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专题15统计
1.数据的收集
数据的调查方式有全面调查和抽样调查.对 的调查叫作全面调查，又称 .从总体中抽取
进行调查，叫作抽样调查.为了获得较准确的调查结果，抽样时要注意样本具有 和 .
2.用样本估计总体考查对象的 叫作总体，组成总体的 叫作个体.从总体中抽取一部分个体，
这一部分个体叫作总体的 .样本中个体的数目叫作 .
3.统计图
统计图主要包括条形统计图、折线统计图、扇形统计图、直方图.其中条形统计图的主要特点是
；折线统计图的主要特点是 ；扇形统计图的主要特点是 .画扇形统计图的步骤：
； ; ; 直方图的主要特点是 .
4.频数与频率
将一组数据按照统一的标准分成若干组，每个小组内的数据的个数叫作 .每个小组的频数与数据总数的
比值叫作这一小组的 ，频率= .各个组的频数之和等于 ，则频率之和等于 .
5.描述数据的集中趋势
描述一组数据的集中变化趋势的量有平均数、中位数、众数.平均数的计算公式是 ；当所
给 n个数据中x 出现 f 次,x 出现f 次,……,x 出现 f 次,则x= ，这个数叫作加权
1 1 2 2 k k
平均数，其中 f，f，…，f 叫作权重.把一组数据按从小到大的顺序排列，处在最中间位置上的一个数据(或是最
1 2 k
中间两个数据的平均数)叫作这组数据的 .在一组数据中，出现次数最多的数据叫作这组数据的 .一组
数据的 和 是唯 一 的, 而 可能有多个.
6.描述数据的离散程度
描述一组数据的离散程度的量有极差、方差、标准差.极差等于 ；方差的公式为
；标准差是方差的 .一组数据的方差越大，数据的波动就越 ；方差越小，数据的波动就越 .
实战演练
1.在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校团委招募志愿者到六个社区开展“书香成都”全民阅读服务
活动,报名人数分别为:56,60,63,60,60,72,则这组数据的众数是 ( )
A.56 B.60 C.63 D.72
2.《义务教育课程标准(2022年版)》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定.某班有 7名学
生已经学会炒的菜品的种数依次为:3,5,4,6,3,3,4.则这组数据的众数和中位数分别是( )
A.3,4 B.4,3 C.3,3 D.4,4
3.2021年福建省的环境空气质量达标天数位居全国前列.下图是福建省10个地区环境空气质量综合指数统计图.
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综合指数越小，表示环境空气质量越好.依据综合指数，从图中可知环境空气质量最好的地区是 ( )
A. F B. F C. F D. F
1 6 7 10
4.如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况(满分5分)，则所打分数的众数为 ( )
A.5分 B.4分
C.3分 D.45%
5.五名同学捐款数分别是5,3,6,5,10(单位:元),捐10 元的同学后来又追加了10元.追加后的 5个数据与之前的5
个数据相比，集中趋势相同的是 ( )
A.只有平均数 B.只有中位数
C.只有众数 D.中位数和众数
6.为了解“睡眠管理”落实情况，某初中学校随机调查50名学生每天平均睡眠时间(时间均保留整数)，将样本
数据绘制成统计图(如图)，其中有两个数据被遮盖.关于睡眠时间的统计量中，与被遮盖的数据无关的是 ( )
A.平均数 B.中位数
C.众数 D.方差
7.甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，将每次命中的环数绘制成如图所示统计图.根据统计图得出的结论
正确的是 ( )
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A.甲的射击成绩比乙的射击成绩更稳定
B.甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数
C.甲射击成绩的平均数大于乙射击成绩的平均数
D.甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数
8.下表是有关企业和世界卫生组织统计的5 种新冠疫苗的有效率，则这5种疫苗有效率的中位数是( )
疫苗 克尔 阿斯
莫德纳 辉瑞 卫星 V
名称 来福 利康
有效率 79% 76% 95% 95% 92%
A.79% B.92%
C.95% D.76%
9.舒青是一名观鸟爱好者，他想要用折线统计图来反映中华秋沙鸭每年秋季到当地避寒越冬的数量变化情况，
以下是排乱的统计步骤：①从折线统计图中分析出中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的变化趋势；②从当地自然保
护区管理部门收集中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量记录；③按统计表的数据绘制折线统计图；④整理中华
秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量并制作统计表.正确统计步骤的顺序是( )
A.②→③→①→④
B.③→④→①→②
C.①→②→④→③
D.②→④→③→①
10.小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色，并绘制了不完整的扇形图1及条形图2(柱的高度从高到低排列).条
形图不小心被撕了一块，图2 中“( )”应填的颜色是 ( )
A.蓝 B.粉 C.黄 D.红
11.某商场准备进 400 双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的 40 双滑冰鞋的鞋号，数据如下：
鞋号 35 36 37 38 39 40 41 42 43
销售量/双 2 4 5 5 12 6 3 2 1
根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为 双.
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12.生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多.为了解甲、乙两个品种大豆的光
合作用速率，科研人员从甲、乙两个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率(单位：
μmol⋅m−2 ⋯ −1 ),结果统计如下：
品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 平均数
甲 32 30 25 18 20 25
乙 28 25 26 24 22 25
则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是 (填“甲”或“乙”).
13.某校共有 1 000 名学生.为了解学生的中长跑成绩分布情况，随机抽取 100名学生的中长跑成绩，画出条
形统计图，如图.根据所学的统计知识可估计该校中长跑成绩优秀的学生人数是 .
14.某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织
能力的测试，根据综合成绩择优录取.他们的各项成绩(单项满分 100分)如表所示：
候选人 文化水平 艺术水平 组织能力
甲 80 分 87 分 82 分
乙 80 分 96 分 76 分
(1)如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁?
(2)如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照
20%,20%,60%的比例计入综合成绩，应该录取谁?
15.某校九年级 640名学生在“信息素养提升”培训前、后各参加了一次水平相同的测试，并以同一标准折算
成“6 分”、“7 分”、“8 分”、“9 分”、“10分”5个成绩.为了解培训效果，用抽样调查的方式从中抽取
了32名学生的2 次测试成绩，并用划记法制成了如下表格：
成绩(分) 6 7 8 9 10
培 划记 正正工 正 正T 正 正
训
前 人数(人) 12 4 7 5 4
成绩(分) 6 7 8 9 10
培 划记 正 一 下 正正 正正正
训
后 人数(人) 4 1 3 9 15
(1)这32名学生2次测试成绩中，培训前测试成绩的中位数是 m，培训后测试成绩的中位数是n.则m
n;(填“>”、“<”或“=”)
(2)这32名学生经过培训，测试成绩为“6分”的百分比比培训前减少了多少?
(3)估计该校九年级 640 名学生经过培训，测试成绩为“10 分”的学生增加了多少人?
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16.2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八
年级中各随机抽取了 20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩(竞赛成绩均为整数，满分为 10分，9分及以上为优
秀).相关数据统计、整理如下：
抽取七年级教师的竞赛成绩(单位：分)：6,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,10,10,10,10,10.
八年级教师竞赛成绩扇形统计图
七、八年级教师竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8.5 8.5
中位数 a 9
众数 8 b
优秀率 45% 55%
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空:a= ,b= ;
(2)估计该校七年级 120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数；
(3)根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异.
压轴预测
1.小明和小丽练习射箭，如表是他们5次练习的成绩(单位：环)，下列关于两人成绩的说法正确的是 ( )
小明 2 6 7 7 8
小丽 3 7 8 8 9
A.平均数相同 B.中位数相同
C.众数相同 D.方差相同
2.甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩(个数)如图所示，下列判断正确的是 ( )
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A.甲的成绩比乙稳定
B.甲的最好成绩比乙高
C.甲的成绩的平均数比乙大
D.甲的成绩的中位数比乙大
3.为全力抗战新冠肺炎疫情，我市中小学开展在线课程教学和答疑.据互联网后台数据显示，某中学九年级七
科老师2 月 10 日在线答疑问题总个数如图：
则下列说法正确的是 ( )
A.该中学九年级学生数为200人
B.答疑的学科问题总个数的中位数是36
C.各学科答疑问题总个数的平均数是30
D.语文学科答疑问题总个数的频率是0.16
4.为了解某校七年级学生 100m跑成绩(精确到 0.1秒)，对该年级全部学生进行100m跑测试，把测得的数据
分成五组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图(每组不含前一个边界值，含后一个边界值).
某校七年级全部学生100m跑成绩的频数表
组别(秒) 32
12.5~13.5 32
13.5~14.5 a+16
14.5~15.5 频数
15.5~16.5 a
16.5~17.5 112
某校七年级全部学生100m跑成绩的频数直方图
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(1)求该年级学生的总人数；
(2)把频数直方图补充完整；
(3)求该年级 100m跑成绩不超过15.5秒的学生数占该年级全部学生数的百分比.
参考答案
1.全体考查对象普查 样本代表性广泛性
2.全体 每一个对象 一个样本样本容量
3.能够显示出每个项目的具体数量 能清晰显示数据的变化趋势 能表示部分在总体中所占的百分比 计算各部
分数量占总体数量的百分比 计算各部分所对应的扇形圆心角的度数 画出扇形统计图，并标出百分比、项目名称
和标题 能直观地显示各组数据的分布情况，易于显示各组之间数据的差别
频数4.频数 频率 数据总数 数据总数 1
1
5.x= (x +x +⋯+x )
n 1 2 n
f x +f x +⋯+f x
1 1 2 2 k k(其 中 f + f +⋯+f =n)
n 1 2 k
中位数 众数 平均数 中位数众数
6.最大值—最小值
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1
s2= [(x −x) 2+(x −x) 2+⋯+ (x −x) 2 ]
n 1 2 n
算术平方根 大 小
1. B 【解析】本题考查众数.数据60出现了3次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是60，故选 B.
2. A 【解析】本题考查众数、中位数.依题意，这7个数据中出现次数最多的数据是3，故这组数据的众数是
3；将这组数据按从小到大的顺序排列为3，3，3，4，4，5，6，排在最中间的数据为4，故这组数据的中位数为
4，故选 A.
3. D 【解析】本题考查统计图.从图中可以看出 F₁₀的综合指数最小，所以环境空气质量最好的地区是 F₁₀，
故选 D.
4. B 【解析】本题考查众数的概念、扇形统计图.由扇形统计图可知，4分在所打分数中所占百分比最多，即
出现的次数最多，故众数是 4分，故选 B.
5. D 【解析】本题考查平均数、众数、中位数的意义.将数据按从小到大的顺序排列为3，5，5，6，10，则
众数是5，平均数是5.8,中位数是5;新数据3,5,5,6,20的众数是5,平均数是7.8，中位数是5，所以集中趋势相同的
是中位数和众数，故选 D.
6. B 【解析】本题考查条形统计图、中位数、平均数、众数及方差的判断.根据题意可得，计算平均数、方
差均需要全部数据,故 A,D选项不符合题意;∵50-5-11-16=18>16，∴无法确定众数分布在哪一组，故C选项不符合
题意；从统计图可得，前三组的数据共有5+11+16=32(人)，共有50名学生，中位数为第25 位与第 26 位的平均
数，∴从已知的数据中可确定中位数，且不受后面数据的影响，故选 B.
7. A 【解析】本题考查折线统计图.由折线统计图可知甲成绩的波动性小，所以甲的射击成绩比乙的射击成
绩更稳定，故A 正确；甲射击成绩的众数为6环，乙射击成绩的众数为9环，所以甲射击成绩的众数小于乙射击
成绩的众数，故B错误；甲射击成绩的平均数为(5+6+6+7+5+6+6+6+7+6)÷10=6(环),乙射击成绩的平均数为
(9+5+3+6+9+10+4+7+8+9)÷10=7(环),所以甲射击成绩的平均数小于乙射击成绩的平均数，故C错误；甲射击成绩的
中位数为(6+6)÷2=6(环)，乙射击成绩的中位数为(7+8)÷2=7.5(环)，所以甲射击成绩的中位数小于乙射击成绩的中位
数，故D错误.综上，故选 A.
8. B 【解析】本题考查中位数的概念.将表中数据从小到大排列为76%,79%,92%,95%,95%,处在中间的是92%,
故中位数是92%,故选 B.
9. D 【解析】本题考查折线统计图的统计步骤.折线统计图的统计步骤为先收集数据，再整理数据，然后绘
图，最后分析,∴正确的顺序是②→④→③→①,故选 D.
10. D【解析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用.如图,用量角器度量∠MON=114°,∠POQ=
106°,∠POM=28%×360°≈101°.∵114°>106°>101°，∴从高到低排列第三个颜色应当是红色，故选 D.
11.120 【解析】本题考查用样本估计总体.由题知，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为
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12
400× = 120(双).
40
12.乙 【解析】本题考查方差的实际意义.由题表知，甲种大豆比乙种大豆光合作用速率波动大，所以两个大
豆品种中光合作用速率更稳定的是乙.
13.270 【解析】本题考查用样本估计总体.∵100名学生中有27人优秀，∴可估计该校1 000名学生中长跑成绩
27
优秀的学生人数是 1000× =270(人).
100
14.(1)乙 (2)甲
(1)计算两人成绩的平均数，录取成绩高的人即可；
(2)计算两人成绩的加权平均数，录取成绩高的人.
80+87+82 80+96+76
解：(1)甲的综合成绩为 =83(分),乙的综合成绩为 =84(分).
3 3
因为乙的综合成绩比甲的高，所以应该录取乙.
(2)甲的综合成绩为
80×20%+87×20%+82×60%=82.6(分),
乙的综合成绩为
80×20%+96×20%+76×60%=80.8(分).
因为甲的综合成绩比乙的高，所以应该录取甲.
15.(1)< (2)25% (3)220
(1)根据统计数据，求出培训前的中位数和培训后的中位数，比较大小即可；(2)分别求出培训前和培训后测试
成绩为“6分”的人数所占的百分比，作差即可；(3)先根据九年级学生人数求出培训前和培训后测试成绩为“10
分”的人数，再作差即可.
解:(1)<.
12
(2)培训前: ×100%,
32
4
培训后：
×100%,
32
12 4
×100%− ×100%=25%.
32 32
答：测试成绩为“6分”的百分比比培训前减少了25%.
4
(3)培训前: 640× =80,
32
15
培训后： 640× =300,
32
300-80=220.
答：测试成绩为“10分”的学生增加了220人.
16.(1)8,9 (2)102 (3)八年级教师竞赛成绩更优异，理由略
(1)根据中位数、众数的定义解题；(2)求出样本中成绩达到8分及以上的人数的比例，再乘 120 计算即可；
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(3)从中位数、众数、优秀率等方面进行评价即可.
解:(1)8,9.
8+4+5
(2)该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数为 ×120=102(人).
20
答：估计该校七年级 120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数102人.
(3)答案一：因为八年级被抽取教师竞赛成绩的中位数9大于七年级被抽取教师竞赛成绩的中位数8，所以八年
级教师竞赛成绩更优异.
答案二：因为八年级被抽取教师竞赛成绩的众数9大于七年级被抽取教师竞赛成绩的众数8，所以八年级教师
竞赛成绩更优异.
答案三：因为八年级被抽取教师竞赛成绩的优秀率55%大于七年级被抽取教师竞赛成绩的优秀率45%，所以
八年级教师竞赛成绩更优异.
压轴预测
1. D 【解析】本题考查平均数、中位数、众数、方差.对四个选项进行逐项分析如下：
选项 逐项分析 正误
1 1
x小明= ×(2+6+7+7+8)=6,x小m = ×(3+7+8+8+9)=7,则则小明和
5 5
A ×
小丽成绩的平均数不相同
小明成绩的中位数是7，小丽成绩的中位数是8，则小明和小丽成
B ×
绩的中位数不相同
小明成绩的众数是7，小丽成绩的众数是8，则小明和小丽成绩的
C ×
众数不相同
1 1
sk用= ×[(2-6)²+(6-6)²+(7-6)²+(7-6)²+(8-6)²]=4.4,s²∧w= [(3-
5 5
D 2
7)²+(7-7)²+(8-7)²+(8-7)²+(9-7)²]=4.4,∴s%明=s =.则小明和小丽成绩的方
3
差相同
故选 D.
2. A 【解析】本题考查折线统计图的实际应用.甲同学的成绩按从低到高的顺序排列为7，8，8，8，9，其中
1 1
位数为8，平均数为 x = ×(7+8+8+8+9)=8,方差为： s2 = ×[(7−8) 2+3×(8−8) 2+(9−8) 2]=0.4;乙同
甲 5 甲 5
1
学的成绩按从低到高的顺序排列为6，7，8，9，10，则其中位数为8，平均数为 x = ×(6+7+8+9+10)=8,
乙 5
1
方差为 s2 = ×[(6−8) 2+(7−8) 2+(8−8) 2+(9−8) 2+ (10−8)²]=2,所以 x =x ,s2
