文档内容
2025 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第1
卷1至3页第Ⅱ卷4至6页.
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置
粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，
将本试卷和答题卡一并交回.在天津考生获取更多学习资料祝各位考生考试顺利！
第I卷（选择题）
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号.
2．本卷共9小题，每小题5分，共45分.
参考公式：
·如果事件 互斥，那么
P(A∪B)=P(A)+P(B)
·如果事件 相互独立，那么
P(AB)=P(A) P(B)
1
·棱柱的体积公式V = Sℎ ，其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．
3
1
·圆锥的体积公式V = Sℎ ，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高．
3
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知集合 ，则 （ ）
U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={2,3,5}
∁
(A∪B)=
U
A. {1,2,3,4} B. {2,3,4} C. {2,4} D. {4}
2. 设x∈R，则“x=0”是“sin2x=0”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知函数y=f (x)的图象如下，则f (x)的解析式可能为（ ）|x| |x|
A. B. C.
f(x)=
D.
f(x)=
1−x2 x2−1
的
4. 若m为直线， 为两个平面，则下列结论中正确 是（ ）
A. 若m//α,n⊂α，则m//n B. 若m⊥α,m⊥β，则α⊥β
C. 若m//α,m⊥β，则α⊥β D. 若m⊂α,α⊥β，则m⊥β
5. 下列说法中错误的是（ ）
A. 若X∼N(μ,σ2)，则
B. 若X∼N(1,22)，Y∼N(2,22)，则
C. |r|越接近1，相关性越强
D. |r|越接近0，相关性越弱
6. S =−n2+8n，则数列{|a |}的前12项和为（ ）
n n
A. 112 B. 48 C. 80 D. 64
7. 函数f(x)=0.3x−√x的零点所在区间是（ ）
A. (0,0.3) B. (0.3,0.5) C. (0.5,1) D. (1,2)
[ 5π π ] π
8. f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,−π<φ<π)，在 − , 上单调递增，且x= 为它的一条对称轴，
12 12 12
(π ) [ π]
,0 是它的一个对称中心，当x∈ 0, 时， 的最小值为（ ）
3 2
1
A. B. − C. 1 D. 0
2x2 y2
9. 双曲线 − =1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为 F ,F ，以右焦点 为焦点的抛物线
a2 b2 1 2
y2=2px(p>0)与双曲线交于另一象限点为P，若 ，则双曲线的离心率e=（ ）
√2+1 √5+1
A. 2 B. 5 C. D.
2 2
第Ⅱ卷（非选择题）
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11小题，共105分．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
|3+i|
是 =
10. 已知i 虚数单位，则 ________．
i
11. 在(x−1) 6的展开式中，x3项的系数为________．
.
12 l :x−y+6=0，与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，与(x+1) 2+(y−3) 2=r2交于 C、D 两点，
1
|AB|=3|CD|，则r=_________．
13. 小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则
第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈
的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4周，记
合格周数为X，则期望E(x)= _______
1
14. △ABC中，D 为 AB 边中点，⃗CE= ⃗CD,⃗AB=⃗a,⃗AC=⃗b，则⃗AE=______（用 ， 表示），若
3
|⃗AE|=5，AE⊥CB，则⃗AE⋅⃗CD=_______
15. 若a,b∈R，对∀x∈[−2,2]，均有(2a+b)x2+bx−a−1≤0恒成立，则2a+b的最小值为_______
三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
的
16. 在△ABC中，角A,B,C 对边分别为a,b,c．已知asinB=√3bcosA，c−2b=1，a=√7．
（1）求A的值；
（2）求c的值；
（3）求sin(A+2B)的值．17. 正方体 的棱长为4，E、F分别为A D ,C B 中点，CG=3GC ．
1 1 1 1 1
（1）求证：GF⊥平面 ；
（2）求平面 与平面EBG夹角的余弦值；
（3）求三棱锥D−FBE的体积．
x2 y2 的 1
18. 已知椭圆 + =1(a>b>0) 左焦点为F，右顶点为A，P为x=a上一点，且直线 的斜率为 ，
a2 b2 3
3 1
△PFA的面积为 ，离心率为 .
2 2
（1）求椭圆的方程；
（2）过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分∠AFB.
19. 已知数列{a }是等差数列，{b }是等比数列，a =b =2,a =b +1,a =b ．
n n 1 1 2 2 3 3
（1）求{a }，{b }的通项公式；
n n
（2）∀n∈N∗，I∈{0,1}，有
，
（i）求证：对任意实数t∈T ，均有t
