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绝密★启用前
2022 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理科）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答
案写在答题卡上.写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
.
1 设全集 ，集合M满足 ，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知 ，且 ，其中a，b为实数，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量 满足 ，则 （ ）
.
A B. C. 1 D. 2
4. 嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的
人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ： ，
， ，…，依此类推，其中 ．则
（ ）
A. B. C. D.
5. 设F为抛物线 的焦点，点A在C上，点 ，若 ，则
（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
6. 执行下边的程序框图，输出的 （ ）
第1页 | 共5页.
A 3 B. 4 C. 5 D. 6
7. 在正方体 中，E，F分别为 中的点，则（ ）
A. 平面 平面 B. 平面 平面
C. 平面 平面 D. 平面 平面
8. 已知等比数列 的前3项和为168， ，则 （ ）
A. 14 B. 12 C. 6 D. 3
9. 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该
四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A. B. C. D.
10. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、
乙、丙比赛获胜的概率分别为 ，且 ．记该棋手连胜两盘的概率
为p，则（ ）
A. p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B. 该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C. 该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D. 该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
11. 双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴为直径的圆记为D，过 作D的切线与C
的两支交于M，N两点，且 ，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
第2页 | 共5页12. 已知函数 的定义域均为R，且 ．
若 的图像关于直线 对称， ，则 （ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为
____________．
14. 过四点 中的三点的一个圆的方程为____________．
15. 记函数 的最小正周期为T，若 ，
为 的零点，则 的最小值为____________．
16. 已知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小值点和极
大值点．若 ，则a的取值范围是____________．
三、解答题：共0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21
题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求
作答．
（一）必考题：共60分．
17. 记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
（1）证明： ；
（2）若 ，求 的周长．
18. 如图，四面体 中， ，E为 的中点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）设 ，点F在 上，当 的面积最小时，求
与平面 所成的角的正弦值．
19. 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总
第3页 | 共5页材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位： ）和材积量
（单位： ），得到如下数据：
总
样本号ｉ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
和
根部横截面积 .
0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 005 0.07 0.07 0.06 0.6
材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并计算得 ．
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积
总和为 ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林
区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数 ．
20. 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过 两点．
（1）求E的方程；
（2）设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于
点T，点H满足 ．证明：直线HN过定点．
21. 已知函数
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在区间 各恰有一个零点，求a的取值范围．
（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，
则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系 中，曲线C的参数方程为 ，（t为参数），以坐标原
第4页 | 共5页点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为
．
（1）写出l的直角坐标方程；
（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知a，b，c都是正数，且 ，证明：
（1） ；
（2） ；
第5页 | 共5页
