文档内容
北京市海淀区首都师大附中2023-2024学年八年级上学期月考数学试卷（10月
份）
阅卷人
一、选择题
得分
1．以下是用电脑字体库中的一种篆体写出的“诚信友善”四字，若把它们抽象为几何图形，从整体观察
（个别细微之处的细节可以忽略不计），其中大致是轴对称图形的是 （ ）
A． B． C． D．
2．十二边形的每个内角都相等，它的一个外角的度数是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
3．如图，在一个规格为4×8的球台上，有两个小球P和Q．若击打小球P经过球台的边AB反弹后，恰
好击中小球Q，则小球P击出时，应瞄准AB边上的 （ ）
A．点O1 B．点O2 C．点O3 D．点O4
4．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，延长CP，DP交OB，OA于点E，F．下列
结论错误的是 （ ）
A．PC＝PD B．OC＝OD
C．∠CPO＝∠DPO D．PC＝PE
5．如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A=60°，∠BDC=95°，则
∠BDE的度数为 （ ）
1 / 22A．30° B．35° C．45° D．50°
6．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE垂直平分AB，下列说法不一定正确的是 （ ）
A．AE＝BE B．∠AED+∠EBC＝90°
C．∠DAE＝∠EBC D．∠BAE＝∠CAE
7．如图，已知∠ACB=60°，PC=12，点M，N在边CB上，PM=PN．若MN=3，则CM的长为 （ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
8．如图，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则下列四个结论：
①AP平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．其中正确的个数是 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
阅卷人
二、填空题
得分
9．如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件
2 / 22，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．
10．如图，将一张长方形纸片ABCD按图中方式进行折叠，若AE=3，BE=5，则重叠部分的面积是
．
11．已知点M（1-a，2），若点M关于x轴的对称点在第三象限，则a的取值范围是 ．
12．如图，△ABC≌△DEC，∠A＝70°， ∠ACB=60°， 则∠E的度数为 ．
13．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2
小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为 海里．
14．如图，AC平分∠BAD，AB∥CD， BC=4， ∠BAD＝30°，∠B＝90° ，则CD的长为 ．
15．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于
．
16．如图，在△ABC中，AC＝BC， 以点A为圆心， AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E．
3 / 221
再分别以点C， D为圆心， 大于 CD的长为半径作弧， 两弧相交于F，G两点．作直线FG，若直线
2
FG经过点E ，则∠AEG的度数为 °．
阅卷人
三、解答题
得分
17．如图，已知线段AB与直线平行．
（1）作∠CAB的角平分线AE交直线CD于点E（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若AE的中点为F， 连接BF并延长交直线CD于点G， 请用等式表示线段
AB，AC ，CG之间的数量关系： ．
18．已知：如图，点A、D、C在同一直线上，AB∥EC，AC=CE，∠B=∠EDC．求证：BC=DE．
19．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC，且AE=BD，连
接AE交BC于点F，交BD于点H．
4 / 22（1）求证：CE＝AD；
（2）当AD＝CF时，求证：H是AF的中点．
20．已知△ACD中，AC=AD，∠CAD=α，∠PAC=30°，将点C关于直线AP对称，得到点B，连接
BA．
（1）连接BD，
①依题意，在图1中补全图形；
②若α＝80°，则∠BDC的度数为 ▲ ；
③当α的度数发生变化时，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数 ；若改变，
请说明理由．
（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B＝∠ACD， 连接CE，DE．若α＝90°．求证：
CE⊥ED．
5 / 22答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称的特点
“善”沿笔画“竖”折叠后，两边的部分基本能完全重合，
∴“善”是轴对称图形。
故答案为：D
【分析】根据轴对称图形的定义，在同一平面内沿一条直线折叠，直线两边的部分能完全重合的图形就
是轴对称图形。
2．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解： ∵十二边形的每个内角都相等
∴十二边形是正十二边形
∴12个外角都相等
∵多边形外角和是360°
∴每个外角度数：360°÷12=30°
故答案为：A
【分析】根据正多边形的定义先判定为正十二边形，再根据正多边形的性质得到每个外角都相等；最后
根据多边形外角和是360°的定理进行计算。
3．【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：根据轴对称的性质，如图所示，
入射的角度等于反射的角度，小球P经过球台的边O2点反弹后，路径经过Q点即恰好击中Q。
6 / 22故答案为：B
【分析】当小球P的路径形成的入射的角度等于反射的角度且反射角的路径经过Q点时，即为击中小球
Q；找到P关于AB的对称点P'，连接QP'，交AB于O2，根据轴对称和对顶角相等可知符合条件的是点
O2。
4．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：
A：PC＝PD，结论正确，角平分线上的点到角两边的距离相等
B：OC＝OD，结论正确，角平分线上的点到角两边的距离相等加上共边，可证得OC和OD所在的两直
角三角形全等，则对应边相等
C：∠CPO＝∠DPO，结论正确，角平分线上的点到角两边的距离相等加上共边，可证得OC和OD所在
的两直角三角形全等，则对应角相等
D：PC＝PE，结论错误，PC等于PD，不等于PE。
故答案为：D
【分析】根据角平分线性质和全等三角形的判定定理及其性质，可知A、B、C结论正确，D错误。
5．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∠BDC是三角形ABD的外角
∴∠BDC=∠A+∠ABD
∴∠ABD=∠BDC−∠A=95°−60°=35°
∵BD是∠ABC的平分线
∴∠ABD=∠DBC=35°
∵DE∥BC
∴∠BDE=∠DBC=35°
故答案为：B
【分析】根据三角形外角的性质、角平分线定义及平行线性质可求得∠BDE的度数。
6．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：
7 / 22A：AE＝BE，说法正确，不符合题意，∵DE垂 直 平∴分AAEB=BE
B：∠AED+∠EBC＝90°，说法正确，不符合题意，
∵DE垂 直 平∴分∠AABED=∠BED且∠BED+∠DBE=90°
∵BE平分∠ABC∴∠DBE=∠EBC
∴∠AED+∠EBC=90°
C：∠DAE＝∠EBC，说法正确，不符合题意，
∵DE垂 直 平∴分∠ADBAE=∠DBE
∵BE平分∠ABC∴∠DBE=∠EBC
∴∠DAE=∠EBC
D：∠BAE＝∠CAE，说法不一定正确，符合题意，只有AE平分 ∠BAC时，本说法才成立。
故答案为：D
【分析】根据垂直平分线性质和角平分线定义，推导各结论的真伪，发现只有D不一定正确。
7．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点P作PD⊥CB于D
∵∠ACB=60°∴∠PDC=30°
1 1
∴CD= PC= ×12=6（30°角所对的直角边等于斜边的一半）
2 2
∵PM＝PN，PD⊥CB
1 1 3
∴MD= MN= ×3=
2 2 2
3 9
∴CM=CD−MD=6− =
2 2
即CM=4.5
故答案为：D
8 / 22【分析】题中给出特殊角60°角，想到作PD⊥CB于D制造出直角三角形，利用30°角定理可以CD的长；
题中给出等边，根据等腰三角形的三线合一定理可知MD的长，故CM的长可求。
8．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：
①AP平分∠BAC；
∵PR=PS，PR⊥AB
∴PA是顶角平分线
即AP平分∠BAC
故①结论成立
②AS＝AR；
Rt△ARP和Rt△ASP中
{PR=PS
AP=AP
∴Rt△ARP≌Rt△ASP(HL)
∴AS=AR
故②结论成立
③QP∥AR
∵Rt△ARP≌Rt△ASP
∴∠RAP=∠SAP
∵AQ＝PQ
∴∠APQ=∠SAP
∴∠RAP=∠APQ
∴QP∥AR
故③结论成立
④△BRP≌△QSP
∵△ABC为等边三角形
∴∠B=∠C=∠BAC=60°
∴∠PAR=∠PAS=∠QPA=30°
∴∠PQS=60°
在△BRP和△QSP中
9 / 22{
∠B=∠PQS
∠BRP=∠QSP
PR=PS
∴△BRP≌△QSP(AAS)
故④结论成立
综上，4个结论都正确
故答案为：D
【分析】根据等腰三角形三线合一定理可判断结论正确；根据线段所在三角形全等判定结论正确；根据
全等得到对应角相等，等边对等角定理得到等角，等量代换后根据内错角相等两直线平行进行判定；通
过等边三角形性质推导全等条件，由AAS定理判定全等。
9．【答案】AB＝ED（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解： Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，
∴∠BCA=∠DFE
若AB=ED
则符合AAS定理，Rt△ABC和Rt△EDF全等
若BC=DF
则符合AAS定理，Rt△ABC和Rt△EDF全等
若AC=EF
则符合ASA定理，Rt△ABC和Rt△EDF全等
答案不唯一
故答案为：AB=ED(答案不唯一)
【分析】根据已知条件和三角形全等的判定定理可补充条件，答案不唯一。
10．【答案】10
【知识点】平行线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
10 / 22【解析】【解答】解：如图，
根据折叠性质
∠1=∠2
∵ABCD是长方形
∴AB=√BE2−AE2=√52−32=4
∴由对边平行易知∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴DE=BE=5
1 1
∴S = DE×AB= ×5×4=10
重叠 2 2
故答案为：10
【分析】观察图形可知要求重叠部分的面积，高AB通过勾股定理易求，要求底DE，如果通过AD-AE
来求，AD在现有条件下无从入手，根据折叠性质和平行线的性质，由等角对等边定理可求证DE=BE=5
至此重叠部分面积可求。
11．【答案】a>1
【知识点】轴对称的性质；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点M关于x轴的对称点在第三象限
∴点M（1-a，2）在第二象限
∴1−a<0
∴a>1
故答案为：a>1
【分析】关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，M关于x轴的对称点在第三
象限，则M点在第二象限。根据第二象限点的特征：横坐标小于0、纵坐标大于0可得a>1。
11 / 22（审核老师，本套题题目本身存在乱码较多，根据网查进行解答和分析，如果有不符合出题者意图之处，
请不要直接扣款，麻烦退回，解题不易，已经碰到不是我的原因的2笔扣款了，请理解。感谢）
12．【答案】50°
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEC
∴∠E=∠B
∵∠A+∠ACB+∠B=180°
∴∠B=180°−∠A−∠ACB=180°−70°−60°=50°
故答案为：50°
【分析】根据全等三角形的性质对应角相等，将问题转化为求∠B，根据三角形内角和定理，∠B易求，
故∠E的度数可求。
13．【答案】80
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：根据题意
MN=2×40=80海里
如图，由平行知
∠M=70°，∠N=40°
∴∠NPM=180°−∠M−∠N=180°−70°−40°=70°
∴∠NPM=∠M
∴NP=MN=80海里
故答案为：80
【分析】根据题意同指向正北方向的直线互相平行，可以根据平行线的性质推导出等角，本题的关键在
于通过内角和定理发现∠NPM=∠M，由等角对等边定理得到NP=MN。
14．【答案】8
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过D作DE⊥AB于E
12 / 22∵AC平分∠BAD
∴∠DAC=∠BAC
∵AB∥CD
∴∠DCA=∠BAC
∴∠DCA=∠DAC
∴AD=CD
∵AB∥CD，∠B=90°，DE⊥AB
∴四边形ABCD是矩形
∴DE=BC=4CM
在Rt△ADE中，∠BAD=30°
∴AD=CD=2DE=2×4=8cm
即CD=8
故答案为：8
【分析】观察已知线段和所求线段，它们位于一个图形内，是矩形，因此尝试作辅助线把图形补全；根
据矩形性质，DE=BC=4cm，已知条件中有30°角，它的对边是斜边的一半，故可求斜边AC=8，根据角
平分线定义和平行线内错角相等的性质，等量代换得到AD=CD=8cm，至此整理思路，重新求证即可。
15．【答案】70°或20°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示
∵AB＝AC
∴∠B=∠C
根据题意，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°有两种情况，
当∠A为锐角时，
∠A=90°−50°=40°
180°−∠A 180°−40°
∠B= = =70°
2 2
当∠A为钝角时，
13 / 22∴∠A的邻角=90°−50°=40°
∴∠A=180°−40°=140°
180°−∠A 180°−140°
∠B= = =20°
2 2
故答案为：70°或20°
【分析】根据题意勾画出草图， △ABC是等腰三角形，找到AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所
得到锐角为50°时有两种情况，区分不同情况根据两角互余和互补计算出顶角度数，然后再计算底角度数。
16．【答案】126
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：根据题意，连接AD、DE
根据题中描述作图过程，可知EF是BC的垂直平分线
∴ED=EC
∴∠EDC=∠C=α
则∠AED=∠EDC+∠C=2α
∵AC=BC
180°−∠C 1
∴∠B= =90°− α
2 2
∵AB=AD
1
∴∠ADB=∠B=90°− α
2
∵∠ABD+∠ADE+∠EDC=180°
1
∴90°− α+2α+α=180°
2
解得α=36°
∠AEG=90°+∠C=90°+36°=126°
14 / 22故答案为：126
【分析】读题后根据题中描述作图过程，可知EF是BC的垂直平分线，将所求的角度根据外角定理转化
为求∠C，设其为α便于计算；由垂直平分线得到的等腰三角形，将求∠C转化为求∠EDC，根据已知
条件，将可以用α表示出来的角度尽量表示出来后发现∠ABD+∠ADE+∠EDC的和是一个平角，根据
这个等量关系求解α，进一步根据外角等于不相邻的两个内角和来计算∠AEG的度数。
17．【答案】（1）解：如图
（2）CG+AC＝AB
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：（1）如图
（2）根据题意作图如下
∵AE是∠CAB的角平分线
∴∠CAE=∠EAB
∵AB∥CD
15 / 22∴∠CEA=∠EAB
∴∠CAE=∠EAB
∴AE=CE
∵AE的 中 点 为F
∴AF=EF
在△GFE和△BFA中
{∠GEA=∠GFE
AF=EF
∠AFB=∠GFE
∴△GFE≌△BFA(ASA)
∴≥=AB
∴CG+CE=AB
∴CG+AC=AB
故填：CG+AC=AB
【分析】（1）掌握尺规作图作角平分线的过程，保留作图痕迹；（2）观察图形得知，CG=GE-CE，根
据角平分线性质和平行线性质易证得CE=AC，故问题转化为找GE和AB的关系式；已知AE的中点为
F，对顶角相等，根据ASA定理可判定三角形全等，进而判定GE=AB，至此可以找到 CG+AC＝AB的
关系式。
18．【答案】证明：∵AB∥EC，
∴∠A＝∠ECA，
在△ABC和△CDE中
{∠A=∠ECA
∠B=∠EDC
AC=CE
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴BC＝DE．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】要证线段相等，通常要证明线段所在的三角形全等；已知一组边和一组角相等，由平
行性质还可得一组角相等，故可用AAS定理判定全等，进而证得对应边相等。
19．【答案】（1）证明：∵EC⊥AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACE＝∠BAC＝90°，
在Rt△ABD与Rt△CAE中，
16 / 22{AE=BD
，
CA=AB
∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL），
∴CE＝AD；
（2）证明：由（1）知，CE＝AD，
∵AD＝CF，
∴CE＝CF，
∴∠CFE＝∠CEF，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝45°，
∴∠ECF＝∠ACE-∠ACB＝90°-45°＝45°，
1
∴∠CFE＝∠CEF＝ （180°-45°）＝67.5°，
2
∴∠AFB＝∠CFE＝67.5°，
∵∠AFB＝∠ACB+∠CAE＝45°+∠CAE，
∴∠CAE＝22.5°，
∴∠BAF＝90°-∠CAE＝67.5°，
∴∠BAF＝∠BFA＝67.5°，
∴BA＝BF，
由（1）知，∠CAE＝∠ABD＝22.5°，
∴∠FBD＝45°-22.5°＝22.5°，
∴∠ABD＝∠FBD，
∴AH＝FH，
∴H是AF的中点．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）从问题入手，线段相等通常证明线段所在三角形全等，按照这个思路找全等条件；
直角三角形中，已知有2组边对应相等，可以应用HL定理；（2）要证明H是AF的中点，尝试证明三
角形ABF是等腰三角形，试证BH是顶角平分线，则根据三线合一定理就可以证明H是AF的中点；根
据已知线段相等的条件，等量代换，可求∠AFB＝∠CFE＝∠CEF＝67.5°根据同角的余角相等可求∠BAF
＝67.5°，故可证明AB=AF，根据（1）全等的结论对应角相等也可证BH是顶角平分线，至此整理思路、
书写证明过程。
20．【答案】（1）①解：如图所示；
17 / 22；
②30°；
③解：∠BDC的大小不变，理由如下：
∵AC＝AD，∠CAD＝α，
1
∴∠ADC＝∠ACD＝90°- α，
2
∵∠PAC＝30°，将点C关于直线AP对称， 得到点B，
∴∠PAB＝∠PAC＝30°，AB＝AC，
∴∠BAD＝60°+α，AB＝AD，
1
∴∠ABD＝∠ADB＝60°- α，
2
∴∠BDC＝30°；
（2）证明：过点A作AH⊥CD于H，连接EH，
∵AC＝AD，∠CAD＝90°， AH⊥CD，
∴AH＝CH＝DH，
∵∠B＝∠ACD，AB＝AC， ∠AEB=∠AHC=90°，
∴△ABE≌△ACH（AAS），
∴AE＝AH，∠BAE＝∠CAH＝45°，
∴∠BAC＝2∠PAC＝60°＝∠EAH，
∴△AEH是等边三角形，
∴EH＝AH＝CH＝DH，
∴∠CED＝90°，
∴CE⊥DE．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；直角三角形斜边上的中线
18 / 22【解析】【解答】解： ②∵AC=AD，∠CAD=80°
180°−80
∴∠ADC=∠ACD= =50°
2
∵∠PAC=30°，点C关于直线AP对称得到点B
∴∠PAB=∠PAC=30°，AB=AC=AD
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=30°+30°+80=140°
∴∠ABD=∠ADB=20°
∴∠BDC=∠ADC−∠ADB=50°−20°=30°
故填：30°
【分析】（1）根据题意补全图形；求∠BDC的度数，观察图形发现它为∠ADC和∠ADB的差，根据
给定的相等线段，计算出底角ADC，再根据对称性质，得到另一等腰三角形的底角ADB，故∠BDC的
度数可求；α的度数发生变化时，∠BDC的大小不变，根据上一问的思路，将80°角替换成α即可得到
∠BDC=30°，故∠BDC的大小不变；（2）考虑刚刚学过斜边中线定理的逆定理即如果一个三角形一条
边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，恰好题中有等腰三角形，作底边的高即
可得到底边中线，故尝试用此定理证明；按此思路过点A作AH⊥CD于H，连接EH ；在证明EH是CD
的一半时，通过斜边中线定理和全等三角形的性质进行等量代换从而证得△AEH是等边三角形，这是本
题证明的一个关键点，整理思路，书写证明过程即可。
19 / 22试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：48分
客观题（占比） 36.0(75.0%)
分值分布
主观题（占比） 12.0(25.0%)
客观题（占比） 12(60.0%)
题量分布
主观题（占比） 8(40.0%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 8(40.0%) 24.0(50.0%)
填空题 8(40.0%) 24.0(50.0%)
解答题 4(20.0%) 0.0(0.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (85.0%)
2 困难 (15.0%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 角平分线的定义 6.0(12.5%) 5,6
2 三角形全等的判定 6.0(12.5%) 8,9
3 轴对称的性质 6.0(12.5%) 3,11,20
4 含30°角的直角三角形 6.0(12.5%) 7,14
20 / 225 轴对称图形 3.0(6.3%) 1
6 三角形内角和定理 6.0(12.5%) 12,13
7 等腰三角形的性质 9.0(18.8%) 7,8,15,20
8 直角三角形全等的判定（HL） 3.0(6.3%) 4,19
9 多边形内角与外角 3.0(6.3%) 2
10 矩形的判定与性质 3.0(6.3%) 14
11 角平分线的性质 3.0(6.3%) 4
12 三角形的外角性质 3.0(6.3%) 5
13 作图-角的平分线 0.0(0.0%) 17
14 翻折变换（折叠问题） 3.0(6.3%) 10
15 等边三角形的性质 3.0(6.3%) 8
16 等边三角形的判定与性质 0.0(0.0%) 20
17 点的坐标与象限的关系 3.0(6.3%) 11
18 线段垂直平分线的性质 6.0(12.5%) 6,16
19 平行线的性质 6.0(12.5%) 10,13
20 勾股定理 3.0(6.3%) 10
21 等腰三角形的判定与性质 0.0(0.0%) 19
22 三角形全等的判定（AAS） 0.0(0.0%) 18
23 直角三角形斜边上的中线 0.0(0.0%) 20
24 等腰三角形的判定 3.0(6.3%) 13
25 三角形全等的判定（ASA） 0.0(0.0%) 17
21 / 2226 三角形全等及其性质 6.0(12.5%) 6,12
22 / 22
