文档内容
2025 年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷
（考试时间120分钟，满分150分）
一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.考生应在答
题纸的相应位置直接填写结果）
1. 已知全集 ，集合 ，则 _________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据补集的含义即可得到答案.
【详解】根据补集的含义知 .
故答案为： .
2. 不等式 的解集为_________．
【答案】
【解析】
【分析】转化为一元二次不等式 ，解出即可.
【详解】原不等式转化为 ，解得 ，
则其解集为 .
故答案为： .
3. 己知等差数列 的首项 ，公差 ，则该数列的前6项和为_________．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据等差数列求和公式求解.
【详解】根据等差数列的求和公式， .故答案为：
4. 在二项式 的展开式中， 的系数为_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用通项公式求解可得.
【详解】由通项公式 ，
令 ，得 ，
可得 项的系数为 .
故答案为： .
5. 函数 在 上的值域为_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦函数的单调性可得.
【详解】由函数 在 上单调递增，在 单调递减，
且 ，
故函数 在 上的值域为 .
故答案为： .
6. 已知随机变量X的分布为 ，则期望 _________．
【答案】
【解析】【分析】根据分布列结合期望公式可求期望.
【详解】由题设有 .
故答案为： .
7. 如图，在正四棱柱 中， ，则该正四棱柱的体积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】求出侧棱长和底面边长后可求体积.
【详解】因为 且四边形 为正方形，故 ，
而 ，故 ，故 ，
故所求体积为 ，
故答案为： .
8. 设 ，则 的最小值为_________．
【答案】4
【解析】
【分析】灵活利用“1”将 展开利用基本不等式计算即可.
【详解】易知 ，
当且仅当 ，即 时取得最小值.故答案为：4
9. 4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个
数有_________种．
【答案】288
【解析】
【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可.
【详解】先选两位家长排在首尾有 种排法；再排对中的四人有 种排法，
故有 种排法.
故答案为：288
10. 已知复数z满足 ，则 的最小值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】先设 ，利用复数的乘方运算及概念确定 ，再根据复数的几何意义数形结合计算
即可.
【详解】设 ，
由题意可知 ，则 ，
又 ，由复数的几何意义知 在复平面内对应的点 在单位圆内部（含边界）的坐
标轴上运动，如图所示即线段 上运动，
设 ，则 ，由图象可知 ，
所以 .
故答案为：11. 小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于
水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：
其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜
面的底角 _________．（结果用角度制表示，精确到 ）
【答案】
【解析】
【分析】先根据在 处的旗杆算出阳光和水平面的夹角，然后结合 处的旗杆算出斜面角.
【详解】如图，在 处， ，在 处满足 ，
（其中 水平面， 是射过 处杆子最高点的光线，光线交斜面于 ），
故设 ，则 ，
由勾股定理， ，解得 ，
于是
故答案为：12. 已知 ， 是平面内三个不同的单位向量．若
，则 可的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用分段函数值分类讨论，可得 ，再根据数量积关系设
出 坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.
【详解】若 ，则 ，
又三个向量均为平面内的单位向量，故向量 两两垂直，显然不成立；
故 .
不妨设 ，则 ，
不妨设 ， ，
则 ，则 ，
则，
由 ， ，
则 ，
故 .
故答案为： .
二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有
且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.）
13. 己知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为 ，事件B发生的概率为 ，则事件
发生的概率 为（ ）
.
A B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据独立事件的概率公式可求 .
【详解】因为 相互独立，故 ，
故选：B.
14. 设 ．下列各项中，能推出 的一项是（ ）
A. ，且 B. ，且
C. ，且 D. ，且
【答案】D【解析】
【分析】利用指数函数的性质分类讨论 与1的关系即可判定选项.
【详解】∵ ，∴ ，
当 时， 定义域上严格单调递减，
此时若 ，则一定有 成立，故D正确，C错误；
当 时， 定义域上严格单调递增，要满足 ，需 ，即A、B错误.
故选：D
15. 已知 ，C在 上，则 的面积（ ）
A. 有最大值，但没有最小值 B. 没有最大值，但有最小值
C. 既有最大值，也有最小值 D. 既没有最大值，也没有最小值
【答案】A
【解析】
【分析】设出曲线上一点为 ，得出 ，将三角形的高转化成关于 的函数,分析其单调性，
从而求解.
【详解】设曲线上一点为 ，则 ，则 ，
， 方程为： ，即 ，
根据点到直线的距离公式， 到 的距离为： ，
设 ，
由于 ，显然 关于 单调递减， ，无最小值，
即 中， 边上的高有最大值，无最小值，
又 一定，故面积有最大值，无最小值.
故选：A16. 已知数列 、 、 的通项公式分别为 ， 、， .若对
任意的 ， 、 、 的值均能构成三角形，则满足条件的正整数 有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 1个 D. 无数个
【答案】B
【解析】
【分析】由 可知 范围，再由三角形三边关系可得 的不等关系，结合函数零
点解不等式可得.
【详解】由题意 ，不妨设 ，
三点均在第一象限内，由 可知， ，
故点 恒在线段 上，则有 .
即对任意的 ， 恒成立，
令 ，构造函数 ，
则 ，由 单调递增，
又 ，存在 ，使 ，
即当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
故 至多 个零点，
又由 ，
在
可知 存 个零点，不妨设 ，且 .
若 ，即 时，此时 或 .
①则 ，可知 成立，
要使 、 、 的值均能构成三角形，
所以 恒成立，故 ，
所以有 ，解得 ；
若 ，即 时，此时 .
②
则 ，可知 成立，
要使 、 、 的值均能构成三角形，
所以 恒成立，故 ，
所以有 ，解得 或 ；
综上可知，正整数 的个数有 个.
故选：B.
三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.解答下
列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.）
17. 2024年东京奥运会，中国获得了男子 米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子 米混
合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．
.
206.78 207.46 20795 209.34 209.35
210.68 213.73 214.84 216.93 216.93
（1）求这组数据的极差与中位数；
（2）从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；
（3）若比赛成绩y关于年份x的回归方程为 ，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军
队的成绩（精确到0.01秒）．【答案】（1） ； ；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由最长与最短用时可得极差，由中间两数平均数可得中位数；
（2）由古典概型概率公式可得；
（3）先求成绩平均数 ，再由 在回归直线上，代入方程可得 ，再代入年份预测可得.
【小问1详解】
由题意，数据的最大值为 ，最小值为 ，
则极差为 ；
数据中间两数为 与 ，
则中位数为 .
故极差为 ，中位数为 ；
【小问2详解】
由题意，数据共 个， 以上数据共有 个，
故设事件 “恰有 个数据在 以上”，
则 ，
故恰有 个数据在 以上的概率为 ；
【小问3详解】
由题意，成绩的平均数，
由直线 过 ，
则 ，
故回归直线方程为 .
当 时, .
故预测 年冠军队的成绩为 秒.
18. 如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且 ．
（1）若直线PA与圆锥底面的所成角为 ，求圆锥的侧面积；
（2）已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为 ， ．设点M在线段
OC上，证明：直线 平面PBD．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由线面角先算出母线长，然后根据侧面积公式求解.
（2）证明平面 平面 ，然后根据面面平行的性质可得.
【小问1详解】由题知， ，即轴截面 是等边三角形，故 ，
底面周长为 ，则侧面积为： ;
【小问2详解】
由题知 ，则根据中位线性质， ，
又 平面 ， 平面 ，则 平面
由于 ，底面圆半径是 ，则 ，又 ，则 ，
又 ，则 为等边三角形，则 ，
于是 且 ，则四边形 是平行四边形，故 ，
又 平面 ， 平面 ，故 平面 .
又 平面 ，
根据面面平行的判定，于是平面 平面 ，
又 ，则 平面 ，则 平面
19. 已知 ．
（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）若函数 满足在 上存在极大值，求m的取值范围；【答案】（1）
（2） 且 .
【解析】
【分析】（1）先求出 ，从而原不等式即为 ，构建新函数 ，由该函数为
增函数可求不等式的解；
的
（2）求出函数 导数，就 分类讨论后可得参数的取值范围.
【小问1详解】
因为 ，故 ，故 ，故 ，
故 即为 ，
设 ，则 ，故 在 上为增函数，
而 即为 ，故 ，
故原不等式的解为 .
【小问2详解】
在 有极大值即为有极大值点.
，
若 ，则 时， ， 时， ，
故 为 的极小值点，无极大值点，故舍；
若 即 ，则 时， ，
时， ，故 为 的极大值点，符合题设要求；
若 ，则 时， ， 无极值点，舍；
若 即 ，则 时， ，
时， ，
故 为 的极大值点，符合题设要求；
综上， 且 .
20. 已知椭圆 ， ，A是 的右顶点．
（1）若 的焦点 ，求离心率e；
（2）若 ，且 上存在一点P，满足 ，求m；
（3）已知AM的中垂线l的斜率为2，l与 交于C、D两点， 为钝角，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由方程可得 ，再由焦点坐标得 ，从而求出 得离心率；
（2）设点 坐标，由向量关系 坐标化可解得 坐标，代入椭圆方程可得 ；
（3）根据中垂线性质，由斜率与中点坐标得直线 方程，联立直线与椭圆方程，将钝角条件转化为向量不
等式 ，再坐标化利用韦达定理代入化简不等式求解可得 范围.【小问1详解】
由题意知， ，则 ，
由右焦点 ，可知 ，则 ，
故离心率 .
【小问2详解】
由题意 ，
由 得， ，
解得 ，代入 ，
得 ，又 ，解得 .
【小问3详解】
由线段 的中垂线 的斜率为 ，所以直线 的斜率为 ，
则 ，解得 ，
由 得 中点坐标为 ，
故直线 ，显然直线 过椭圆内点 ，故直线与椭圆恒有两不同交点，
设 ，
由 消 得 ，
由韦达定理得 ，
因为 为钝角，则 ，且 ，
则有 ，
所以 ，
即 ，解得 ，
又 ，
故 ，即 的取值范围是 .
21. 已知函数 的定义域为 ．对于正实数a，定义集合 ．
（1）若 ，判断 是否是 中的元素，请说明理由；
（2）若 ，求a的取值范围；（3）若 是偶函数，当 时， ，且对任意 ，均有 ．写出
， 解析式，并证明：对任意实数c，函数 在 上至多有9个零点．
【答案】（1）不是； （2） ；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）直接代入计算 和 即可；
（ 2 ） 法 一 ： 转 化 为 在 实 数 使 得 ， 分 析 得 ， 再 计 算 得
，最后根据 的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线 与该函数
有两个交点，将 用 表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案；
（3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出 时解析式，再分析出 ，最后对 的范
围进行分类讨论即可.
【小问1详解】
（1） ， ，则 不是 中的元素.
【小问2详解】
法一：因为 ，则存在实数 使得 ，且 ，
当 时， ，其在 上严格单调递增，
当 时， ，其在 上也严格单调递增，
则 ，则 ，
令 ，解得 ，则 ，则 .
法二：作出该函数图象，则由题意知直线 与该函数有两个交点，
由图知 ，假设交点分别为 ， ，
联立方程组 得
【小问3详解】
（3）对任意 ，因为其是偶函数，
则 ，而 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，则 ，
所以 ，所以 ，
所以当 时， ， ，则 ，
，则 ，
而 ， ，
则 ，则 ，
所以当 时， ，而 为偶函数，画出函数图象如下：其中 ，但其对应的 值均未知.
首先说明 ，
若 ，则 ，易知此时 ，
则 ，所以 ，而 时， ，
所以 ，与 矛盾，所以 ，即 ，
令 ，则 ，
当 时，即使让 ，此时最多7个零点，
当 时，若 ，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；
当 时，若 ，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；
当 时，若 ，此时有3个零点，
若 ，则 ，易知此时 ，则 ，所以 ，而 时， ，
所以 ，与 矛盾，所以 ，
则最多在 之间取得6个零点，
以及在 处成为零点，故不超过9个零点.
综上，零点不超过9个.
