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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
东城区 2023-2024 学年度第二学期初三年级统一测试（二）
数学试卷
考生须知
1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一
个．
1. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，以及中心对
称图形：一个平面图形，绕一点，旋转 ，与自身完全重合，进行判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义，是解
题的关键．
2. 4月18日是国际古迹遗址日．在国家考古遗址公园联盟联席会上发布的《2023年度国家考古遗址公园
运营报告》显示，圆明园等全国55家国家考古遗址公园2023年接待游客总量超6700万人次，同比增长
．将67000000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
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【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，确定 ， 即可．
【详解】解： ，
故选择：B．
3. 在下列各式中，从左到右计算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，算术平方根，完全平方公式的应用，分式的加减运算，正确的
计算是解题的关键．分别根据以上知识逐一计算即可．
【详解】解：A． ， 不是同类二次根式，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B． ，故该选项不正确，不符合题意；
C． ，故该选项不正确，不符合题意；
D． ，故该选项正确，符合题意；
故选D
4. 若实数 的取值范围在数轴上的表示如图所示，在下列结论中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，不等式的性质，化简绝对值，根据绝对值的性质与不
等式的性质逐一分析判断即可．
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【详解】解：∵ ，
∴当 时， ，故A不符合题意；
∵ ，
∴ ，故B符合题意；
∵ ，
∴ ，故C不符合题意；
∵ ，
∴ ，故D不符合题意；
故选：B
5. 若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和和外角和问题，设这个多边形的边数为 ，根据多边形的内角和公式
和外角和并结合题意得出等式，计算即可得出答案．
【详解】解：设这个多边形的边数为 ，
由题意得： ，
解得： ，
故这个多边形的边数是 ，
故选：C．
6. 一个圆锥的底面半径的长为3，母线的长为15，则侧面展开图的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的计算，根据圆锥侧面积展开图公式计算即可得出答案．
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【详解】解：由题意得：
侧面展开图的面积是 ，
故选：C．
7. 在一个不透明的盒子中装有3个小球，其中2个红球、1个绿球，除颜色不同外，其它没有任何差异．
小红将小球摇匀，从中随机摸出2个小球，恰好是1个红球和1个绿球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，
适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况
数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公
式求解即可．
【详解】解：画出树状图如图：
共有 种等可能出现的结果，其中恰好是1个红球和1个绿球的情况有 种，
∴恰好是1个红球和1个绿球的概率是 ，
故选：D．
8. 如图，在 中， 于点 ，点 是 的中点．设 ， ， ，
， ， ，且 ，有以下三个结论：
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① ；
②点 ， ， 在以点 为圆心， 为半径的圆上；
③ ．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的特征，完全平方公式的应用，相似三角形的判定与性质，利
用勾股定理可判断①结论；利用线段中点以及直角三角形斜边中线等于斜边一半可判断②结论；利用勾股
定理以及完全平方公式可判断③结论．
【详解】解： ，
，
，
， ， ，且 ，
，①结论正确；
， ， ，
即 ，
，
，
，
，
，
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点 是 的中点，
，则 ，
此时点 ， ， 在以点 为圆心， 为半径的圆上，②结论正确；
在 中， ，即 ，
，
，
，
，即 ，③结论正确，
故选：D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若代数式 有意义，则实数x的取值范围是 ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行求解即可．
【详解】解：若代数式 有意义，则 ，
解得： ；
故答案为： ．
10. 因式分解： ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，先提取公因式 ，再利用完全平方公式分解即可
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得出答案，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
11. 当 ________， ________时，可以说明“若 ，则 ”是假命题（写出一组 ， 的值
即可）．
【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了举例说明命题的真假，由当 ， 时，得出 ，但 ， ，即
，即可得解．
【详解】解：当 ， 时， ，但 ， ，即 ，
故当 ， 时，可以说明“若 ，则 ”是假命题，
故答案为： ， （答案不唯一）．
12. 在平面直角坐标系 中，若点 是函数 和 的图象的一个交点，
则这两个函数图象的另一个交点的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，根据正比例函数 和反比例函数
的图象的两个交点关于原点对称，即可得出答案．
【详解】解：∵正比例函数 和反比例函数 的图象的两个交点关于原点对称，
∴由一个交点的坐标是 ，可得另一个交点的坐标是 ，
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故答案为： ．
13. 若 ，则代数式 的值为________．
【答案】
【解析】
的
【分析】本题考查了分式 化简求值，由 得出 ，再将括号内先通分，将除法转
化为乘法，约分即可化简，最后整体代入进行计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解： ，
，
，
故答案为： ．
14. 若关于 的一元二次方程 的两个实数根的差等于2，则实数 的值是________．
【答案】 或
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程 的两
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个实数根 ， 和系数 ， ， ，有如下关系： ， ，设方程的两个根为 ， ，
由题意得： ， ， ，再利用完全平方公式的变形得出
，求出 的值，再利用判别式检验即可得出答案．
【详解】解：设方程的两个根为 ， ，
由题意得： ， ， ，
，
，
解得： 或 ，
当 时， ，符合题意；
当 时， ，符合题意，
综上所述，实数 的值是 或 ，
故答案为： 或 ．
15. 下图是 年我国主要可再生能源发电装机容量（亿千瓦）统计图．
根据上述信息，下列推断合理的是________（填写序号）．
① 年，我国主要可再生能源发电中，太阳能发电装机容量增幅最大；
② 年，相对于风电和太阳能发电，我国水电发电装机容量比较稳定；
③ ，我国水电发电装机容量一直高于风电发电装机容量．
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【答案】①②##②①
【解析】
【分析】本题考查了由条形统计图推断结论，根据条形统计图提供的数据，逐一分析即可得出答案．
【详解】解：由图可得：
① 年，我国主要可再生能源发电中，太阳能发电装机容量增幅最大，故①正确，符合题意；
② 年，相对于风电和太阳能发电，我国水电发电装机容量比较稳定，故②正确，符合题意；
③2023，我国水电发电装机容量低于风电发电装机容量，故③错误，不符合题意；
综上所述，推断合理的是①②，
故答案为：①②．
16. 现有一半径10米的圆形场地，建立如图所示的平面直角坐标系 ，场地圆心 的坐标为 ．
机器人在该场地中（含边界），根据指令 完成下列动作：先朝其面对的方向沿
直线行走距离 ，再在原地逆时针旋转角度 ，执行任务．机器人位于坐标原点 处，且面对 轴正方向．
（1）若给机器人下达指令 ，则机器人至少重复执行________次该指令能回到坐标原点 处；
（2）若给机器人下达指令 ，使机器人重复执行该指令回到坐标原点 处，且 最大，则应给机器人
下达的指令是________．
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】（1）给机器人下达指令 ，则机器人应移动到点 ，并原地逆时针旋转 ，如此重
复执行4次，可回到原点，即可获得答案；
（2）若要使机器人重复执行该指令回到坐标原点 处，且 最大，则执行次数尽可能少，时针旋转角度
尽可能大，且 能被 整除，易知符合条件的 经过的路线为等边三角形，；过点 作
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轴于点 ，连接 、 ，延长 交 于点 ，连接 ，证明 为等边三角
形，易得 ， ，即可获得答案．
【详解】解：（1）如下图，
给机器人下达指令 ，则机器人应移动到点 ，并原地逆时针旋转 ，
再次执行该指令，机器人应移动到点 ，并原地逆时针旋转 ，
再次执行该指令，机器人应移动到点 ，并原地逆时针旋转 ，
再次执行该指令，机器人应移动到点 ，并原地逆时针旋转 ，
∴至少重复执行4次该指令能回到坐标原点 处；
（2）根据题意可知，机器人重复执行该指令回到原点 ，则经过的路线为正多边形，
若要使机器人重复执行该指令中 最大，则执行次数尽可能少，时针旋转角度 尽可能大，且 能被
整除，即正多边形的边数尽可能少，
∵ ，
∴符合条件的 ，
此时经过的路线为等边三角形，
如图，过点 作 轴于点 ，连接 、 ，延长 交 于点 ，连接 ，
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∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 轴，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴应给机器人下达的指令是 ，执行3次，即可回到原点，且 最大．
故答案为：4； ．
【点睛】本题主要是考查了坐标与图形、三角函数、等边三角形的判定与性质、圆周角定理、垂直平分线
的性质等知识，正确理解题意，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．
三、解答题（本题共68分，第17—22题，每题5分，第23—26题，每题6分，第27—28题，
每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
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17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，利用二次根式的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、乘方
的意义进行化简，再计算加减即可， 掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集
的规律找出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①，得， ；
解不等式②，得， ，
所以，不等式组的解集为：
19. 如图，已知 及 外一点 ．
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求作： 的切线 ， ．
作法：
①连接 ；
②分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别交于点 ， ，作直线 交 于
点 ；
③以点 为圆心， 的长为半径画圆，交 于点 ， （点 位于 的上方）；
④作直线 ， ；
则直线 ， 就是所求作的直线．
（1）利用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）设线段 交 于点 ，连接 ， ， ．若 ，则 °，
°．
【答案】（1）画图见解析
（2） ，
【解析】
【分析】（1）根据题意，画出图形即可；根据直径所对的圆周角为直角，得出 ，
再根据垂线的定义，得出 ， ，再根据切线的判定定理，即可得出结论．
（2）如图，连接 ， ， ，再结合圆周角定理，切线的性质与切线长定理可得答案．
【小问1详解】
解：补全图形如图：
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理由如下：
∵ 是 的直径，
∴ （直径所对的圆周角为直角）．
∴ ， ．
∵ ， 是 的半径，
∴ ， 是 的切线．
【小问2详解】
解：如图，连接 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， 为 的切线，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是画圆的切线，四边形的内角和定理的应用，圆周角定理的应用，切线的性质，切线
长定理的应用，熟练的作线段 垂直平分线是解本题的关键．
20. 如图，在四边形 中，点 在 上， ， ， 于点 ，
于点 ， ．
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（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ， ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）证明 ，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得 ，进而证明 ，再证明 是等
腰直角三角形，然后证明由含 的直角三角形的性质得 ，进而由勾股定理求出 的长，
即可解决问题．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形；
【
小问2详解】
解：由（1）可知，四边形 是平行四边形，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、
平行线的判定、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和
全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21. 列方程或方程组解应用题．
如图1，正方形 是一块边长为 的灰色地砖，在A，B，C，D四个顶点处截去四个全等的等腰
直角三角形后，得到一块八边形地砖．用四块相同的该八边形地砖和一块黑色正方形地砖拼成如图2所示
的图案，该图案的面积为 （不考虑接缝），求一块八边形地砖和黑色正方形地砖的面积．
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【答案】一块八边形地砖的面积为 ，黑色正方形地砖的面积为
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，可设等腰直角三角形直角边长为 ，则斜边度为 ，
根据4个正八边形面积 黑色正方形的面积 列出方程，求出 和 ，即可得出结论
【详解】解：设等腰直角三角形直角边长为 ，则斜边度为 ，根据题意得，
，
解得， ，
∵
∴
∴黑色正方形地砖的面积 ；
则一块八边形地砖的面积 ，
答：一块八边形地砖的面积为 ，黑色正方形地砖的面积为 ．
22. 在平面直角坐标系 中，函数 的图象经过点 和 ．
（1）求该函数的解析式；
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（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值小于函数 的值，当 时，
对于 的每一个值，函数 的值小于0，直接写出 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次不等式，根据题意列出不等式组
是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意列出不等式组，解不等式即可得出答案．
【小问1详解】
解： 函数 的图象经过点 和 ，
，
解得： ，
该函数的解析式为 ；
【小问2详解】
解：当 时， ，
当 时，对于 的每一个值，函数 的值小于函数 的值，
， ，
解得： ，
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当 时，对于 的每一个值，函数 的值小于0，
，
解得： ，
．
23. 某校举办“学生讲堂”，1班为了选出一位同学代表班级参赛，先后进行了笔试和面试．在笔试中，
甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分100）分别是95，94，88．在面试中，十位评委对
甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对甲、乙、
丙三位同学的面试的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．评委给甲同学打分如下：10，10，9，8，8，8，7，7，6，5
b．评委给乙、丙两位同学打分的折线图：
c．甲、乙、丙三位同学面试情况统计表：
同 评委打分中位 面试成
学 数 绩
甲 8
乙 9 85
丙 87
根据以上信息，回答下列问题：
（1）直接写出表中 的值；
（2）在面试中，如果评委给某个同学的打分的方差越小，则认为评委对该同学面试的评价越一致．据此
推断：甲、乙、丙三位同学中，评委对 的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）；
（3）在笔试和面试两项成绩中，按笔试成绩占 ，面试成绩占 ，计算甲、乙、丙的综合成绩，
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综合成绩最高的是 （填“甲”、“乙”或“丙”）．
【答案】（1） ，
（2）丙 （3）乙
【解析】
【分析】本题考查了求中位数、求方差、求加权平均数，熟练掌握求法是解此题的关键．
（1）将甲的成绩全部相加即可得出 的值，根据中位数的定义即可得出 的值；
（2）分别求出甲、乙、丙面试成绩的方差，比较即可得出答案；
（3）分别求出甲、乙、丙的最终成绩，进行比较即可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意可得：
，
将丙得面试成绩按从小到大排列如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
故 ；
【小问2详解】
解： ，
，
，
，
，
，
，
故评委对丙的评价更一致；
【小问3详解】
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解：甲的成绩为： （分），
乙的成绩为： （分），
丙的成绩为： （分），
，
综合成绩最高的是乙．
24. 如图，在 中， ， 于点 ，交 的外接圆于点 ．连接 ，
于点 ，交 的延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）当 ， 时，求线段 的长及 的外接圆的半径长．
【答案】（1）证明见解析
（2） ， 的外接圆的半径长为
【解析】
【 分 析 】 （ 1 ） 证 明 ， 结 合 ， 可 得
，再结合等腰三角形的性质可得结论；
（2）如图，过 作 于 ，证明 ，设 ，而 ，求解 ，可得
，可得 ，设 ，由 ，可得
，可得 ，再证明 ，再进一步可得答案．
【小问1详解】
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证明： ∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：如图，过 作 于 ，
∵ ，
∴ ，
设 ，而
∴ ，
∵ ，
∴ ，而 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
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∴ ，设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为 的直径，
∴ 的外接圆的半径长为 ．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性
质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
25. 如图，在等边 中， ，点 是 的中点，点 是边 上一个动点，连接 ，
．设 ， 两点间的距离为 ， ．
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小明根据学习函数 的经验，对函数 随自变量 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，
请补充完整：
（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了 与 的几组对应值：
.
0. 1 2. 3. 4.
0 1 2 3 4 5
5 5 5 5 5
4. 4. 4. 4. 4. 5. 5. 6. 6.
5
6 3 1 2 6 1 6 2 8
的值为 （保留一位小数）；
（2）在平面直角坐标系 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点 ，并画出函数 的图象；
（3）结合函数图象，解决问题（保留一位小数）：
①当 时， 两点间的距离约为 ；
②当 时， 两点间的距离约为 ．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）① 或 ；②
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质、画函数图象、三角形中位线定理、勾股定理等知识点，熟练掌握
以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．
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（1）当 时，则 ，由等边三角形的性质结合勾股定理得出
，由三角形中位线定理即可得出 ，从而即可得出答案；
（2）根据表格描点连线即可得出函数图象；
（3）①由函数图象即可得出答案；②画出函数 ，与原函数的交点即为所求．
【小问1详解】
解：当 时，如图：
，
则 ，
为 的中点，
是等边三角形，
，
，
点 是 的中点，
是 的中位线，
，
，
；
【小问2详解】
解：画出图象如图所示：
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；
【小问3详解】
解： ①由图象可得：当 时， 两点间的距离约为 或 ；
②如图：
当 时， 两点间的距离约为 ．
26. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
（1）求该抛物线的顶点坐标（用含 的式子表示）；
（2）若对于该抛物线上的三个点 ， ， ，总有 ，求实
数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质、把二次函数化为顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
（1）利用配方法把抛物线解析式配成顶点式即可求得顶点坐标；
（2）由（1）可得：抛物线的对称轴为直线 ，抛物线开口向上，由题意得出点 距离对称轴的距离
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大于点 距离对称轴的距离大于点 距离对称轴的距离，即 ，求解即
可得出答案．
【小问1详解】
解： ，
该抛物线的顶点坐标为
【小问2详解】
解：由（1）可得：抛物线的对称轴为直线 ，抛物线开口向上，
对于该抛物线上的三个点 ， ， ，总有 ，
点 距离对称轴的距离大于点 距离对称轴的距离大于点 距离对称轴的距离，
，
解得： ，
实数 的取值范围为 ．
27. 如图，在 中， ， ．点 是 边上的动点，
，点 关于直线 的对称点为 ，连接 ．直线 与直线 交于点 ．
（1）补全图形；
（2）求 的大小；
（3）用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）
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（3） ，证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、三角形外角的定义及性质、等边对等
角等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）根据题意，补全图形即可；
（2）连接 ，则 ，由轴对称的性质结合题意得出 ，从而得出
，求出 ，由等边对等角结合三角形内角和定理得出
，最后由三角形外角的定义及性质即可得出答案；
（3）延长 至 ，使 ，连接 ，证明 ，得出 ，即可得
解．
【小问1详解】
解：补全图形如图所示：
；
【小问2详解】
解：如图，连接 ，
，
，
，
点 关于直线 的对称点为 ，
，
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，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解： ，证明如下：
如图，延长 至 ，使 ，连接 ，
，
，
，即 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
．
28. 在平面直角坐标系 中，对于线段 和直线 ，称线段 的中点到直线 的距离为线段 关于直
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线 的平均距离，记为 ．
已知点 ， ．
（1）线段 关于 轴的平均距离 为 ；
（2）若点 在 轴正半轴上，点 在 轴正半轴上，且 ，则线段 关于直线 的平均距离
的最小值为；
（3）已知点 是半径为1的 上的动点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，直接写出线段 关
于 轴的平均距离 的取值范围．
【答案】（1）1.5 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了圆的有关性质，点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，
直角三角形的斜边上的中线的性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定，并熟练运用是解题的关键．
（1）利用平均距离的定义解答即可；
（2）设 的中点为 ，利用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的性质得到点 在以 为圆心，
1为半径的圆弧上，过点 作 于点 ，与该圆弧交于点 ，则此时线段 关于直线 的平均
距离 的值最小，利用圆的有关性质和等腰直角三角形的性质解答即可；
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（3）设 与坐标轴分别交于点 ， ， ， ，通过分析点 在 位置的变化得到 值的变化求得
的最大值与最小值即可得出结论．
【小问1详解】
解： 点 ， ，
线段 的中点为 ，
到 轴的距离为1.5，
线段 关于 轴的平均距离 为1.5
故答案为：1.5；
【小问2详解】
解：设 的中点为 ，
点 在 轴正半轴上，点 在 轴正半轴上，且 ，
，
为 的中点，
，
点 在以 为圆心，1为半径的圆弧上，如图1，
过点 作 于点 ，与该圆弧交于点 ，则此时线段 关于直线 的平均距离 的值最小，
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， ， ，
，
线段 关于直线 的平均距离 的最小值 ．
故答案为： ．
【小问3详解】
解：点 是半径为1的 上的动点，设 与坐标轴分别交于点 ， ， ， ，如图2，
由题意知：当点 与点 重合时， 的中点为 ，此时 ，当点 与点 重合时， 的中点为
，此时 ；当点 与点 重合时， 的中点为 ，此时 ，当点 与点 重合时， 的
中点为 ，此时 ．
当点 在 上时， 的值由2增加到最大时又逐渐减小到2；当点 在 上时， 的值由2减小后又
逐渐增大到2；当点 在 上时， 的值由1增大又逐渐减小到1，当点 在 上时， 的值由1减小
到最小时又逐渐增大到1．
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当点 在 上时，点 的横坐标为 时， 取得最大值为 ，当点
在 上时，点 的横坐标为 时， 取得最小值为 ，
线段 关于 轴的平均距离 的取值范围为 ．
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