ，
的面积为 ，求 关于 的函数表达式，并求当 取得最小值时 的值．
【问题解决】
（4）该公司现有喷洒半径为 的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷
洒覆盖率 ？（直接写出结果即可）
6．（2023·山东潍坊·中考真题）工匠师傅准备从六边形的铁皮 中，裁出一块矩形铁皮制作工件，
如图所示．经测量， ， 与 之间的距离为2米， 米， 米， ，
． ， ， 是工匠师傅画出的裁剪虚线．当 的长度为多少时，矩形铁皮
的面积最大，最大面积是多少？
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考点 02 拱桥问题
1．（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，
能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若
隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内
并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两
辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．
2．（2025·陕西·中考真题）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部 ，左、右门洞 ， 均
呈抛物线型，水平横梁 ， 的最高点 到 的距离 ， ， 关于 所在直线对称．
， ， 为框架，点 ， 在 上，点 ， 分别在 ， 上， ， ，
．以 为原点，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系．
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(1)求抛物线 的函数表达式；
(2)已知抛物线 的函数表达式为 ， ，求 的长．
3．（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索 与缆索 均呈抛物线型，
桥塔 与桥塔 均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线 为x轴，以桥塔 所在直线为y
轴，建立平面直角坐标系．
已知：缆索 所在抛物线与缆索 所在抛物线关于y轴对称，桥塔 与桥塔 之间的距离 ，
，缆索 的最低点P到 的距离 （桥塔的粗细忽略不计）
(1)求缆索 所在抛物线的函数表达式；
(2)点E在缆索 上， ，且 ， ，求 的长．
4．（2023·贵州·中考真题）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一
建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在 处，对称轴 与水平线
垂直， ，点 在抛物线上，且点 到对称轴的距离 ，点 在抛物线上，点 到对称轴的
距离是1．
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(1)求抛物线的表达式；
(2)如图②，为更加稳固，小星想在 上找一点 ，加装拉杆 ，同时使拉杆的长度之和最短，请你
帮小星找到点 的位置并求出坐标；
(3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为 ，当 时，函数
的值总大于等于9．求 的取值范围．
考点 03 销售问题
1．（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影
票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费
14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
(1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
(2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400
个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
(3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5
个．设每个A款纪念品售价 元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W
关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
2．（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有
我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题．
材料 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车
一 多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同．
A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆．
材料
二
优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用 元/辆；
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租用B型客车，租车费用打八折．
租车公司最多提供8辆A型客车；
材料
三
学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆．
(1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？
(2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？
3．（2024·山东青岛·中考真题）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃
的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：
A樱桃园
第x天的单价、销售量与x的关系如下
表：
B樱桃园
单价 销售量
（元/盒） （盒） 第x天的利润 （元）与x的关系可以近似地用二次函数
刻画，其图象如图：
第1天 50 20
第2天 48 30
第3天 46 40
第4天 44 50
… … …
第x天 10x+10
第x天的单价与x近似地满足一次函数关
系，已知每天的固定成本为745元．
(1)A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示）；
(2)求A樱桃园第x天的利润 （元）与x的函数关系式；（利润 单价 销售量 固定成本）
(3)① 与x的函数关系式是______；
②求第几天两处樱桃园的利润之和（即 ）最大，最大是多少元？
(4)这15天中，共有______天B樱桃园的利润 比A樱桃园的利润 大．
4．（2024·黑龙江大庆·中考真题）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．
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某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的 天中，第 天 且 为整数)的售价为 (元
千克)．当 时， ；当 时， ．销量 (千克)与 的函数关系式为 ，
已知该产品第 天的售价为 元 千克，第 天的售价为 元 千克，设第 天的销售额为 (元)．
(1) ， _____；
(2)写出第 天的销售额 与 之间的函数关系式；
(3)求在试销售的 天中，共有多少天销售额超过 元？
5．（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价
不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．
1
销售单价x/元 … 12 14 16 20 …
8
4
销售量y/盒 … 56 52 48 40 …
4
(1)求y与x的函数表达式；
(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日
销售获得的最大利润为392元，求m的值．
6．（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务．
制定加工方案
◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式．
背景 ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，
1 或“正”服装1件．
◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.
生产背
景 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：
①“风”服装：24元/件；
背景
②“正”服装：48元/件；
2
③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均
每件获利将减少2元．
现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下：
信息整理
每人每天加工量
服装种类 加工人数（人） 平均每件获利（元）
（件）
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风 y 2 24
雅 x 1
正 1 48
任务
探寻变量关系 求x、y之间的数量关系．
1
探究任 任务
建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
务 2
任务
拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案．
3
7．（2023·湖北黄石·中考真题）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该
设备的生产成本为 万元/件．设第 个生产周期设备的售价为 万元/件，售价 与 之间的函数解析式是
，其中 是正整数．当 时， ；当 时， ．
(1)求 ， 的值；
(2)设第 个生产周期生产并销售完设备的数量为 件，且y与x满足关系式 ．
当 时，工厂第几个生产周期获得的利润最大?最大的利润是多少万元?
当 时，若有且只有 个生产周期的利润不小于 万元，求实数 的取值范围．
考点 0 4 投球问题
1．（2025·贵州·中考真题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在
空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空
中飞行的高度y与水平距离 之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点 ，运动路径近似为抛
物线 ，且 ，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点 ，运动路径近似为抛物线
，且 ．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素
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忽略不计）
(1)如图②，当 时，若点 坐标为 ，求抛物线 的表达式；
(2)在（1）的条件下，若 ，在水面上有一个截面宽 ，高 的矩形 的障碍物，点
的坐标为 ，判断此时石块沿抛物线 运动时是否能越过障碍物？请说明理由；
(3)小星在抛掷石块时，若 的顶点需在一个正方形 区域内（包括边界），且点 在 和 之
间（包括这两点），其中 ，求 的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线
在同一平面内）
2．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中
是铅球离初始位置的水平距离， 是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度 为 ，则铅
球掷出的水平距离 为 ．
3．（2024·甘肃兰州·中考真题）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某
型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学
们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火
箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面 的竖直高度 与离发射点O的水平
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距离 的几组关系数据如下：
水平距
0 3 4 10 15 20 22 27
离
竖直高
0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24
度
(1)根据上表，请确定抛物线的表达式；
(2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为 时，水火箭距离地面的竖直高度．
4．（2024·青海·中考真题）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡 ，从点O处抛出一个小球，落
到点 处．小球在空中所经过的路线是抛物线 的一部分．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线最高点的坐标；
(3)斜坡上点B处有一棵树，点B是 的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度．
5．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 （单位： ）与小球的运动时间
（单位： ）之间的关系式是 ．有下列结论：
小球从抛出到落地需要 ；
①
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小球运动中的高度可以是 ；
②
小球运动 时的高度小于运动 时的高度．
③
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数
刻画，斜坡可以用一次函数 刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高
度y（米）的变化规律如下表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
(1)① ______， ______；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
(2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系 ．
①小球飞行的最大高度为______米；
②求v的值．
7．（2023·浙江·中考真题）根据以下素材，探究完成任务．
如何把实心球掷得更远？
素材1
小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离
地面 ，当球到OA的水平距离为 时，达到最大高度为 ．
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素材2
根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方 处（如图）架起距离地面高为 的横线．球从点
A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离 ．
问题解决
任务1
计算投掷距离 建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离 ．
任务2
探求高度变化 求素材2和素材1中球的最大高度的变化量
任务3
提出训练建议 为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议．
8．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五
个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示
意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度 为 的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球
台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为 （单位： ），乒乓球运行的水平距离记为 （单位： ）．测得如下
数据：
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水平距离x/
竖直高度y/
(1)在平面直角坐标系 中，描出表格中各组数值所对应的点 ，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的
大致图象；
(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________ ，当乒乓球落在对面球台上时，到起始
点的水平距离是__________ ；
②求满足条件的抛物线解析式；
(3)技术分析：如果只上下调整击球高度 ，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，
又能落在对面球台上，需要计算出 的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长 为
274 ，球网高 为15.25 ．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度 的值约为1.27 ．请你
计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度 的值（乒乓球大小忽略不计）．
考点 0 5 喷水问题
1．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置 ，喷头M
向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度
y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是 ，则水流喷出的最大高度是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山东滨州·中考真题）如图，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端
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安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 处达到最高，高度为3米，水柱落地
处离池中心3米，水管长 米．
3．（2023·山东·中考真题）城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一
侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置 的高度是2米，
水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时
距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防
水罩的一端固定在喷水装置上的点 处，另一端与路面的垂直高度 为1.8米，且与喷泉水流的水平距
离 为0.3米．点 到水池外壁的水平距离 米，求步行通道的宽 ．（结果精确到0.1米）参
考数据：
4．（2023·吉林长春·中考真题） 年5月8日， 商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正
式起步． 时 分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高
级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近
似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为 米时，两条水柱
在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面 米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后
退 米，两条水柱的形状及喷水口 、 到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点 距地面
米．
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