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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2024 年中考考前押题密卷（北京卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一．选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．﹣3+2的结果是（ ）
A．﹣5 B．1 C．﹣1 D．﹣6
【答案】C
【解析】解：﹣3+2＝﹣1．故选：C．
2．水质指纹污染溯源技术是一项水环境监管技术，被称为水环境治理的“福尔摩斯”，经测算，一个水
分子的直径约有0.0000004mm，数据“0.0000004”用科学记数法表示为（ ）
A．4×10﹣6 B．4×10﹣7 C．0.4×10﹣6 D．4×107
【答案】B
【解析】解：0.0000004＝4×10﹣7．故选：B．
3．华为手机锁屏密码是6位数，若密码的前5位数字已经知道，则一次解锁该手机密码的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：一次解锁该手机密码的概率是 ．故选：B．
4．如图，直线a∥b，若∠1＝130°，则∠3等于（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】B
【解析】解：如图：
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∵a∥b，
∴∠1＝∠2＝130°，
∴∠3＝180°﹣∠2＝50°，
故选：B．
5．《九章算术》中第七章《盈不足》记载了一个问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．
问人数、物价各几何？”译文：“现有一些人合伙购买物品，若每人出8钱，则多出3钱；若每人出7
钱，则还差4钱．问人数、物品价格各是多少？”设有m个人，物品价格为n钱，则下列方程组中正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：由题意可得， ，故选：B．
6．如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OD．若AE＝2，CD＝12，则 O的半径长为
（ ） ⊙ ⊙
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】解：设 O的半径是r，
∵弦CD⊥BA，⊙
∴DE＝ CD＝ ×12＝6，
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∵AE＝2，
∴OE＝r﹣2，
∵OD2＝OE2+DE2，
∴r2＝（r﹣2）2+62，
∴r＝10，
∴ O的半径长为10．
故⊙选：C．
7．如图，在正方形ABCD中．O是对角线AC、BD的交点．过点O作OE⊥OF，分别交AB、BC于点E，
F．若AE＝3，CF＝1，则EF＝（ ）
A．2 B． C．4 D．2
【答案】B
【解析】解：∵正方形ABCD中，OB＝OC，∠BOC＝∠EOF＝90°，
∴∠EOB＝∠FOC，
在△BOE和△COF中，∠OCB＝∠OBE45°，OB＝OC，∠EOB＝∠FOC，
∴△BOE和COF全等（ASA）
∴BF＝AE＝3，
同理BE＝CF＝1
在Rt△BEF中，BF＝3，BE＝1，
∴EF＝ ．
故选：B．
8．如图1，Rt△ABC中，点P从点A出发，沿A﹣C﹣B匀速运动，过点P作PD⊥AB，垂足为D，设点A
到点D的距离为x，△APD的面积为y，则y关于x的函数图象如图2所示，则BC的长为（ ）
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A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【解析】解：如图，当点P运动到点C处时，
由图2得，AD＝4，△APD的面积＝ AD•CD＝4，
∴CD＝2，
由△CDA∽△BCD得，
BD：CD＝CD：AD，
∴BD＝1，
∴BC＝ ＝ ．
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分）
9．当x 时，分式 有意义．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：当分母不为零的时，有意义，
即3x﹣2≠0，
解得x≠ ．
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故答案为： ．
10．分解因式：3a3﹣12a＝ 3 a （ a + 2 ）（ a ﹣ 2 ） ．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：3a3﹣12a
＝3a（a2﹣4），
＝3a（a+2）（a﹣2）．
故答案为：3a（a+2）（a﹣2）．
11．方程 的解为 x ＝ 2 ．
【答案】x＝2．
【解析】解：原方程去分母得：x＝2（x﹣1），
整理得：x＝2x﹣2，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x（x﹣1）≠0，
故原方程的解为x＝2，
故答案为：x＝2．
12．在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数 的图象经过点A（1，2）和点B（﹣1，m），
则m的值为 ﹣ 2 ．
【答案】﹣2．
【解析】解：∵反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点A（1，2）和点B（﹣1，m），
∴（﹣1）×m＝1×2，
∴﹣m＝2，
解得m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
13．睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某老师了解到某班40
位同学每天睡眠时间（单位：小时）如下表所示，则该班级学生每天的平均睡眠时间是 9. 1 小时．
睡眠时间 8小时 9小时 10小时
人数 6 24 10
【答案】9.1．
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【解析】解： ＝9.1（小时），
即该班级学生每天的平均睡眠时间是9.1小时．
故答案为：9.1．
14．如图，已知 ABCD中，点E在CD上， ＝ ，BE交对角线AC于点F．则 ＝ ．
▱
【答案】见试题解答内容
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB．
∵点E在CD上， ＝ ，
∴CE＝ CD＝ AB．
∵CD∥AB，
∴△CEF∽△ABF
∴ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
15．清朝数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求
积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是
锐角△ABC的边BC上的高，则 ．当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，则△ABC的
面积为 6 ．
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【答案】6 ．
【解析】解：∵BD＝ （BC+ ），AB＝7，BC＝6，AC＝5，
∴BD＝5，
在Rt△ABD中，AD＝ ＝ ＝2 ，
∴△ABC的面积＝ BC•AD＝ ×6×2 ＝6 ，
故答案为：6 ．
16．在一次数学活动课上，某数学老师将1～10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只
写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打
乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁、戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，
并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；
丙：15；丁：8；戊：17，则乙同学手里拿的卡片的数字是 1 和 3 ，丙同学手里拿的卡片的数字是
5 和 10 ．
【答案】1和3，5和10．
【解析】解：由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片，
∴每人手里的数字不重复．
由甲：11，可知甲手中的数字可能是1和10，2和9，3和8，4和7，5和6；
由乙：4，可知乙手中的数字只有1和3；
由丙：15，可知丙手中的数字可能是5和10，6和9；
由丁：8，可知丁手中的数字可能是1和7，2和6，3和5；
由戊：17，可知戊手中的数字可能是7和10，8和9；
∴丁只能是2和6，甲只能是4和7，丙只能是5和10，戊只能是8和9．
故答案为：1和3，5和10．
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第
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25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．）
17．（5分）计算：﹣22+（3.14﹣ ）0﹣4sin60°+|1﹣ |．
π
【答案】﹣4﹣ ．
【解析】解：原式＝﹣4+1﹣4× + ﹣1
＝﹣3﹣2 + ﹣1
＝﹣4﹣ ．
18．（5分）解不等式组： ．
【答案】x≤1．
【解析】解： ，
解①，得x＜ ；
解②，得x≤1．
∴原不等式组的解集为x≤1．
19．（5分）已知 ，求 的值．
【答案】 ．
【解析】解：令x＝3k，y＝2k（k≠0），
∴原式＝
＝
＝
＝ ．
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即 ．
20．（5分）要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤：
试按照以上步骤证明：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在△ABC中，
，
求证： ．
证明：
【答案】点D，E分别是AB，AC边的中点；DE∥BC，且DE＝ BC；证明过程见解答．
【解析】已知：如图，在△ABC中，
点D，E分别是AB，AC边的中点，
求证：DE∥BC，且DE＝ BC．
如图，延长DE到点F，使DE＝EF，连接FC，DC，AF．
在△AED和△CEF中，
，
∴△AED≌△CEF（SAS），
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∴CF＝AD，∠DAE＝∠FCE，
∴CF∥AB，
∵AD＝DB，
∴CF＝DB，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴DF＝BC，DF∥BC，
∵DE＝ DF，
∴DE＝ BC，DE∥BC．
故答案为：点D，E分别是AB，AC边的中点；DE∥BC，且DE＝ BC．
21．（6分）如图，已知E、F为平行四边形ABCD的对角线上的两点，且BE＝DF，
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠AEC＝90°，求证：四边形AECF为矩形．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）如图，由（1）可知，△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD．
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∵∠AEB+∠AEO＝∠CFD+∠CFE＝180°
∴∠AED＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
又∵∠AEC＝90°，
∴平行四边形AECF为矩形．
22．（5分）已知y是x的一次函数，当x＝1时，y＝﹣5；当x＝3时，y＝1．
（1）求一次函数的表达式．
（2）若点A（m，n）在该一次函数图象上，求代数式（n﹣3）（m+1）﹣mn的值．
【答案】（1）y＝3x﹣8；
（2）﹣11．
【解析】解：（1）设一次函数解析式求为y＝kx+b，
∵x＝1，y＝﹣5；x＝3时，y＝1，
∴ ，
解得 ，
∴一次函数解析式求为y＝3x﹣8；
（2）把A（m，n）代入y＝3x﹣8得n＝3m﹣8，
∴n﹣3m＝﹣8，
∴（n﹣3）（m+1）﹣mn＝mn+n﹣3m﹣3﹣mn＝n﹣3m﹣3＝﹣8﹣3＝﹣11．
23．（6分）综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：
cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0
荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9
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【实践探究】分析数据如下：
平均数 中位数 众数 方差
芒果树叶的长宽比 3.74 m 4.0 0.0424
荔枝树叶的长宽比 1.91 2.0 n 0.0669
【问题解决】
（1）上述表格中：m＝ ，n＝ ；
（2）①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”
②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两
倍．”
上面两位同学的说法中，合理的是 （填序号）；
（3）现有一片长11cm，宽5.6cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给
出你的理由．
【答案】（1）3.75；2.0；
（2）②；
（3）这片树叶更可能是荔枝树叶．
【解析】解：（1）把10片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为3.7、3.8，故m
＝ ＝3.75；
10片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是2.0，故n＝2.0；
故答案为：3.75；2.0；
（2）∵0.0424＜0.0669，
∴芒果树叶的形状差别小，故A同学说法不合理；
∵荔枝树叶的长宽比的平均数1.91，中位数是1.95，众数是2.0，
∴B同学说法合理．
故答案为：②；
（3）∵11÷5.6≈1.96，
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∴这片树叶更可能是荔枝树叶．
24．（6分）如图，AB是 O的直径，AC是 O的弦，∠BAC的平分线交 O于点D，DE⊥AC交AC的
延长线于点E． ⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：DE是 O的切线；
⊙
（2）若DE＝2CE，求 的值．
【答案】（1）证明见解答过程；（2） ．
【解析】（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AE，
∴OD⊥DE，
∵OD是 O的半径，
∴DE是的⊙ O的切线；
（2）解：连⊙接CD，BD，
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∵DE⊥AE，DE＝2CE，
∴∠E＝90°，
∴CD＝ ＝ ＝ CE，
∴ ＝ ＝ ，
∵四边形ABDC内接于 O，
∴∠ECD＝∠B， ⊙
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB⊙＝90°＝∠E，
∴△ABD∽△DCE，
∴ ＝ ＝ ．
25．（5分）【问题情境】数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣
小组决定趁着游玩之便对南宁凤岭摩天轮进行实地调研．摩天轮位于凤岭儿童公园内，摩天轮上均匀分
布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟．
【实践过程】小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高
度（h）和所用的时间（t）的数据，并绘制图象如图1．
【问题研究】请根据图1中信息回答：
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（1）h （“是”或“不是”）t的函数；
（2）摩天轮最高点距地面 （米），摩天轮最低点距地面 （米）；
（3）求摩天轮的半径；
【答案】（1）是；
（2）108，3；
（3）摩天轮的半径是52.5米；
【解析】解：（1）∵对于t的每一个值，h都有唯一的值与t对应，
∴h是t的函数．
故答案为：是；
（2）∵图象的最高点对应的h的值是108，最低点对应的h的值是3米，
∴摩天轮最高点距地面108米，最低点距离地面3米．
故答案为：108，3；
（3）∵摩天轮最高点距地面108米，最低点距离地面3米，
∴摩天轮的直径是105米，
∴摩天轮的半径是52.5米．
答：摩天轮的半径是52.5米；
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过A（﹣2，﹣
4）和B（3，1）两点．
（1）求b和c的值（用含a的代数式表示）；
（2）若该抛物线开口向下，且经过C（2m﹣3，n），D（7﹣2m，n）两点，当k﹣3＜x＜k+3时，y随x
的增大而减小，求k的取值范围；
（3）已知点M（﹣6，5），N（2，5），若该抛物线与线段MN恰有一个公共点时，结合函数图象，求
a的取值范围．
【答案】（1） ；
（2）k≥5；
（3）a≥ 或a＝﹣1或a＜ ．
【解析】解：（1）把A（﹣2，﹣4）和B（3，1）代入y＝ax2+bx+c，
得： ，
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解得： ；
（2）∵抛物线经过C（2m﹣3，n），D（7﹣2m，n）两点，
∴抛物线的对称轴为：直线 ，
∵抛物线开口向下，
当k﹣3＜x＜k+3时，y随x的增大而减小，
∴k﹣3≥2，即k≥5；
（3）①当a＞0时，x＝﹣6，y≥5，即a×（﹣6）2+（1﹣a）×（﹣6）﹣6a﹣2≥5，
解得： ，抛物线不经过点 N，
如图①，抛物线与线段MN只有一个交点，结合图象可知： ；
②当a＜0时，若抛物线的顶点在线段MN上时，则 ＝ ＝5，
解得：a ＝﹣1，a ＝ ，
1 2
当a ＝﹣1时， ＝ ＝1，
1
此时，定点横坐标满足﹣6≤ ﹣ ≤2，符合题意；
当a ＝﹣1时，如图②，抛物线与线段MN只有一个交点，
1
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如图③，
当a ＝ 时， ＝ ＝13，
2
此时顶点横坐标不满足﹣6≤ ≤2，不符合题意，舍去；
若抛物线与线段MN有两个交点，且其中一个交点恰好为点 N时，把N（2，5）代入y＝ax2+（1﹣a）x
﹣6a﹣2，得：
5＝a×22+（1﹣a）×2﹣6a﹣2，
解得：a＝ ，
当a＝ 时，如图④，抛物线和线段MN有两个交点，且其中一个交点恰好为点 N，
结合图象可知：a＜ 时，抛物线与线段MN有一个交点，
综上所述：a的取值范围为：a≥ 或a＝﹣1或a＜ ．
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27．（7分）概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角
形”．
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形
分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角开中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三
角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
理解概念：
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．
概念应用：
（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．求证：CD为△ABC的等角分割线．
动手操作：
（3）在△ABC中，若∠A＝50°，CD是△ABC的等角分割线，请求出所有可能的∠ACB的度数．
【答案】（1）△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD是“等角三角形”；
（2）见解析过程；
（3）∠ACB的度数为100°或115°或 或 ．
【解析】解：（1）△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD是“等角三角形”；
（2）在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°
∵CD为角平分线，
∴∠ACD＝∠DCB＝ ∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A，
∴CD＝DA，
在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠B＝80°，
∴∠BDC＝∠ACB，
∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A，∠B＝∠B，
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∴CD为△ABC的等角分割线；
（3）当△ACD是等腰三角形，如图2，DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝50°，
∴∠ACB＝∠BDC＝50°+50°＝100°，
当△ACD是等腰三角形，如图3，DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝65°，∠BCD＝∠A＝50°，
∴∠ACB＝50°+65°＝115°，
当△ACD是等腰三角形，CD＝AC的情况不存在，
当△BCD是等腰三角形，如图4，DC＝BD时，∠ACD＝∠BCD＝∠B＝ ＝ ，
∴∠ACB＝ ，
当△BCD是等腰三角形，如图5，DB＝BC时，∠BDC＝∠BCD，
设∠BDC＝∠BCD＝x，
则∠B＝180°﹣2x，
则∠ACD＝∠B＝180°﹣2x，
由题意得，180°﹣2x+50°＝x，
解得，x＝ ，
∴∠ACD＝180°﹣2x＝ ，
∴∠ACB＝ ，
综上所述：∠ACB的度数为100°或115°或 或 ．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中， O的半径为1，对于 O的弦AB和 O外一点C给出如下定义：
若点C关于弦AB中点的对称点恰好在⊙O上，则称点C是弦⊙AB的“关联点⊙”．
⊙
（1）如图，点 ， ，弦AB的中点为P．在点 ，
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C （2，0），C （2，1）中，弦AB的“关联点”是 ；
3 4
（2）如果 O的弦 ，直线y＝x上存在弦AB的“关联点”Q，直接写出点Q的横坐标x 的取值
Q
⊙
范围；
（3）已知点M（0，2）， ．对于线段MN上一点S，存在 O的弦AB，使得点S是弦
AB的“关联点”．若对于每一点S，将其对应的弦AB的长度的最大值记为⊙d，则当点S在线段MN上
运动时，d的取值范围是多少？直接写出你的答案．
【答案】（1）C ，C ；
1 3
（2） 或 ；
（3） ．
【解析】解：（1）∵点 ， ，
∴弦AB的中点为P的坐标为 ，
∴C （1，﹣1）关于点P的对称点坐标为（0，1），
1
∵点（0，1）在 O上，
∴C
1
（1，﹣1）是⊙弦AB的“关联点”；
同理 关于点P的对称点坐标为 ，C （2，0）关于点P的对称点坐标为（﹣
3
1，0），C （2，1）关于点P的对称点坐标为（﹣1，﹣1），
4
∵ ， ，
∴点 ，（﹣1，﹣1）都不在 O上，而点（﹣1，0）在 O上，
⊙ ⊙
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∴只有C （1，﹣1），C （2，0）是弦AB的“关联点”；
1 3
故答案为：C ，C ；
1 3
（2）如图2﹣1所示，过点O作OP⊥AB于P，连接OA，
∴ ，
∴ ，
∴弦AB的中点到原点的距离为 ，
∴弦AB的中点在以O为圆心，半径为 的圆上；
设点Q关于弦AB的中点对称的点为R，
∵Q、R关于弦AB的中点对称，
∴QR的垂直平分线一定与半径为 的 O有交点；
⊙
如图2﹣2所示，点Q在x轴上方，当点R恰好在直线y＝x上时，设直线y＝x与半径为 的 O交于
T，与半径为1的 O交于H， ⊙
此时点Q与点R关⊙于点T对称，
∴ ；
∴QO＝2，
∴ ，
∵OH＝1，
∴ ；
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∵点Q到半径为 的 O的最小距离QT，
⊙
当点Q的横坐标增大时，点Q到半径为 的 O的最小距离QT逐渐增大，则点R到半径为 的 O的
最大距离逐渐增大，故当点Q继续运动时，点⊙R不可能在半径为1的 O上， ⊙
⊙
∴当 时，直线y＝x上存在弦AB的“关联点”Q，
同理，在x轴下方，当 时，直线y＝x上存在弦AB的“关联点”Q；
综上所述， 或 ；
（3）设点S关于弦AB中点对称的点为K，
∵要使弦AB最大，
∴弦AB到圆心的距离要最小，即OP最小，
∵OP≥|KP﹣OK|，
∴当O、P、K三点共线时，OP≥|KP﹣OK|，
∴此时KS一定经过圆心
如图3﹣2所示，当OS⊥MN时，
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∵M（0，2）， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
同理当点S运动到点M时，可得 ，
∴ ．
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