2022-2023 学年北京市海淀区清华附中八年级（下）期末数学试
卷
一、选择题（本题共8小题，共24分）
1. 下列方程中，属于一元二次方程的是( )
1
A. x2+ =2 B. x2−xy=2 C. x2−2x−3=0 D. 2(x−1)=x
x
2. 将抛物线y=x2向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为( )
A. y=x2+2 B. y=x2−2 C. y=(x+2) 2 D. y=(x−2) 2
3. 用配方法解方程x2−2x−5=02时，原方程变形正确的是( )
A. (x+1) 2=6 B. (x−2) 2=9 C. (x−1) 2=6 D. (x+2) 2=9
4. 抛物线y=(x−2) 2+1的顶点坐标是( )
A. (−1,2) B. (2,1) C. (−2,1) D. (−2,−1)
5. 某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的
销售价x(元)满足关系：P=100−2x.若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利
润，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A. (x−30)(100−2x)=200 B. x(100−2x)=200
C. (30−x)(100−2x)=200 D. (x−30)(2x−100)=200
6. 已知抛物线y=2(x−2) 2+1，A(−3,y )，B(3,y )，C(4,y )是抛物线上三点，则
1 2 3
y ，y ，y 由小到大依序排列是( )
1 2 3
A. y <y <y B. y <y <y C. y <y <y D. y <y <y
1 2 3 2 1 3 3 2 1 2 3 1
7. 已知关于x的方程x2−2x+m=0有两个不相等实数根，则m可以取以下哪个数值( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
8. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，当
y<0时，x的取值范围是( )
A. −1<x<2
B. x>2
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 1 25C. x<−1
D. x<−1或x>2
二、填空题（本题共12小题，共28分）
9. 已知抛物线y=x2+x+m与y轴的交点在原点下方，则整数m的值可以是______ .(写出
一个符合条件的值即可)
10. 若关于的一元二次方程x2−6x+k=0有两个相等的实数根，则k= ______ ．
11. 二次函数y=ax2+bx−3(a≠0)的图象经过点(1,4)，则代数式a+b的值为______ ．
12. 关于x的一元二次方程(m+3)x2+x+m2−9=0有一根为0，则m= ______ ．
13. 抛物线y=x2+4x+3在x轴上截得的线段的长度是______．
14. 已知m是方程x2−4x−3=0的一个实数根，则m2−4m+2023的值是______ ．
15. 若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程x2−6x+8=0的两根，则这个等腰
三角形的周长是______ ．
16. 已知抛物线y=a(x−ℎ) 2+k上部分点的横坐标x和纵坐标y的几组数据如下：
x −1 1 3
y 2 −2 2
点P(−2,m)，Q(x ,m)是抛物线上不同的两点，则x = ______ ．
1 1
17. 在平面直角坐标系中，已知点P(m,n)，m，n满足(m2+n2+1)(m2+n2+3)=15，则
OP的长为______ ．
18. 关于x的方程x2+2x−c=0无实数根，则二次函数y=x2+2x−c的图象的顶点在第
______ 象限．
19. 已知抛物线y=x2−a(a+2)x+9的顶点在坐标轴上，则a= ______ ．
20. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所
示，有下列结论：①abc>0；②b−a>c；③4a+2b+c>0；
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 2 25④3a>−c；⑤a+b>m(am+b)(m≠1)．
其中正确的是______(填序号)．
三、解答题（本题共10小题，共68分）
21. 用适当的方法解方程：
(1)(x−1) 2=9；
(2)x2+2x−4=0；
(3)(x−4) 2+x(x−4)=0；
(4)2x2−3x+1=0．
22. 已知抛物线y=2x2+bx+c过点(1,3)和(−1,5)，求该抛物线的解析式．
23. 用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间
用围栏隔开，由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米(围栏宽忽略不计)，若生态园的
面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长．
24. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
x … −3 −2 −1 0 1 …
y … 0 −3 −4 −3 0 …
(1)这个二次函数的解析式是______ ；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)当−4<x<0时，y的取值范围为______ ．
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 3 2525. 排球场的长度为18m，球网在场地中央且高度为2.24m，排球出手后的运动路线可以
看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y(
单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=a(x−ℎ) 2+k(a<0)．
(1)某运动员第一次发球时，测得水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m 0 2 4 6 11 12
竖直高度y/m 2.38 2.62 2.7 2.62 1.72 1.42
①根据上述数据，求抛物线解析式；
②判断该运动员第一次发球能否过网______ (填“能”或“不能”)．
(2)该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：
m)近似满足函数关系y=−0.02(x−5) 2+2.88，请问该运动员此次发球是否出界，并说明
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 4 25理由．
26. 如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(0,3)，B(2,3)，C(−1,0)，直线
y=mx+n(m≠0)经过点B，C，部分图象如图所示，则：
(1)该抛物线的对称轴为直线______ ；
(2)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为______ ；
(3)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=mx+n的解为______ ；
(4)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c−k=0无实数根，则k的取值范围是______ ．
27. 已知关于x的一元二次方程mx2+(2−3m)x+(2m−4)=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若m为整数，当此方程有两个互不相等的正整数根时，求m的值．
28 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+2mx+m+4(m≠0)．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)若抛物线与x轴的交点为A、B(点A在点B的左侧)，且AB=4，
①求抛物线的解析式；
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 5 25②已知点P坐标为(3,4)，点Q在抛物线的对称轴上，将抛物线y=mx2+2mx+m+4在第二
象限内的部分记为图象G，如果直线PQ与图象G只有一个公共点，请结合图象，直接写出
点Q的纵坐标t的取值范围是______ ．
29 在正方形ABCD中，点E为边CD上一点(不与点C、D重合)，AF⊥BE于点F，
CG⊥BE于点G．
(1)如图1，求证：AF=BG；
(2)如图2，若F为BG中点，连接DF，用等式表示线段AD，DF之间的数量关系，并证明；
(3)若AD=13，BF=5，直接写出线段DF的长是______ ．
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 6 2530. 对于线段AB外一点M，给出如下定义：若点M满足|M A2−MB2|=AB2，则称M
为线段AB的垂点，特别地，对于垂点M，若MA=AB或MB=AB时，称M为线段AB的等
垂点，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−1,1)，B(1,1)．
(1)如图1，在点C(0,4)，D(1,2)，E(3,−2)，F(−1,−1)中，线段AB的垂点是______ ；
(2)已知点P(t,1)，Q(t+2,0)．
1
①如图2，当t=0时，若直线y=− x+b上存在线段PQ的等垂点，求b的值；
2
②如图3，若△ABC边上(包含顶点)存在线段PQ的垂点，直接写出t的取值范围是______ ．
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 7 25答案和解析
1.【答案】C
1
【解析】解：A.方程x2+ =2是分式方程，选项A不符合题意；
x
B.方程x2−xy=2是二元二次方程，选项B不符合题意；
C.方程x2−2x−3=0是一元二次方程，选项C符合题意；
D.方程2(x−1)=x是一元一次方程，选项D不符合题意．
故选：C．
利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程即可．
本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式
方程叫一元二次方程”是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：将抛物线y=x2向下平移2个单位，则所得抛物线的表达式为y=x2−2，
故选：B．
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
本题主要考查的是二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数
解析式求得平移后的函数解析式．
3.【答案】C
【解析】解：x2−2x−5=02，
即x2−2x−5=0，
移项得：x2−2x=5，
配方得：x2−2x+1=6，
即(x−1) 2=6，
故选：C．
利用配方法解方程即可．
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 8 25本题考查配方法解一元二次方程，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4.【答案】B
【解析】解：y=(x−2) 2+1的顶点坐标为(2,1)，
故选：B．
由抛物线的性质，求解即可．
此题考查了抛物线的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的有关性质．
5.【答案】A
【解析】解：∵每件商品的利润为(x−30)元，可售出(100−2x)件，
∴根据每天的利润为200元可列的方程为(x−30)(100−2x)=200，
故选A．
一天的利润=(售价−进价)×销售量，把相关数值代入即可．
考查列一元二次方程；得到一天的利润的等量关系是解决本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵二次函数y=2(x−2) 2+1，中a=2>0
b
∴抛物线开口向上，对称轴为x=− =2，
2a
∵B(3,y )，C(4,y )中横坐标均大于2，
2 3
∴它们在对称轴的右侧y >y ．
3 2
A(−3,y )中横坐标小于2，
1
∵它在对称轴的左侧，它关于x=2的对称点为2×2−(−3)=7，
A点的对称点是D(7,y )
1
7>4>3，
∵a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴y >y >y ．
1 3 2
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 9 25故选：D．
先求出二次函数y=2(x−2) 2+1的图象的对称轴，然后判断出A(−3,y )，B(3,y )，
1 2
C(4,y )在抛物线上的位置，再求解．
3
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，本题的关键是找到A点的对称点；掌握二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)的图象性质．
7.【答案】D
【解析】解：∵Δ=b2−4ac=(−2) 2−4×m=4−4m，
∴要使方程有两不相等实数根，则有4−4m>0，
∴m<1；
∴m可以取0，
故选：D．
方程有两个不相等的实数根，则有Δ=b2−4ac>0，据此即可得到关于m的不等式，解不等式即
可得到m的取值范围．
本题主要考查了一元二次方程的相关知识，解题的关键是明确一元二次方程的根与判别式之间的
关系．
8.【答案】A
【解析】解：由图象可知，
当y<0时，x的取值范围是−1<x<2，
故选：A．
根据抛物线与x轴的交点和图象，可以写出当y<0时，x的取值范围．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的
思想解答．
9.【答案】−2(答案不唯一)
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 10 25【解析】解：∵物线与y轴的交点在原点下方，
∴m<0，
∴m的值可以是：−2(答案不唯一)．
故答案为：−2(答案不唯一)．
根据抛物线与y轴的交点在原点下方可知：m<0，由此填写即可．
本题主要考查了二次函数与系数的关系，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
10.【答案】9
【解析】解：∵关于的一元二次方程x2−6x+k=0有两个相等的实数根，
∴Δ=(−6) 2−4k=0，
即36−4k=0，
解得：k=9，
故答案为：9．
根据根的判别式列得方程，解方程即可．
本题考查一元二次方程根的判别式，结合已知条件列得关于k的方程是解题的关键．
11.【答案】7
【解析】解：代入点(1,4)得4=a+b−3，
解得：a+b=7
故答案为：7．
代入点的坐标以后即可得出结论．
本题考查图象与点的关联，能够熟练把点代入解析式是解题关键．
12.【答案】3
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(m+3)x2+x+m2−9=0有一根为0，
∴m2−9=0，m+3≠0，
解得：m=3，
故答案为：3．
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 11 25将x=0代入(m+3)x2+x+m2−9=0中求得m的值，然后根据一元二次方程的定义确定符合题意
的m的值即可．
本题考查一元二次方程的解及其定义，特别注意二次项系数不能为0．
13.【答案】2
【解析】解：设抛物线与x轴的交点为：(x ,0)，(x ,0)，
1 2
∵x +x =−4，x ⋅x =3，
1 2 1 2
∴|x −x |=√(x❑ +x❑ )❑ 2−4x❑ x❑ =√4=2，
1 2 1 2 1 2
∴抛物线y=x2+4x+3在x轴上截得的线段的长度是2．
故答案为：2．
先设出抛物线与x轴的交点，再根据根与系数的关系求出x +x 及x ⋅x 的值，再由完全平方公
1 2 1 2
式求解即可．
本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，能由根与系数的关系得到x +x 及x ⋅x 的值是解答此
1 2 1 2
题的关键．
14.【答案】2026
【解析】解：∵m是方程x2−4x−3=0的一个根，
∴m2−4m−3=0，
解得，m2−4m=3，
∴m2−4m+2023=2023+3=2026，
故答案是：2026．
把x=m代入已知方程可以求得m2−4m=3，所以将其整体代入所求的代数式并求值即可．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，
就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
15.【答案】10
【解析】解：方程分解得：(x−2)(x−4)=0，
可得x−2=0或x−4=0，
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 12 25解得：x=2或x=4，
若2为腰，三角形三边为2，2，4，不能构成三角形，舍去；
若2为底，三角形三边为2，4，4，周长为2+4+4=10，
故答案为：10．
方程利用因式分解法求出解得到x的值，确定出等腰三角形三边，求出周长即可．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
16.【答案】4
【解析】解：观察表格中的x、y的值，可知(−1,2)、(3,2)是对称点，
−1+3
∴抛物线的对称轴是直线x= =1，
2
∵点P(−2,m)，Q(x ,m)是抛物线上不同的两点，
1
−2+x
∴ 1=1，
2
∴x =4，
1
故答案为：4．
根据表格中的点的坐标特点先确定对称轴，由抛物线的对称性即可求解；
本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征、二次函数的性质，解决本题的关键是观察表格数据
确定抛物线的对称轴．
17.【答案】解：(1)∵(x−1) 2=9，
∴x−1=±3，
∴x =4，x =−2；
1 2
(2)∵x2+2x−4=0，
∴x2+2x=4，
则x2+2x+1=4+1，即(x+1) 2=5，
∴x+1=±√5，
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 13 25∴x =−1+√5，x =−1−√5；
1 2
(3)∵(x−4) 2+x(x−4)=0，
∴(x−4)(2x−4)=0，
∴x−4=0或2x−4=0，
解得x =4，x =2；
1 2
(4)∵2x2−3x+1=0，
∴(x−1)(2x−1)=0，
则x−1=0或2x−1=0，
1
解得x =1，x = ．
1 2 2
【解析】(1)利用直接开平方法求解即可；
(2)将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即
可得；
(3)利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求
解即可；
(4)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求
解即可．
本题考查了解一元二次方程，根据题目的特点选择适当的解法，熟练地掌握解一元二次方程的各
种方法是解题的关键．
18.【答案】解：∵抛物线y=2x2+bx+c过点(1,3)和(−1,5)，
{2+b+c=3
∴ ，
2−b+c=5
{b=−1
解得： ，
c=2
∴抛物线的解析式为：y=2x2−x+2．
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 14 25【解析】将(−1,5)，(1,3)代入y=2x2+bx+c求得b，c的值，得到此函数的解析式．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，得到两个关于b、c的方程是解题的关键，也是本题
的难点．
19.【答案】解：设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为(42−3x)米，
依题意，得(42−3x)x=144．
解得x =6，x =8．
1 2
由于x =8>7，所以不合题意，舍去．
2
所以x=6符合题意．
答：生态园垂直于墙的边长为6米．
【解析】设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为(42−3x)米，根据矩形的面积
公式列出方程并解答．
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程并解答．
20.【答案】y=x2+2x−3 −4<y<5
【解析】解：(1)由题意可得二次函数的顶
点坐标为(−1,−4)，
设二次函数的解析式为：y=a(x+1) 2−4，
把点(0,−3)代入y=a(x+1) 2−4，得a=1，
故抛物线解析式为y=(x+1) 2−4，即
y=x2+2x−3；
(2)如图所示：
(3)∵y=(x+1) 2−4，
∴当x=−4时，y=(−4+1) 2−4=5，
当x=−0时，y=−3，
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 15 25又对称轴为x=−1，
∴当−4<x<0时，y的取值范围是−4<y<5．
(1)利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为(−1,−4)，则可设顶点式
y=a(x+1) 2−4，然后把点(0,−3)代入求出a即可；
(2)利用描点法画二次函数图象；
(3)根据x=−4、−2时的函数值即可写出y的取值范围．
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据
题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与
性质．
21.【答案】能
【解析】解：(1)①由表中数据可得顶点(4,2.7)，
设y=a(x−4) 2+2.7(a<0)，
把(0,2.38)代入得16a+2.7=2.38，
解得：a=−0.02，
∴所求函数关系为y=−0.02(x−4) 2+2.7；
②能．
当x=9时，y=−0.02(9−4) 2+2.7=2.3>2.24，
∴该运动员第一次发球能过网，
故答案为：能；
(2)判断：没有出界．
第二次发球：y=−0.02(x−5) 2+2.88，
令y=0，则−0.02(x−4) 2+2.88=0，
，解得x =−87(舍)，x =17，
1 2
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 16 25∵x =17<18，
2
∴该运动员此次发球没有出界．
(1)①由表格中数据得出顶点坐标，设出函数解析式的顶点式，再把(0,2.48)代入解析式求出a
即可⋅；
②当x=9时求出y的值与2.24比较即可；
(2)令y=−0.02(x−4) 2+2.88中的y=0，解方程求出x的值与18比较即可．
本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式．
22.【答案】x=1 x =−1，x =3 x =2，x =−1 k>4
1 2 1 2
【解析】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(0,3)，B(2,3)，
0+2
∴该抛物线的对称轴为直线x= =1，
2
故答案为：x=1；
(2)由(1)知：该抛物线的对称轴为直线x=1，
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点C(−1,0)，
∴该抛物线过点(3,0)，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x =−1，x =3，
1 2
故答案为：x =−1，x =3；
1 2
(3)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点B(2,3)，C(−1,0)，直线y=mx+n(m≠0)经过点B，
C，
∴一元二次方程ax2+bx+c=mx+n的解为x =2，x =−1，
1 2
故答案为：x =2，x =−1；
1 2
(4)设该抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)，
∵该抛物线经过点A(0,3)，
∴3=a(0+1)(0−3)，
解得a=−1，
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 17 25∴y=−(x+1)(x−3)=−x2+2x+3=−(x−1) 2+4，
∴该抛物线的最大值为4，
∵一元二次方程ax2+bx+c−k=0无实数根，则k的取值范围是k>4，
故答案为：k>4
(1)根据抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(0,3)，B(2,3)，可以求得该抛物线的对称轴；
(2)根据(1)中的结果和二次函数具有对称性，可以求得抛物线与x轴的另一个交点，从而可以写
出一元二次方程ax2+bx+c=0的解；
(3)根据抛物线与直线y=mx+n的交点，可以写出一元二次方程ax2+bx+c=mx+n的解；
(4)根据(2)中求出的抛物线与x轴的交点和经过点A(0,3)，可以求得该抛物线的解析式，然后
化为顶点式，即可得到该抛物线的最大值，从而可以写出一元二次方程ax2+bx+c−k=0无实
数根，此时k的取值范围．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象与x轴的交点坐标、二次函数图象上点的坐标特点、一
次函数图象上点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23.【答案】(1)证明：Δ=(2−3m) 2−4×m×(2m−4)
=4−12m+9m2−8m2+16m
=m2+4m+4
=(m+2) 2，
∵(m+2) 2≥0，
∴Δ≥0，
∴方程总有两个实数根；
(2)解：∵mx2+(2−3m)x+(2m−4)=0，
∴[mx+(2−m)](x−2)=0，
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 18 25m−2
∴x = ，x =2．
1 m 2
∵m为整数，且原方程有两个互不相等的正整数根，
∴m=−1．
答：m的值为−1．
【解析】(1)根据方程的系数，结合根的判别式Δ=b2−4ac，可得出Δ=(m+2) 2≥0，进而可证
出方程总有两个实数根；
(2)利用因式分解法，可求出方程的两个实数根，结合m为整数且原方程有两个互不相等的正整
数根，即可得出m的值．
本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：(1)牢记“当Δ≥0时，
方程有两个实数根”；(2)利用因式分解法，求出方程的两个实数根．
4 8
24.【答案】t=4或 <t≤
3 3
【解析】解：(1)y=mx2+2mx+m+4，
=m(x2+2x+1)+4，
=m(x+1) 2+4，
∴抛物线的顶点坐标为(1,4)，
(2)①∵抛物线的对称轴为x=−1，且AB=4(点
A在点B的左侧)，
∴A(−3,0)，B(1,0)，
将B(1,0)代入y=mx2+2mx+m+4得：m+2m+m+4=0，
∴m=−1，
∴抛物线的解析式为：y=−x2−2x+3，
②图象G对应的部分抛物线如图所示：
Ⅰ.当过点P的直线与x轴平行时，直线PQ与图象G只有1个交点，此时t=4，
Ⅱ.当过点P的直线过(0,3)时，直线PQ与图象G只有1个交点，
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 19 25设直线PQ的表达式为：y=kx+3，
将(3,4)代入得：3k+3=4，
1
∴k= ，
3
1
∴y= x+3，
3
8
当x=−1时，t= ，
3
Ⅲ.当过点P的直线过(−3,0)时，直线PQ与图象G的交点在x轴上，
2
此时直线PQ的表达式为：y= x+2，
3
4
当x=−1时，t= ，
3
4 8
综上：t=4或 <t≤ ．
3 3
(1)将y=mx2+2mx+m+4配方即可；
(2)①由抛物线的对称轴为x=−1，且AB=4(点A在点B的左侧)可得A(−3,0)，B(1,0)，代入
抛物线即可；
②分过点P的直线与x轴平行、过点P的直线过(0,3)、过点P的直线过(−3,0)三种情况分别求解
即可．
本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与
坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
25.【答案】√193
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∵AF⊥BE，CG⊥BE，
∴∠AFB=∠BGC=90°，
∴∠ABF=∠BCG=90°−∠CBG，
∴△ABF △BCG(ASA)，
≌
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 20 25∴AF=BG；
(2)解：AD=DF，理由如下：
如图2，过点F作AB，AD的垂线于点H，N，延长AF交BC于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，
∴四边形AHFN是矩形，
∴AH=FN，AN=HF，
∵F为BG中点，
∴BF=GF，
∵AF⊥BG，CG⊥BG，
∴FM//CG，
∴BM=CM，
1
∴FM= CG，
2
由(1)知：△ABF △BCG，
∴BF=CG， ≌
∴BF=CG=FG，
设BF=CG=FG=√5，
1 √5
∴FM= CG= ，
2 2
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 21 25√ 5 5
∴BM=√BF2+FM2= 5+ = ，
4 2
∴AB=AD=BC=2BM=5，
1 1
∵AF=BG=2√5，S = AB⋅FH= AF⋅BF，
△ABF 2 2
∴5FH=2√5×√5，
∴FH=2，
∴AN=FH=2，
∴DN=AD−AN=5−2=3，
∵AH=√AF2−FH2=√(2√5) 2−22=4，
∴FN=AH=4，
∴DF=√DN2+FN2=√32+42=5，
∴AD=DF；
(3)解：线段DF的长是√193.理由如下：
如图3，过点F作AB，AD的垂线于点H，N，
∵AF⊥BE，AB=AD=13，BF=5，
∴AF=√AB2−BF2=12，
∴13FH=12×5，
60
∴FH= ，
13
60
∴AN=FH= ，
13
60 109
∴DN=AD−AN=13− = ，
13 13
√ 60 144
∵AH=√AF2−FH2= 122−( ) 2= ，
13 13
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 22 25144
∴FN=AH= ，
13
√ 109 144 √32617
∴DF=√DN2+FN2= ( ) 2+( ) 2= =√193，
13 13 13
∴线段DF的长是√193．
故答案为：√193．
(1)根据正方形的性质证明△ABF △BCG(ASA)，即可解决问题；
(2)如图2，过点F作AB，AD的垂≌线于点H，N，延长AF交BC于点M，根据正方形的性质利
用勾股定理解答即可；
(3)结合(2)的方法根据正方形的性质利用勾股定理解答即可．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，
勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．
26.【答案】1
【解析】解：设t=m2+n2，则由原方程，得(t+1)(t+3)=15，
整理，得t2+4t−12=0，
即(t+6)(t−2)=0，
解得t=−6(舍去)或t=2．
∵P(m,n)，
∴OP2=m2+n2=2，
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 23 25∴OP=√2(负值不合题意，舍去)．
故答案为：√2．
OP2=m2+n2，设t=m2+n2，则用t代替方程中的m2+n2，将原方程转化为关于t的新方程，通过
解新方程求得t即m2+n2的值即可．
本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
27.【答案】二
【解析】解：∵关于x的方程x2+2x−c=0无实数根，
∴b2−4ac=4+4c<0，
故二次函数y=x2+2x−c的图象与x轴没有交点，
b
∵二次函数y=x2+2x−c的图象开口向上，对称轴为：直线x=− =−1，
2a
∴抛物线顶点在第二象限．
故答案为：二．
首先确定抛物线与x轴没有交点，再利用抛物线开口方向以及对称轴位置得出顶点的位置．
此题主要考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握相关性质得出顶点位置是解题关键．
28.【答案】−1+√7或−1−√7或0或−2
【解析】解：当抛物线y=x2−a(a+2)x+9的顶点在x轴上时，Δ=0，
即Δ=[a(a+2)] 2−4×9=0，
解得a=−1+√7或a=−1−√7；
b a(a+2)
当抛物线y=x2−a(a+2)x+9的顶点在y轴上时，x=− = =0，
2a 2
解得a=0或a=−2．
故答案为：−1+√7或−1−√7或0或−2．
由于抛物线的顶点在坐标轴上，故应分在x轴上与y轴上两种情况进行讨论．
本题考查的是二次函数的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 24 2529.【答案】②③⑤
【解析】解：由于抛物线的开口向下，因此a<0，
由于抛物线的对称轴是直线x=1>0，所以a、b异号，而a<0，所以b>0，
由于抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，因此c>0，
所以abc<0，
因此①不正确；
由图象可知，当x=−1时，y=a−b+c<0，即b−a>c，
因此②正确；
由抛物线的对称性以及图象可知，
当x=2时，y=4a+2b+c>0，
因此③正确；
b
因为对称轴为x=− =1，即2a+b=0，
2a
而当x=−1时，y=a−b+c<0，
所以3a+c<0，
即3a<−c，
因此④不正确；
由于抛物线的顶点坐标为(1,a+b+c)，即x=1时，y的值最大，即a+b+c最大，
当x=m(m≠1)时，y=am2+bm+c<a+b+c，
即a+b>m(am+b)(m≠1)，
因此⑤正确；
综上所述，正确的结论有：②③⑤，
故答案为：②③⑤．
根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，逐项进行判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标与系数a、b、c的
关系是正确判断的前提．
30.【答案】D(1,2)，F(−1,−1) −4≤t<1
【解析】解：(1)∵A(−1,1)，B(1,1)，
∴AB2=4，
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 25 25∵|C A2−CB2|=|(−1−0) 2+(1−4) 2−[(1−0) 2+(1−4) 2 ]|=0，
∴|C A2−CB2|≠AB2，
∴点C不是线段AB的垂点；
∵|D A2−DB2|=|(1+1) 2+(2−1) 2−[(1−1) 2+(2−1) 2 ]|=4，
∴|DA2−DB2|=AB2，
∴点D是线段AB的垂点；
∵|E A2−EB2|=|(3+1) 2+(−2−1) 2−[(3−1) 2+(−2−1) 2 ]=12，
∴|EA2−EB2|≠AB2，
∴点E不是线段AB的垂点；
∵|F A2−FB2|=|(−1+1) 2+(−1−1) 2−[(−1−1) 2+(−1−1) 2 ]=4，
∴|F A2−FB2|=AB2，
∴点F是线段AB的垂点；
综上所述，点D、F是线段AB的垂点；
故答案为：D(1,2)，F(−1,−1)；
(2)①当t=0时，点P(0,1)，Q(2,0)，
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 26 251 1
设点M是直线y=− x+b上存在的线段PQ的等垂点，则M(m,− m+b)，
2 2
过点M作MG⊥y轴于点G，过点M'作M'H⊥y轴于点H，
∴MP=PQ，MP⊥PQ，
∴∠PGM=∠QOP=90°，
∴∠MPG+∠PMG=90°，∠QPO+∠MPG=90°，
∴∠PMG=∠QPO，
∴△PMG △QPO(AAS)，
∴MG=O≌P=1，PG=OQ=2，
∴OG=OP+PG=1+2=3，
∴M(1,3)，
{
m=1
∴ 1 ，
− m+b=3
2
{m=1
解得： 7；
b=
2
同理可得：M'(−1,−1)，
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 27 25{
m=−1
∴ 1 ，
− m+b=−1
2
{m=−1
解得： 3；
b=−
2
7 3
∴b的值为 或− ；
2 2
②∵P(t,1)，Q(t+2,0)．
∴线段PQ的垂点一定在直线y=2x+b'上，
把C(0,4)代入y=2x+b'，得b'=4，
当Q(t+2,0)在直线y=2x+4上时，0=2(t+2)+4，
解得：t=−4，
把B(1,1)代入y=2x+b'，得b'=−1，
当P(t,1)在直线y=2x−1上时，1=2t−1，
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 28 25解得：t=1，
∴t的取值范围是−4≤t<1；
故答案为：−4≤t<1．
(1)根据新定义“线段AB的垂点”，即可判断得出答案；
1
(2)①当t=0时，点P(0,1)，Q(2,0)，则线段PQ的等垂点为M(m,− m+b)，过点M作
2
MG⊥y轴于点G，过点M'作M'H⊥y轴于点H，可证得△PMG △QPO(AAS)，进而可得
≌
1
M(1,3)或(−1,−1)，代入M(m,− m+b)，即可求得b的值；
2
②根据新定义“线段AB的垂点”，线段PQ的垂点一定在直线y=2x+b'上，分别求得t的最小
值和最大值即可得出答案．
本题综合性比较强，考查了学生对平面直角坐标系和点的坐标的理解，要掌握正方形的性质，学
会对动点在直线上运动进行几何模型构建，能充分利用数形结合思想解决实际问题．
第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 29 25
