文档内容
2021 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）
数学（理）
一、选择题
1.设 ，则 ( ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
设 ，则 ， ，所以 ， ，
所以 .
2.已知集合 ， ，则 ( )
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
， ；
当 ， 时， ；当 ， 时，
.所以 ， .故选C.
3.已知命题 ﹐ ；命题 ，则下列命题中为真命题的是（
）
A.B.
C.
D.
答案：
A
解析：
根据正弦函数的值域 ，故 ， ， 为真命题，而函数
为偶函数，且 时， ，故 ， 恒成立.，则 也
为真命题，所以 为真，选A.
4.设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
2
， 向右平移一个单位，向上平移一个单位得到g(x) 为奇
x
函数.
5.在正方体 中， 为 的中点，则直线 与 所成的角为（
）
A.
B.
C.
D.答案：
D
解析：
如图， 为直线 与 所成角的平面角.
易知 为正三角形，又 为 中点，所以 .
6.将 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑､冰球和冰壶 个项目进行培训，每
名志愿者只分配到 个项目，每个项目至少分配 名志愿者，则不同的分配方案共有（
）
A. 种
B. 种
C. 种
D. 种
答案：
C
解析：
所求分配方案数为 .
7.把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲
线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 （ ）
A.
B.C.
D.
答案：
B
解析：
逆向： .
故选B.
8.在区间 与 中各随机取 个数，则两数之和大于 的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
由题意记 ， ，题目即求 的概率，绘图如下所示.
故 .9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作.其中第一题是测量海岛的高.
如图，点 在水平线 上， 和 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的
高度，称为“表高”， 称为“表距”， 和 都称为“表目距”. 与 的
差称为“表目距的差”，则海岛的高 （ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
连接 交 于 ，则 .
记 ， ，则 .而 ， .所以
.
故 ，所以高 .
10.设 ，若 为函数 的极大值点，则
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
若 ，其图像如图（1），此时， ；若 ，时图像如图（2），此时，
.
综上， .11.设 是椭圆 ： 的上顶点，若 上的任意一点 都满足，
，则 的离心率的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
由题意，点 ，设 ，则 ，故
，
.
由 题 意 ， 当 时 ， 最 大 ， 则 ， ， ，， .
12.设 ， ， ，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析:
设 ，则 ，易得
.
当 时， ，故 .
所以 在 上单调递减，所以 ，故 .
再设 ，则 ，易得
.
当 时， ，所以 在 上 .
故 在 上单调递增，所以 ，故 .
综上， .
二、填空题
13.已知双曲线 ： 的一条渐近线为 ，则 的焦距为
.
答案：解析：
易知双曲线渐近线方程为 ，由题意得 ， ，且一条渐近线方程为
，则有 （舍去）， ，故焦距为 .
14.已知向量 ， ，若 ，则 .
答案：
解析：
由题意得 ，即 ，解得 .
15.记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，面积为 ， ，
，则 .
答案：
解析：
，所以 ，
由余弦定理， ，所以 .
16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的
三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.
答案：②⑤或③④
解析：
由高度可知，侧视图只能为②或③.
侧视图为②，如图（1），平面 平面 ， ， ，
，俯视图为⑤.
俯视图为③，如图（2）， 平面 ， ， ， ，俯视
图为④.
三、解答题
17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用
一台旧设备和一台新设备各生产了 件产品，得到产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ， 样本方差分别
己为 和 .（1）求 ， ， ， ：
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高 ( 如果
，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高 ， 否
则不认为有显著提高 ) 。
答案：
见解析
解析：
（1）各项所求值如下所示.
，
，
，
.
（2）由（1）中数据得 .显然 .所以不认
为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。
18.如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ， 为
,的中点，且 .
（1）求 ；
（2）求二面角 的正弦值.
答案：
见解析
解析：
（1）因为 平面 ，且矩形 中， .所以以 ， ，
分别为 ， ， 轴正方向， 为原点建立空间直角坐标系 .设 ，
， ， ， ，所以 ，
因为 ，所以 所以 ，所以 .
(2) 设 平 面 的 一 个 法 向 量 为 ， 由 于 ， 则.令 ，的 .设平面 的一个法向量为
， 则 . 令 ， 的 . 所 以
，所以二面角 的正弦值为 .
19.记 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积，已知 .
（1）证明：数列 是等差数列；
（2）求 的通项公式.
答案：
见解析
解析：
（1）由已知 ，则 ，
， ，
故 是以 为首项， 为公差的等差数列.
（2）由（1）知 ，则 ，
时， ， 时， ，故 .
20.设函数 ，已知 是函数 的极值点.
（1）求 ；
（2）设函数 ，证明： .
答案：
见解析
解析：
（1）令
则 .
∵ 是函数 的极值点.
∴ .
解得： ；
（2）由（1）可知：
，
要证 ，即证 （ 且 ）
.
∵当 时， .
当 时， .∴只需证明
令 ，且易知 .
则
（i）当 时，易得 ，则 在 上单调递减，
∵ ，∴ ，得证.
（ii）当 时，易得 ，则 在 上单调递增.
∵ ，∴ ，得证.
综上证得 .
21.已知抛物线 ： 的焦点为 ，且 与圆 ： 上点
的距离的最小值为 .
（1）求 ；
（2）若点 在 上， ， 是 的两条切线， ， 是切点，求 面积的
最大值.
答案：
见解析
解析：
（1）焦点 到 的最短距离为 ，所以 .
（2）抛物线 ，设 ， ， ，得
： ，
： ，且 ，， 都过点 ，则 ，
故 ： ，即 ，
联立 ，得 ， ，
所以 ，
，所以
.
而 ，故当 时， 达到最大，最大值为 .
22.在直角坐标系 中， 的圆心为 ，半径为 .
（1）写出 的一个参数方程;
（2）过点 作 的两条切线.以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立坐标系，
求这两条切线的极坐标方程.
答案：
见解析
解析：
（1） 的参数方程为 （ 为参数）
（2） 的方程为
①当直线斜率不存在时，直线方程为 ，此时圆心到直线距离为 ，舍去；②当直线斜率存在时，设直线方程为 ，化简为 ，
此时圆心 到直线的距离为 ，
化简得 ，
两边平方有 ，所以 .
代入直线方程并化简得 或 化为极坐标方程为
或 .
23.已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求 的取值范围.
答案：
见解析
解析：
当 时， ，
当 时，不等式 ，解得 ；
当 时，不等式 ，解得 ；
当 时，不等式 ，解得 .
综上，原不等式的解集为 .
（2）若 ，即 ，
因为 （当且仅当 时，等号成立），所以 ，所以 ，即 或 ，解得
.
