2025年重庆市普通高中学业水平选择性考试9月调研（康德卷）数学答案_A1502026各地模拟卷（超值！）_9月_2409132025年普通高等学校招生全国统一招生重庆康德9月调研考试

2025 年普通高等学校招生全国统一考试 9 月调研测试卷 数学参考答案 一、单选题 1~8 CBBC ACCD 8题提示：由题意，设△ABC内角A，B，C所对的边为a，b，c， 则有c2 b2 4，则该圆锥的体积 1 1 2 3 V  b2c (4c2)c，设 f(x) x(4x2)，则 f(x)43x2， f(x)在(0, )上 3 3 3 2 3 1 4 2 3 16 3 单调递增，在( ,2)上单调递减，所以V  (4 )  ． 3 max 3 3 3 27 二、多选题 9．BCD 10．AC 11．ABC   11 题提示：由 AF FB可知， A,F,B三点共线，所以直线 AB 是过焦点F 的直线，设其倾斜角为， 2p p A(x ,y ),B(x ,y )，所以焦点弦| AB| x x  p 2p，A 正确，|AF| ， 1 1 2 2 1 2 sin2 1cos p 1 1 2 |BF| ，所以   ，B正确，sinAFO sin()sin(0,1]，故 1cos | AF | |BF | p 2 2 0，sinAFO  ，C 正确，0，| AO|2 |BO|2 | AB|22x x  p2 0，所 3 1 2 以cosAOB0，D错误． 三、填空题 12．3 13．b或b// 14．576 14题提示：显然在符合要求的填法中，应该填入6个数字0和10个数字1，按照下面的顺序填入这6个数字0. （1）先找到一行并填入3个数字0，选出这样1行共有4 种选法，而从该行的4 格中选出3个填入 数字0，也有 C3  4种填法．因此这一步共有4416种不同的填法． 4 （2）选出一列填入3个数字0，以图为例，可知这一列必为前三列（否则就没有一列的数字之和为 4）中的某一列，从而选出这一列共有3种选法．而该列中已经填入了一个数字0，所以填入另外两 个数字0有C2 3种填法．这一步共有339种不同的填法． 3 （3）当完成前面两步后，最后一个数字0只有4个位置可以选择． 因此，符合要求的不同填法共有1694576种． 9月调研测试卷（数学）参考答案 第1页 共5页 {#{QQABJYSQoggAAJIAARgCUwFqCkEQkAGAASgOxFAAIAAAARFABAA=}#}四、解答题 15．（13分） 1 1 3 3 解：（1）由S  bcsinA c2，得cbsinA1  ． ……4分 2 2 2 2 1 1 （2）由 absinC  c2得c2 absinC， 2 2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 2c2    2cosC2sinC2 2sin(C ) ab ab ab 4 a2 b2 c2 所以 得最大值为2 2 ， ……9分 ab  2 此时，C ，a2 b2+c2 2 2ab，c2  ab 4 2 3 2 2 2 所以a2 b2  ab0(b 2a)(b a)0，b 2a（舍去）或b a， 2 2 2 2 从而c a，故△ABC 是以A为直角顶点的等腰直角三角形． ……13分 2 16．（15分） 解：（1）因为AB AC，AB15，AC20，所以BC 25， 因为AM BC  ABAC 300，所以AM  BC ， 因为PA平面ABC，所以PABC， 又AM,PA平面PAM ，所以BC平面PAM ． ……6分  （2）由条件，AB，AC，AP两两垂直，以AB，AC，AP方向为x，y，z轴正方向建系如图，    则B(15,0,0),C(0,20,0),P(0,0,10)，BC(15,20,0),BP(15,0,10),AP(0,0,10) z P  设平面PBC 的法向量为n(x,y,z)，则   BCn0 3x4y0    ，即 ，取n(4,3,6) BPn0 3x2z0 A C y   60 6 6 61 M cos n,AP    ， B 6110 61 61 x 6 61 故PA与平面PBC 所成角的正弦值为 ． ……15分 61 17．（15分） 解：（1）比赛只进行三场，则都是甲赢或都是乙赢， 所以概率为0.60.50.60.40.50.40.180.080.26． ……6分 （2）X 可取值为3，4，5 9月调研测试卷（数学）参考答案 第2页 共5页 {#{QQABJYSQoggAAJIAARgCUwFqCkEQkAGAASgOxFAAIAAAARFABAA=}#}X 3时，则前三场都是甲赢，P(X 3)0.50.60.3 X  4时，则可能的情况是 甲 乙 甲 乙 乙胜 甲 乙 乙 乙 甲胜 甲 甲 乙 甲 甲胜 甲 乙 甲 甲 P(X 4)0.50.40.50.50.40.50.50.60.50.35 P(X 5)1P(X 3)P(X 4)10.30.350.35 故E(X)30.340.3550.354.05． ……15分 18．（17分） 解：（1）设Ax ，y ，Bx ，y ， 1 1 2 2 x2   2 1  y 1 2 1 x2 x2 y  y y  y 1 由 ，得 1 2  y2  y2 0，变形得 1 2  1 2  ， x 2 2  y2 1 2 1 2 x 1 x 2 x 1 x 2 2  2 2 m0 1 1  2 2 即km ，故k  ，又1 ，解得0m ， 故k  ． ……5分 2 2m m2 1 2 2  2 （2）由题意，直线l不与x轴重合，设直线l的方程为xmy1， xmy1  联立x2 ，得(m2 2)y2 2my10．   y2 1  2 2m 1 设A(x ，y )，B(x ，y )，则y  y  ，y y  ， 1 1 2 2 1 2 m2 2 1 2 m2 2 2m 4 2 2(m2 1) 可得|AB| 1m2  (y  y )2 4y y  1m2  ( )2   ． 1 2 1 2 m2 2 m2 2 m2 2 2m2 4 2 m x x m(y  y )2 2 ，则弦AB的中点M 的坐标为( ， )， 1 2 1 2 m2 2 m2 2 m2 2 m2 2  m y x  m  2 4 故CD的方程为y x．联立 ，得x2  ， ……9分 2 x2 m2 2   y2 1  2 4 由对称性，不妨设C(x ，y )，D(x ， y )，则x 2  ，其中x 0． 0 0 0 0 0 m2 2 0 m2 4 m2 4 可得|CD| 1 |2x | (m2 4) 2 ． 4 0 m2 2 m2 2 9月调研测试卷（数学）参考答案 第3页 共5页 {#{QQABJYSQoggAAJIAARgCUwFqCkEQkAGAASgOxFAAIAAAARFABAA=}#}1 1 由题意|OC||OD| CD ， AM  BM  AB ， 2 2 1 1 且|AM ||BM||CM ||DM |( |CD||OM |)( |CD||OM |)， 2 2 |AB|2 |CD|2 故  |OM |2，即|AB|2|CD|2 4|OM |2， 4 4 8(m2 1)2 4(m2 4) 4 m2 代入|AB|，|CD|，|OM |，得  4[  ]， (m2 2)2 m2 2 (m2 2)2 (m2 2)2 解得m 2 ，故直线l的方程为x 2y1． ……17分 19．（17分） 2a 6 2a 6 a 3 2a 6 4a 8 解：（1）由a  n 可得a 3 n 3 n ，a 2 n 2 n ， n1 a 1 n1 a 1 a 1 n1 a 1 a 1 n n n n n a 3 a 3 1 a 3 a 3 1 两式相除可得 n1  n   n ，又 1  ， a 2 4a 8 4 a 2 a 2 4 n1 n n 1 a 3 1 1 故 n 是首项为 ，公比为 的等比数列． ……5分 a 2 4 4 n a 3  1 n 34n 2 316n 2 （2）由（1）可知， a n 2    4   ，解得a n  4n 1 ，故b n a 2n  16n 1 ． n 3  16n 1  5 5 ①b  3 ，故b 随n的增大而减小，即n1时b 的值最大， n 16n 1 16n 1 n n 1 10 且最大值b 3  ． ……10分 1 3 3 2k1 2k1 k ②b 2k1b  b b 2kb b b k2b ． i k i k k i 2ki k i1 i1 i1 316i 2 3162ki 2  316i 2  3162ki 2  b b   2 ，当且仅当ik 时取等； i 2ki 16i 1 162ki 1  16i 1  162ki 1   316i 2  3162ki 2  9162k 6  16i 162ki 4， 其中16i 162ki 2 162k 216k，当且仅当ik 时取等；  16i 1  162ki 1  162k   16i 162ki 1，其中16i 162ki 2 162k 216k ， 故 16i 1  162ki 1  162k 216k 1  16k 1 2 ，当且仅当ik 时取等； 9月调研测试卷（数学）参考答案 第4页 共5页 {#{QQABJYSQoggAAJIAARgCUwFqCkEQkAGAASgOxFAAIAAAARFABAA=}#} 316k 2 2 316k 2 故b b 2 2 2b ，当且仅当ik 时取等； i 2ki  16k 1 2 16k 1 k k 由此b b k2b 对任意k 2恒成立，即原不等式成立． ……17分 i 2ki k i1 9月调研测试卷（数学）参考答案 第5页 共5页 {#{QQABJYSQoggAAJIAARgCUwFqCkEQkAGAASgOxFAAIAAAARFABAA=}#}