文档内容
2021 年普通高等学校招生全国统一考试
（全国甲卷）
文科数学
一、选择题
1.设集合 ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
依题意可知 ，所以 .
2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的
调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论不正确的是（
）A.该地农户家庭年收入低于 万元的农户比率估计为
B.该地农户家庭年收入不低于 万元的农户比率估计为
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 万元
D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 万元至 万元之间
答案：
C
解析：
A.低于 万元的比率估计为 ，正确.
B.不低于 万元的比率估计为 ，正确.
C.平均值为
万元，不正确.
D. 万到 万的比率为 ，正确.
3.已知 ，则 （ ）
A.B.
C.
D.
答案：
B
解析：
.
4.下列函数中是增函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
∵ ， ，在 上单调递减， 在 上单调递减，故A，
B，C错误； 在 上单调递增，故D正确.
5.点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
双曲线 的渐近线为 ，则点 到双曲线 的一条渐近线
的距离为 .
6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和
小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 和小数记录法的数据 满足 .
已知某同学视力的五分记录法的数据为 ，则其视力的小数记录法的数据约为（
）（ ）
A.
B.
C.D.
答案：
C
解析：
代入 ，知 ，故 .
7.在一个正方体中，过顶点 的三条棱的中点分别为 ， ， ，该正方体截去三棱锥
后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）
A.
B.C.
D.
答案：
D
解析：
由题可得直观图，如下图.故选D.
8.在 中，已知 ， ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
由余弦定理可得 ，解得
.
9.记 为等比数列 的前 项和.若 ， ，则 （ ）A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
由等比数列的性质可知：
成等比数列，即 成等比数列，所以
，即 ，故选A.
10.将 个 和 个 随机排成一行，则 个 不相邻的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
求出所有的排列数，先将 个 排成一排，有 个空位，当每个空位排一个 ，即从 个空
位中选 个，有 种排法，此时 个 不相邻；当两个 相邻时，即从 个空位中选出一
个来排两个 ，有 种选法，从而总的排法数有 个，再根据古典概型概率公式可得概率
，故选C.
11.若 ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.答案：
A
解析：
.
∴
∴
∴ .
又∵ .如图， .
12.设 是定义域为 的奇函数，且 .若 ，则 （
）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：∵ 是定义在 上的奇函数，
∴ ，
∴
∴ 周期为 的周期函数.
∴ .
二、填空题
13.若向量 满足 ， ， ，则 .
答案：
解析：
，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ .
14.已知一个圆锥的底面半径为 ，其体积为 ，则该圆锥的侧面积为
.
答案：
解析：
圆 锥 底 面 半 径 ， 体 积 ， 则 圆 锥 的 高 ， 则 母 线 长
，则圆锥的侧面积 .
15.已知函数 的部分图像如图所示，则 .答案：
解析：
由图可知 ，由
，
所以 .
16.已知 ， 为椭圆 的两个焦点， ， 为 上关于坐标原点对称的两
点，且 ，则四边形 的面积为 .
答案：
解析：
答案：
解析：
如图，由 及椭圆对称性可知，四边形 为矩形.
设 ， ，则 ， 得 .所以，四边形面积为 .
三、解答题
17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产
品的质量，分別用两台机床各生产了 件产品，产品的质量情况统计如下表：
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附： ，
答案：
见解析
解析：
（1）由表格数据得：
甲机床生产的产品中一级品的频率为 ；乙机床生产的产品中一级品的频率为 ；
（2）由题意 .
所以有 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.
18.记 为数列 的前 项和，已知 ， ，且数列 是等差数列，证
明： 是等差数列.
答案：
见解析
解析：
∵ 为等差数列，设公差为 .∴ ，即 .
∴ ，∴ .
∴ ，∴ ，
即 ，又 同样满足通项公式，所以 是等差数列.
19．已知直三棱柱ABC−A B C 中，侧面A A B B为正方形．AB＝BC＝2，E，F
1 1 1 1 1
分别为AC和CC 的中点，BF⊥A B ．
1 1 1
(1)求三棱锥F－EBC的体积；
(2)已知D为棱A B 上的点，证明：BF⊥DE．
1 1答案：
见解析；
解析；
（1） ，则 .
又 则 .
, .
（2）连 ，取 中点 连 ， ，
由 为 ， 的中点，则 ，
又 ， ，则 共面，故 面 .
又在侧面 中 ，则
又 ，则 .
20.设函数 ，其中 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 的图象与 轴没有公共点，求 的取值范围.
答案：
见解析解析：
（1）
∵ ， ，∴ ，∴当 时 函数单调递减，
当 时， ，函数单调递增.
∴ 在 上递减，在 上递增，
（2）当 时 ，结合函数单调性可知若 与 无交点时
即 .
化简可得 即 .所以参数 的取值范围为
21.抛物线 的顶点为坐标原点 ，焦点在 轴上，直线 交 于 ， 两点，且
，已知点 ，且 与 相切.
（1）求 ， 的方程；
（2）设 ， ， 是 上的三个点，直线 ， 均与 相切，判断直线
与 的位置关系，并说明理由.
答案：
见解析
解析：
（1） ， .
（2）设 ， ， .
，所以①.
，所以
②.
所以 ， 是方程 的两根.
又 ，所以
.
所以 ，即直线 与 相切.
22.在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为 .
（1）将 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点 的直角坐标为 ， 为 上的动点，点 满足 ，写出 的
轨迹 的参数方程，并判断 与 是否有公共点.
答案：
见解析
解析：
（1） .（2）设 ， ，由
.
又 在 上，所以
.
为 为圆心，半径为 的圆，所以
则
所以，两圆为内含关系，所以，圆 与圆 无公共点.
23.已知函数 ， .
（1）画出 和 的图象；
（2）若 ，求 的取值范围.答案：
见解析；
解析：
（1） ；
（2）当 时，恒不满足，此时 ；当 时， 恒成立，必有
.
当 时，
时， ， ，所以 .
时 ， ， ， 令
，所以 .
时， ， .
，所以 .
所以， .
