文档内容
2020-2021学年北京市海淀区育英中学八年级（上）期末数学试
卷（五四学制）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．关于x的方程x2﹣2mx﹣m﹣1＝0的根的情况（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能确定
2．直角三角形的斜边为20cm，两直角边之比为3：4，那么这个直角三角形的周长为（
）
A．27cm B．30cm C．40cm D．48cm
3．方程2x2+3x﹣4＝0的两根倒数之和为（ ）
A． B．﹣
C． D．以上答案都不对
4．如图，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
5．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传
染的人数为（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
6．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的
面积是矩形ABCD的面积的（ ）A． B． C． D．
7．若ab＞0，bd＜0，一次函数y＝﹣ x﹣ 的图象大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知P （﹣3，y ）、P （2，y ）是y＝﹣2x+1的图象上的两个点，则y 、y 的大小关
1 1 2 2 1 2
系是（ ）
A．y ＞y B．y ＝y C．y ＜y D．不能确定
1 2 1 2 1 2
9．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重
合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2
10．如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）
之间的关系，则以下说法错误的是（ ）
A．若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元
B．若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元C．若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多
D．若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分
二、填空题（每题3分，共24分）
11．方程2x（x﹣3）＝5（x﹣3）的根是 ．
12．在继承和发扬红色学校光荣传统，与时俱进，把育英学校建成一所文明的、受社会尊
敬的学校升旗仪式上，如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米，若将绳
子拉直，则绳端离旗杆底端的距离（BC）有5米．则旗杆的高度 ．
13．如果方程2x2+kx﹣6﹣k＝0的一个根是﹣3，那么另一个根是 ，k＝ ．
14．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，已知DF＝
5，则AE＝ ．
15．将直线y＝﹣2x﹣3向左平移2个单位得到直线解析式 ．
16．如图是某汽车行驶的路程s（km）与时间t（min）的函数关系图．当16≤t≤30时，s
与t的函数关系式为 ．
17．直线 l ：y＝x+1 与直线 l ：y＝mx+n 相交于点 P（a，2），则关于 x 的不等式
1 2
x+1≥mx+n的解集为 ．18．正方形ABCD的边长为4，点M，N在对角线AC上（可与点A，C重合），MN＝2，
点P，Q在正方形的边上．下面四个结论中，
存在无数个四边形PMQN是平行四边形；
①存在无数个四边形PMQN是菱形；
②存在无数个四边形PMQN是矩形；
③至少存在一个四边形PMQN是正方形．
④所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（19题5分，20题4分，21、22、23、24、25题都是每题6分，26题7分，共
46分）
19．（5分）解方程：x2+5x﹣14＝0．
20．（4 分）如图所示，工人师傅做一个矩形铝合金窗框分下面三个步骤进行：
（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图 所示），使AB＝CD，EF＝GH．
（2）摆放成如图 的四边形，则这时窗框的形①状是平行四边形，它的依据是 ．
（3）将直尺紧靠②窗框的一个角（如图 ），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边
与窗框无缝隙时（如图 ，说明窗框合③格，这时窗框是矩形，它的依据是 ．
21．（6分）在平面直角坐④标系xOy中，一次函数的图象经过点A（1，﹣3）和B（2，
0）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若以O、A、B、C为顶点的四边形为菱形，则点C的坐标为 （直接写出答
案）．22．（6分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
23．（6分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为 4
万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平
均每年增长的百分率为x．
（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为 万元；
（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率
x．
24．（6分）已知：如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，延长AD至F，使DF＝AE，
连接CF．
（1）判断四边形EBCF的形状，并证明；
（2）若AF＝9，CF＝3，求CD的长．
25．（6分）已知直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C是x轴上一定点，
其坐标为C（1，0），一个动点P从原点出发沿O﹣B﹣A﹣C﹣O方向移动，连接PC．
（1）当线段PC与线段AB平行时，求点P的坐标，并求此时△POC的面积与△AOB的
面积的比值．
（2）当△AOB被线段PC分成的两部分面积相等时，求线段PC所在直线的解析式；
（3）若△AOB被线段PC分成的两部分面积比为1：5时，求线段PC所在直线的解析式．
26．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P（点P在M内部或M上），给出
如下定义：如果图形M上存在点Q，使得0≤PQ≤2，那么称点P为图形M的和谐点．
已知点A（﹣4，3），B（﹣4，﹣3），C（4，﹣3），D（4，3）．
（1）在点P （﹣2，1），P （﹣1，0），P （3，3）中，矩形ABCD的和谐点是
1 2 3
；
（2）如果直线y＝ x+ 上存在矩形ABCD的和谐点P，直接写出点P的纵坐标t的取
值范围；
（3）如果直线y＝ x+b上存在矩形ABCD的和谐点E，F，使得线段EF上的所有点
（含端点）都是矩形ABCD的和谐点，且EF＞2 ，直接写出b的取值范围．2020-2021学年北京市海淀区育英中学八年级（上）期末数学试
卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．关于x的方程x2﹣2mx﹣m﹣1＝0的根的情况（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能确定
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以
了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．
【解答】解：关于x的方程x2﹣2mx﹣m﹣1＝0中，a＝1，b＝﹣2m，c＝﹣m﹣1，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×（﹣m﹣1）＝（2m+1）2+3＞0．
∴有两个不相等的实数根．
故选：B．
2．直角三角形的斜边为20cm，两直角边之比为3：4，那么这个直角三角形的周长为（
）
A．27cm B．30cm C．40cm D．48cm
【分析】根据两直角边之比，设出两直角边，再由已知的斜边，利用勾股定理求出两直
角边，即可得到三角形的周长．
【解答】解：根据题意设直角边分别为3xcm与4xcm，由斜边为20cm，
根据勾股定理得：（3x）2+（4x）2＝202，
整理得：x2＝16，
解得：x＝4，
∴两直角边分别为12cm，16cm，
则这个直角三角形的周长为12+16+20＝48cm．
故选：D．
3．方程2x2+3x﹣4＝0的两根倒数之和为（ ）
A． B．﹣C． D．以上答案都不对
【分析】设方程2x2+3x﹣4＝0的两根为 、 ，根据韦达定理得 + ＝﹣ ， ＝﹣2，
α β α β αβ
再代入 ＝ 即可得．
【解答】解：设方程2x2+3x﹣4＝0的两根为 、 ，
α β
则 + ＝﹣ ， ＝﹣2，
α β αβ
∴ ＝ ＝ ＝ ，
故选：A．
4．如图，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【解答】解：A、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形 ABCD为
平行四边形，故此选项不合题意；
B、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形 ABCD为平行四边形，
故此选项不合题；
C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，
故此选项不合题意；
故选：C．
5．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传
染的人数为（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
【分析】本题考查增长问题，应理解“增长率”的含义，如果设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，那么由题意可列出方程，解方程即可求解．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，
第一轮过后有（1+x）个人感染，第二轮过后有（1+x）+x（1+x）个人感染，
那么由题意可知1+x+x（1+x）＝100，
整理得，x2+2x﹣99＝0，
解得x＝9或﹣11，
x＝﹣11不符合题意，舍去．
那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人．
故选：B．
6．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的
面积是矩形ABCD的面积的（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题主要根据矩形的性质，得△EBO≌△FDO，再由△AOB与△OBC同底等
高，△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的 得出结论．
【解答】解：∵四边形为矩形，
∴OB＝OD＝OA＝OC，
在△EBO与△FDO中，
∵ ，
∴△EBO≌△FDO（ASA），
∴阴影部分的面积＝S△AEO +S△EBO ＝S△AOB ，
∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的 ，
∴S△AOB ＝S△OBC ＝ S矩形ABCD ．
故选：B．7．若ab＞0，bd＜0，一次函数y＝﹣ x﹣ 的图象大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，ab＞0，bc＜0，则 ＞0， ＜0，进而在一次函数y＝﹣ x﹣ 中
有﹣ ＜0，﹣ ＞0，结合一次函数图象的性质，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，ab＞0，bd＜0，
则 ＞0， ＜0，
∴﹣ ＜0，﹣ ＞0，
故其图象过一二四象限，
即C符合，
故选：C．
8．已知P （﹣3，y ）、P （2，y ）是y＝﹣2x+1的图象上的两个点，则y 、y 的大小关
1 1 2 2 1 2
系是（ ）
A．y ＞y B．y ＝y C．y ＜y D．不能确定
1 2 1 2 1 2
【分析】分别把P （﹣3，y ）、P （2，y ）代入y＝﹣2x+1，求出y 、y 的值，并比较
1 1 2 2 1 2
出其大小即可．
【解答】解：∵P （﹣3，y ）、P （2，y ）是y＝﹣2x+1的图象上的两个点，
1 1 2 2
∴y ＝6+1＝7，y ＝﹣4+1＝﹣3，
1 2
∵7＞﹣3，
∴y ＞y ．
1 2
故选：A．
9．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2
【分析】根据折叠的条件可得：BE＝DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．
【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．
∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．
∴BE＝9﹣AE，
根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．
解得AE＝4．
∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选：C．
10．如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）
之间的关系，则以下说法错误的是（ ）
A．若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元
B．若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元
C．若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多
D．若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分
【分析】当B方案为50元时，A方案如果是40元或者60元，才能使两种方案通讯费用
相差10元，先求两种方案的函数解析式，再求对应的时间．
【解答】解：A方案的函数解析式为：y ＝ ；
A
B方案的函数解析式为：y ＝ ；
B当B方案为50元，A方案是40元或者60元时，两种方案通讯费用相差10元，
将y ＝40或60代入，得x＝145分或195分，故D错误；
A
观察函数图象可知A、B、C正确．
故选：D．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．方程2x（x﹣3）＝5（x﹣3）的根是 x ＝ 3 或 x ＝ ．
【分析】观察原方程，两项都含有因式（x﹣3），因此可先移项，然后用提取公因式法
求解．
【解答】解：原方程可化为：2x（x﹣3）﹣5（x﹣3）＝0，
（2x﹣5）（x﹣3）＝0，
2x﹣5＝0或x﹣3＝0，
解得：x ＝ ，x ＝3；
1 2
故原方程的解为x＝3或x＝ ．
12．在继承和发扬红色学校光荣传统，与时俱进，把育英学校建成一所文明的、受社会尊
敬的学校升旗仪式上，如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米，若将绳
子拉直，则绳端离旗杆底端的距离（BC）有5米．则旗杆的高度 1 2 米 ．
【分析】设旗杆的高度是x米，绳子长为（x+1）米，旗杆，拉直的绳子和BC构成直角
三角形，根据勾股定理可求出x的值，从而求出旗杆的高度．
【解答】解：设旗杆的高度为x米，根据题意可得：
（x+1）2＝x2+52，
解得：x＝12，
答：旗杆的高度为12米．
故答案为：12米．
13．如果方程2x2+kx﹣6﹣k＝0的一个根是﹣3，那么另一个根是 ，k＝ 3 ．【分析】设方程的另一个根为m，根据韦达定理列出关于m、k的方程组，解之即可．
【解答】解：设方程的另一个根为m，
根据题意得： ，
解得： ，
故答案为： ，3．
14．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，已知DF＝
5，则AE＝ 5 ．
【分析】根据三角形中位线定理求出BC，根据直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵D，F分别为AB，AC的中点，
∴DF是△ABC 的中位线，
∴BC＝2DF＝10，
在Rt△ABC中，E为BC的中点，
∴AE＝ BC＝5，
故答案为：5．
15．将直线y＝﹣2x﹣3向左平移2个单位得到直线解析式 y ＝﹣ 2 x ﹣ 7 ．
【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此
题得解．
【解答】解：y＝﹣2（x+2）﹣3＝﹣2x﹣7．
故答案为：y＝﹣2x﹣7．
16．如图是某汽车行驶的路程s（km）与时间t（min）的函数关系图．当16≤t≤30时，s
与t的函数关系式为 S ＝ 2 t ﹣ 2 0 ．【分析】由函数图象利用待定系数法求出S与t的函数关系式即可．
【解答】解：由函数图象得，当 16≤t≤30时，函数图像过点（16，12）和（30，
40），
设S与t的函数关系式为：S＝kt+b，
将（16，12），（30，40）代入得：
，
解得： ，
故当16≤t≤30时，S与t的函数关系式为：S＝2t﹣20．
故答案为：S＝2t﹣20．
17．直线 l ：y＝x+1 与直线 l ：y＝mx+n 相交于点 P（a，2），则关于 x 的不等式
1 2
x+1≥mx+n的解集为 x ≥ 1 ．
【分析】首先把P（a，2）坐标代入直线y＝x+1，求出a的值，从而得到P点横坐标，
再根据函数图象可得答案．
【解答】解：将点P（a，2）坐标代入直线y＝x+1，得a＝1，
从图中直接看出，当x≥1时，x+1≥mx+n，
故答案为：x≥1．
18．正方形ABCD的边长为4，点M，N在对角线AC上（可与点A，C重合），MN＝2，
点P，Q在正方形的边上．下面四个结论中，
存在无数个四边形PMQN是平行四边形；
①存在无数个四边形PMQN是菱形；
②存在无数个四边形PMQN是矩形；
③至少存在一个四边形PMQN是正方形．
④所有正确结论的序号是 ．
【分析】根据正方形的判①定和②性④质，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的
判定定理即可得到结论．
【解答】解：如图，作线段MN的垂直平分线交AD于P，交AB于Q．
∵PQ垂直平分线段MN，
∴PM＝PN，QM＝QN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PAN＝∠QAN＝45°，
∴∠APQ＝∠AQP＝45°，
∴AP＝AQ，
∴AC垂直平分线段PQ，
∴MP＝MQ，
∴四边形PMQN是菱形，
在MN运动过程中，这样的菱形有无数个，当点M与A或C重合时，四边形PMQN是
正方形，
∴ 正确，
故①答案②为④ ．
三、解答题（①1②9题④5分，20题4分，21、22、23、24、25题都是每题6分，26题7分，共
46分）
19．（5分）解方程：x2+5x﹣14＝0．
【分析】首先对方程的左边因式分解，然后讨论求值．
【解答】解：原方程可化为（x﹣2）（x+7）＝0．（2分）
得x﹣2＝0或x+7＝0，（1分）
解得x＝2或x＝﹣7．（1分）
所以，原方程的根为x ＝2，x ＝﹣7．（1分）
1 2
20．（4 分）如图所示，工人师傅做一个矩形铝合金窗框分下面三个步骤进行：（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图 所示），使AB＝CD，EF＝GH．
（2）摆放成如图 的四边形，则这时窗框的形①状是平行四边形，它的依据是 两组对
边分别相等的四边②形是平行四边形 ．
（3）将直尺紧靠窗框的一个角（如图 ），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边
与窗框无缝隙时（如图 ，说明窗框合③格，这时窗框是矩形，它的依据是 有一个角是
直角的平行四边形是矩形④ ．
【分析】根据平行四边形，矩形的判定问题，掌握其判定定理，即可作答．
【解答】解：（2）它的依据是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）它的依据是：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是
矩形．
21．（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点A（1，﹣3）和B（2，
0）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若以O、A、B、C为顶点的四边形为菱形，则点C的坐标为 （ 1 ， 3 ） （直接
写出答案）．
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）由于AO＝AB，于是可判断菱形为OABC，再根据菱形的性质得点C与点A关于y
轴对称，然后根据关于y轴对称的点的坐标特征写出C点坐标．【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
把A（1，﹣3）、B（2，0）代入得 ，解得 ，
所以一次函数解析式为y＝3x﹣6；
（2）如图，因为OA＝AB，
所以以O、A、B、C为顶点的菱形的对角线为OB和AC，
因为OB与AC互相垂直平分，
所以点C与点A关于y轴对称，
所以C点坐标为（1，3）．
故答案为（1，3）．
22．（6分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
【分析】（1）先计算判别式的值得到△＝（m+2）2﹣4m×2＝（m﹣2）2，再根据非负
数的值得到△≥0，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根；
（2）利用因式分解法解方程得到x ＝1，x ＝ ，然后利用整数的整除性确定正整数m
1 2
的值．
【解答】（1）证明：∵m≠0，
△＝（m+2）2﹣4m×2
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2，
而（m﹣2）2≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）＝0，
x﹣1＝0或mx﹣2＝0，
∴x ＝1，x ＝ ，
1 2
当m为正整数1或2时，x 为整数，
2
即方程的两个实数根都是整数，
∴正整数m的值为1或2．
23．（6分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为 4
万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平
均每年增长的百分率为x．
（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为 2. 6 （ 1+ x ） 2 万元；
（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率
x．
【分析】（1）根据增长率问题由第1年的可变成本为2.6万元就可以表示出第二年的可
变成本为2.6（1+x），则第三年的可变成本为2.6（1+x）2，故得出答案；
（2）根据养殖成本＝固定成本+可变成本建立方程求出其解即可
【解答】解：（1）由题意，得
第3年的可变成本为：2.6（1+x）2，
故答案为：2.6（1+x）2；
（2）由题意，得
4+2.6（1+x）2＝7.146，
解得：x ＝0.1，x ＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
1 2
答：可变成本平均每年增长的百分率为10%．
24．（6分）已知：如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，延长AD至F，使DF＝AE，
连接CF．
（1）判断四边形EBCF的形状，并证明；
（2）若AF＝9，CF＝3，求CD的长．【分析】（1）根据菱形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，求出EF＝BC，根据平行四边
形的判定得出四边形EBCF是平行四边形，根据矩形的判定得出即可；
（2）根据勾股定理求出AB，根据菱形的性质得出即可．
【解答】（1）四边形EBCF是矩形，
证明：∵四边形ABCD菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
又∵DF＝AE，
∴DF+DE＝AE+DE，
即：EF＝AD，
∴EF＝BC，
∴四边形EBCF是平行四边形，
又∵BE⊥AD，
∴∠BEF＝90°．
∴四边形EBCF是矩形；
（2）∵四边形ABCD菱形，
∴AD＝CD．
∵四边形EBCF是矩形，
∴∠F＝90°，
∵AF＝9，CF＝3，
∴设CD＝x，则DF＝9﹣x，
∴x2＝（9﹣x）2+32，
解得：x＝5，
∴CD＝5．
25．（6分）已知直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C是x轴上一定点，
其坐标为C（1，0），一个动点P从原点出发沿O﹣B﹣A﹣C﹣O方向移动，连接PC．
（1）当线段PC与线段AB平行时，求点P的坐标，并求此时△POC的面积与△AOB的面积的比值．
（2）当△AOB被线段PC分成的两部分面积相等时，求线段PC所在直线的解析式；
（3）若△AOB被线段PC分成的两部分面积比为1：5时，求线段PC所在直线的解析
式．
【分析】（1）根据题意，可得出点A，B的坐标；当线段PC与线段AB平行时，画出
图形，分别求出△POC的面积与△AOB的面积，再求比值；
（2）由（1）可得，点C是线段OA的中点，当△AOB被线段PC分成的两部分面积相
等时，点P与点B重合；
（3）需要分类讨论，当点P在线段AB上，当点P在线段OB上时，进行讨论．
【解答】解：根据题意可画出图形，如图所示，
∵直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B，
∴A（2，0），B（0，2），
∴OA＝OB＝2，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∴ ．
（1）当线段PC与线段AB平行时，可画出图形，
设PC所在直线为：y＝﹣x+m，∵C（1，0），
∴﹣1+m＝0，解得，m＝1，
∴PC所在直线的解析式为：y＝﹣x+1，
∴P（0，1）；
此时， ，
∴ ．
故答案为：P（0，1）；△POC的面积与△AOB的面积的比值为 ．
（2）由题意可知，点C是线段OA的中点，当△AOB被线段PC分成的两部分面积相等
时，点P与点B重合，
此时P（0，2），
设PC所在直线的解析式为：y＝kx+b，
∴ ，解得， ，
∴线段PC所在直线的解析式为：y＝﹣2x+2．
（3）根据题意，需要分类讨论：
当点P在线段AB上时，如图所示，此时 ，
①
过点P作PD⊥x轴于点D，
∴ ，解得 ，
∴AD＝PD＝ ，
∴OD＝OA﹣AD＝2﹣ ＝ ，∴P（ ， ），
设线段PC所在直线的解析式：y＝k x+b ，
1 1
∴ ，解得， ，
∴线段PC所在直线的解析式：y＝4x﹣4；
当点P在线段OB上时，如图所示，此时 ，
②
∴ ，解得， ，
∴P（0， ），
设线段PC所在直线的解析式：y＝k x+b ，
2 2
∴ ，解得， ，
∴线段PC所在直线的解析式：y＝ x+ ；
综上可知，线段PC所在直线的解析式为：y＝4x﹣4或y＝ x+ ．
26．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P（点P在M内部或M上），给出
如下定义：如果图形M上存在点Q，使得0≤PQ≤2，那么称点P为图形M的和谐点．
已知点A（﹣4，3），B（﹣4，﹣3），C（4，﹣3），D（4，3）．（1）在点P （﹣2，1），P （﹣1，0），P （3，3）中，矩形 ABCD的和谐点是
1 2 3
P ， P ；
1 3
（2）如果直线y＝ x+ 上存在矩形ABCD的和谐点P，直接写出点P的纵坐标t的取
值范围；
（3）如果直线y＝ x+b上存在矩形ABCD的和谐点E，F，使得线段EF上的所有点
（含端点）都是矩形ABCD的和谐点，且EF＞2 ，直接写出b的取值范围．
【分析】（1）如图1中，根据点P为图形M的和谐点的定义，观察图象可知P ，P 是
1 3
矩形ABCD的和谐点．
（2）如图2中，求出满足条件的点知P ，P ，P ，P 的坐标即可判断．
1 2 3 4
（3）当b＝3时，图中线段EF上的点都是和谐点，且EF＝ ． 当b＝2时，图中线
段E'F'上的点都是和谐点，且EF＞ ．观察图象可知：满足条件的b的值为2≤b＜
3．根据对称性，同法可证，当﹣3＜b≤﹣2时，也满足条件．
【解答】解：（1）如图1中，根据点P为图形M的和谐点的定义，观察图象可知P ，
1
P 是矩形ABCD的和谐点．
3故答案为：P ，P ．
1 3
（2）如图2中，
当直线 y＝ x+ 上的点 P 到直线 AB 的距离为 2 时，可得 ，同时
也满足条件，
由题意，此时P ，P 是矩形的和谐点，
1 2
观察图象可知：当﹣4≤t≤﹣2时，点P是矩形的和谐点；
当直线y＝ x+ 上的点P到直线AD的距离为2时，可得P （﹣1，1），同时P （3，
4 3
3）也满足条件，
观察图象可知：当﹣1≤t≤3时，点P是矩形的和谐点；
综上所述，满足条件的t的值为﹣4≤t≤﹣2或﹣1≤t≤3．（3）如图3中，
当b＝3时，图中线段EF上的点都是和谐点，且EF＝ ．
当b＝2时，图中线段E'F'上的点都是和谐点，且EF＞ ．
观察图象可知：满足条件的b的值为2≤b＜3．
根据对称性，同法可证，当﹣3＜b≤﹣2时，也满足条件．
综上所述，满足条件的b的值为：2≤b＜3或﹣3＜b≤﹣2．
