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2022-2023 学年北京市海淀区清华附中八年级（下）期末数学试
卷
一、选择题（本题共8小题，共24分）
1. 下列方程中，属于一元二次方程的是( )
1
A. x2+ =2 B. x2−xy=2 C. x2−2x−3=0 D. 2(x−1)=x
x
2. 将抛物线y=x2向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为( )
A. y=x2+2 B. y=x2−2 C. y=(x+2) 2 D. y=(x−2) 2
3. 用配方法解方程x2−2x−5=02时，原方程变形正确的是( )
A. (x+1) 2=6 B. (x−2) 2=9 C. (x−1) 2=6 D. (x+2) 2=9
4. 抛物线y=(x−2) 2+1的顶点坐标是( )
A. (−1,2) B. (2,1) C. (−2,1) D. (−2,−1)
5. 某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的
销售价x(元)满足关系：P=100−2x.若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利
润，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A. (x−30)(100−2x)=200 B. x(100−2x)=200
C. (30−x)(100−2x)=200 D. (x−30)(2x−100)=200
6. 已知抛物线y=2(x−2) 2+1，A(−3,y )，B(3,y )，C(4,y )是抛物线上三点，则
1 2 3
y ，y ，y 由小到大依序排列是( )
1 2 3
A. y 2
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学科网（北京）股份有限公司 1 25C. x<−1
D. x<−1或x>2
二、填空题（本题共12小题，共28分）
9. 已知抛物线y=x2+x+m与y轴的交点在原点下方，则整数m的值可以是______ .(写出
一个符合条件的值即可)
10. 若关于的一元二次方程x2−6x+k=0有两个相等的实数根，则k= ______ ．
11. 二次函数y=ax2+bx−3(a≠0)的图象经过点(1,4)，则代数式a+b的值为______ ．
12. 关于x的一元二次方程(m+3)x2+x+m2−9=0有一根为0，则m= ______ ．
13. 抛物线y=x2+4x+3在x轴上截得的线段的长度是______．
14. 已知m是方程x2−4x−3=0的一个实数根，则m2−4m+2023的值是______ ．
15. 若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程x2−6x+8=0的两根，则这个等腰
三角形的周长是______ ．
16. 已知抛物线y=a(x−ℎ) 2+k上部分点的横坐标x和纵坐标y的几组数据如下：
x −1 1 3
y 2 −2 2
点P(−2,m)，Q(x ,m)是抛物线上不同的两点，则x = ______ ．
1 1
17. 在平面直角坐标系中，已知点P(m,n)，m，n满足(m2+n2+1)(m2+n2+3)=15，则
OP的长为______ ．
18. 关于x的方程x2+2x−c=0无实数根，则二次函数y=x2+2x−c的图象的顶点在第
______ 象限．
19. 已知抛物线y=x2−a(a+2)x+9的顶点在坐标轴上，则a= ______ ．
20. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所
示，有下列结论：①abc>0；②b−a>c；③4a+2b+c>0；
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学科网（北京）股份有限公司 2 25④3a>−c；⑤a+b>m(am+b)(m≠1)．
其中正确的是______(填序号)．
三、解答题（本题共10小题，共68分）
21. 用适当的方法解方程：
(1)(x−1) 2=9；
(2)x2+2x−4=0；
(3)(x−4) 2+x(x−4)=0；
(4)2x2−3x+1=0．
22. 已知抛物线y=2x2+bx+c过点(1,3)和(−1,5)，求该抛物线的解析式．
23. 用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间
用围栏隔开，由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米(围栏宽忽略不计)，若生态园的
面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长．
24. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
x … −3 −2 −1 0 1 …
y … 0 −3 −4 −3 0 …
(1)这个二次函数的解析式是______ ；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)当−40
b
∴抛物线开口向上，对称轴为x=− =2，
2a
∵B(3,y )，C(4,y )中横坐标均大于2，
2 3
∴它们在对称轴的右侧y >y ．
3 2
A(−3,y )中横坐标小于2，
1
∵它在对称轴的左侧，它关于x=2的对称点为2×2−(−3)=7，
A点的对称点是D(7,y )
1
7>4>3，
∵a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴y >y >y ．
1 3 2
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学科网（北京）股份有限公司 9 25故选：D．
先求出二次函数y=2(x−2) 2+1的图象的对称轴，然后判断出A(−3,y )，B(3,y )，
1 2
C(4,y )在抛物线上的位置，再求解．
3
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，本题的关键是找到A点的对称点；掌握二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)的图象性质．
7.【答案】D
【解析】解：∵Δ=b2−4ac=(−2) 2−4×m=4−4m，
∴要使方程有两不相等实数根，则有4−4m>0，
∴m<1；
∴m可以取0，
故选：D．
方程有两个不相等的实数根，则有Δ=b2−4ac>0，据此即可得到关于m的不等式，解不等式即
可得到m的取值范围．
本题主要考查了一元二次方程的相关知识，解题的关键是明确一元二次方程的根与判别式之间的
关系．
8.【答案】A
【解析】解：由图象可知，
当y<0时，x的取值范围是−17，所以不合题意，舍去．
2
所以x=6符合题意．
答：生态园垂直于墙的边长为6米．
【解析】设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为(42−3x)米，根据矩形的面积
公式列出方程并解答．
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程并解答．
20.【答案】y=x2+2x−3 −42.24，
∴该运动员第一次发球能过网，
故答案为：能；
(2)判断：没有出界．
第二次发球：y=−0.02(x−5) 2+2.88，
令y=0，则−0.02(x−4) 2+2.88=0，
，解得x =−87(舍)，x =17，
1 2
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学科网（北京）股份有限公司 16 25∵x =17<18，
2
∴该运动员此次发球没有出界．
(1)①由表格中数据得出顶点坐标，设出函数解析式的顶点式，再把(0,2.48)代入解析式求出a
即可⋅；
②当x=9时求出y的值与2.24比较即可；
(2)令y=−0.02(x−4) 2+2.88中的y=0，解方程求出x的值与18比较即可．
本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式．
22.【答案】x=1 x =−1，x =3 x =2，x =−1 k>4
1 2 1 2
【解析】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(0,3)，B(2,3)，
0+2
∴该抛物线的对称轴为直线x= =1，
2
故答案为：x=1；
(2)由(1)知：该抛物线的对称轴为直线x=1，
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点C(−1,0)，
∴该抛物线过点(3,0)，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x =−1，x =3，
1 2
故答案为：x =−1，x =3；
1 2
(3)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点B(2,3)，C(−1,0)，直线y=mx+n(m≠0)经过点B，
C，
∴一元二次方程ax2+bx+c=mx+n的解为x =2，x =−1，
1 2
故答案为：x =2，x =−1；
1 2
(4)设该抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)，
∵该抛物线经过点A(0,3)，
∴3=a(0+1)(0−3)，
解得a=−1，
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学科网（北京）股份有限公司 17 25∴y=−(x+1)(x−3)=−x2+2x+3=−(x−1) 2+4，
∴该抛物线的最大值为4，
∵一元二次方程ax2+bx+c−k=0无实数根，则k的取值范围是k>4，
故答案为：k>4
(1)根据抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(0,3)，B(2,3)，可以求得该抛物线的对称轴；
(2)根据(1)中的结果和二次函数具有对称性，可以求得抛物线与x轴的另一个交点，从而可以写
出一元二次方程ax2+bx+c=0的解；
(3)根据抛物线与直线y=mx+n的交点，可以写出一元二次方程ax2+bx+c=mx+n的解；
(4)根据(2)中求出的抛物线与x轴的交点和经过点A(0,3)，可以求得该抛物线的解析式，然后
化为顶点式，即可得到该抛物线的最大值，从而可以写出一元二次方程ax2+bx+c−k=0无实
数根，此时k的取值范围．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象与x轴的交点坐标、二次函数图象上点的坐标特点、一
次函数图象上点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23.【答案】(1)证明：Δ=(2−3m) 2−4×m×(2m−4)
=4−12m+9m2−8m2+16m
=m2+4m+4
=(m+2) 2，
∵(m+2) 2≥0，
∴Δ≥0，
∴方程总有两个实数根；
(2)解：∵mx2+(2−3m)x+(2m−4)=0，
∴[mx+(2−m)](x−2)=0，
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学科网（北京）股份有限公司 18 25m−2
∴x = ，x =2．
1 m 2
∵m为整数，且原方程有两个互不相等的正整数根，
∴m=−1．
答：m的值为−1．
【解析】(1)根据方程的系数，结合根的判别式Δ=b2−4ac，可得出Δ=(m+2) 2≥0，进而可证
出方程总有两个实数根；
(2)利用因式分解法，可求出方程的两个实数根，结合m为整数且原方程有两个互不相等的正整
数根，即可得出m的值．
本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：(1)牢记“当Δ≥0时，
方程有两个实数根”；(2)利用因式分解法，求出方程的两个实数根．
4 8
24.【答案】t=4或 0，所以a、b异号，而a<0，所以b>0，
由于抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，因此c>0，
所以abc<0，
因此①不正确；
由图象可知，当x=−1时，y=a−b+c<0，即b−a>c，
因此②正确；
由抛物线的对称性以及图象可知，
当x=2时，y=4a+2b+c>0，
因此③正确；
b
因为对称轴为x=− =1，即2a+b=0，
2a
而当x=−1时，y=a−b+c<0，
所以3a+c<0，
即3a<−c，
因此④不正确；
由于抛物线的顶点坐标为(1,a+b+c)，即x=1时，y的值最大，即a+b+c最大，
当x=m(m≠1)时，y=am2+bm+cm(am+b)(m≠1)，
因此⑤正确；
综上所述，正确的结论有：②③⑤，
故答案为：②③⑤．
根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，逐项进行判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标与系数a、b、c的
关系是正确判断的前提．
30.【答案】D(1,2)，F(−1,−1) −4≤t<1
【解析】解：(1)∵A(−1,1)，B(1,1)，
∴AB2=4，
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学科网（北京）股份有限公司 25 25∵|C A2−CB2|=|(−1−0) 2+(1−4) 2−[(1−0) 2+(1−4) 2 ]|=0，
∴|C A2−CB2|≠AB2，
∴点C不是线段AB的垂点；
∵|D A2−DB2|=|(1+1) 2+(2−1) 2−[(1−1) 2+(2−1) 2 ]|=4，
∴|DA2−DB2|=AB2，
∴点D是线段AB的垂点；
∵|E A2−EB2|=|(3+1) 2+(−2−1) 2−[(3−1) 2+(−2−1) 2 ]=12，
∴|EA2−EB2|≠AB2，
∴点E不是线段AB的垂点；
∵|F A2−FB2|=|(−1+1) 2+(−1−1) 2−[(−1−1) 2+(−1−1) 2 ]=4，
∴|F A2−FB2|=AB2，
∴点F是线段AB的垂点；
综上所述，点D、F是线段AB的垂点；
故答案为：D(1,2)，F(−1,−1)；
(2)①当t=0时，点P(0,1)，Q(2,0)，
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学科网（北京）股份有限公司 26 251 1
设点M是直线y=− x+b上存在的线段PQ的等垂点，则M(m,− m+b)，
2 2
过点M作MG⊥y轴于点G，过点M'作M'H⊥y轴于点H，
∴MP=PQ，MP⊥PQ，
∴∠PGM=∠QOP=90°，
∴∠MPG+∠PMG=90°，∠QPO+∠MPG=90°，
∴∠PMG=∠QPO，
∴△PMG △QPO(AAS)，
∴MG=O≌P=1，PG=OQ=2，
∴OG=OP+PG=1+2=3，
∴M(1,3)，
{
m=1
∴ 1 ，
− m+b=3
2
{m=1
解得： 7；
b=
2
同理可得：M'(−1,−1)，
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学科网（北京）股份有限公司 27 25{
m=−1
∴ 1 ，
− m+b=−1
2
{m=−1
解得： 3；
b=−
2
7 3
∴b的值为 或− ；
2 2
②∵P(t,1)，Q(t+2,0)．
∴线段PQ的垂点一定在直线y=2x+b'上，
把C(0,4)代入y=2x+b'，得b'=4，
当Q(t+2,0)在直线y=2x+4上时，0=2(t+2)+4，
解得：t=−4，
把B(1,1)代入y=2x+b'，得b'=−1，
当P(t,1)在直线y=2x−1上时，1=2t−1，
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学科网（北京）股份有限公司 28 25解得：t=1，
∴t的取值范围是−4≤t<1；
故答案为：−4≤t<1．
(1)根据新定义“线段AB的垂点”，即可判断得出答案；
1
(2)①当t=0时，点P(0,1)，Q(2,0)，则线段PQ的等垂点为M(m,− m+b)，过点M作
2
MG⊥y轴于点G，过点M'作M'H⊥y轴于点H，可证得△PMG △QPO(AAS)，进而可得
≌
1
M(1,3)或(−1,−1)，代入M(m,− m+b)，即可求得b的值；
2
②根据新定义“线段AB的垂点”，线段PQ的垂点一定在直线y=2x+b'上，分别求得t的最小
值和最大值即可得出答案．
本题综合性比较强，考查了学生对平面直角坐标系和点的坐标的理解，要掌握正方形的性质，学
会对动点在直线上运动进行几何模型构建，能充分利用数形结合思想解决实际问题．
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