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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2024 年北京市人大附中经开学校中考数学模拟试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 如图是某几何体的主视图、左视图和俯视图，则该几何体是（ ）
A. 球 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 长方体
【答案】C
【解析】
【分析】根据主视图与左视图是三角形，俯视图是圆，即可得出该几何体是圆锥，据此即可求解．
【详解】解：∵主视图与左视图是三角形，俯视图是圆，
∴该几何体是圆锥，
故选：C．
【点睛】本题考查了根据三视图还原几何体，掌握常见几何体的三视图是解题的关键．
2. 截至2022年8月底，我国已建设开通了约2102000个5G基站．随着5G基站的规模化建设，它将为我
国经济发展提供新动能．其中数据2102000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成 的形式，其中 ，n是比原整数位
数少1的数．
【详解】 ．
故选C．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
n为整数，解题的关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，以及中心对
称图形：一个平面图形，绕一点，旋转 ，与自身完全重合，进行判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义，是解
题的关键．
4. 正十边形的外角和为（ ）
A. 180° B. 360° C. 720° D. 1440°
【答案】B
【解析】
【分析】根据多边的外角和定理进行选择．
【详解】解：因为任意多边形的外角和都等于360°，
所以正十边形的外角和等于360°，．
故选B．
【点睛】本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度．
5. 掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则 的值（ ）
A. 一定是 B. 一定不是
C. 随着m的增大，越来越接近 D. 随着m的增大，在 附近摆动，呈现一定的稳定
性
【答案】D
【解析】
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【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可．
【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是 ，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机
事件， 是它的频率，随着m的增加， 的值会在 附近摆动，呈现出一定的稳定性．
故选：D．
【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是都有可
能发生的事件．
6. 以下图形绕点O旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，再比较即可．
【详解】解：A选项：最小旋转角度 ；
B选项：最小旋转角度 ；
C选项：最小旋转角度 ；
D选项：最小旋转角度 ；
综上可得：旋转的角度最小的是D．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转对称图形中旋转角度的确定，求各图形的最小旋转角度时，关键要看各图形可以
被平分成几部分，被平分成n部分，旋转的最小角度就是 ．
7. 2021年3月考古人员在山西阳泉发现目前中国规模最大、保存最完好的战国水井，井壁由等长的柏木按
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原始榫卯结构相互搭接呈闭合的正九边形逐层垒砌，关于正九边形下列说法错误的是（ ）
A. 它是轴对称图形 B. 它是中心对称图形
C. 它的外角和是360° D. 它的每个内角都是140°
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称与中心对称的定义可判断A、B的正误；根据正多边形的外角和为360°可判断C的
正误；根据正n边形的内角为 可判断D的正误．
【详解】解：由题意知正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形
∴A正确，B错误；
由正多边形的外角和为360°可知正九边形的外角和为360°
∴C正确；
由正n边形的内角为 ，可得
∴D正确；
故选B．
【点睛】本题考查了正多边形的内角、外角和，轴对称，中心对称．解题的关键在于熟练掌握正多边形的
内角、外角与对称性．
8. 下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是
（ ）
A. 圆的面积y与它的半径x
B. 正方形的周长y与它的边长x
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C. 小丽从家骑车去学校，路程一定时，匀速骑行中所用时间y与平均速度x
D. 用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意求出两个变量之间的函数关系式分别判断即可．
【详解】 圆的面积y与它的半径x的关系式为
圆的面积y随半径x的增大而增大，故A选项不符合题意；
正方形的周长y与它的边长x的关系式为
正方形的周长y随边长x的增大而增大，故B选项不符合题意；
设路程为 ，则所用时间y与平均速度x的关系式为
所用时间y随平均速度x的增大而减小，故C选项不符合题意；
设铁丝的长度为 ，则矩形的面积
矩形的面积y与边长x的之间的函数关系可以用如图所示的图象表示，故D选项符合题意．
故答案选D．
【点睛】本题考查了函数的图象，准确地得出两个变量之间的关系式是解题的关键．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
9. 因式分解： =______．
【答案】2（x+3）（x﹣3）
【解析】
【分析】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可．
【详解】 =2（x2-9）=2（x+3）（x-3）．
故答案为：2（x+3）（x﹣3）
【点睛】考点：因式分解．
10. 一个袋子中装有4个黑球和 个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白
球的概率为 ，则白球的个数 为_______．
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【答案】6
【解析】
【分析】本题考查利用概率求个数，根据白球概率求出黑球概率，黑球共有4个，就可以求出球的总数，
再减去黑球个数即可解答，熟练掌握简单概率公式是解决问题的关键．
【详解】解：∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为 ，
∴摸到黑球的概率为 ，
∵袋子中有4个黑球和 个白球，
∴由简单概率公式可得 ，解得 ，
∴白球有6个，
故答案为：6．
11. 在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为21m，那么这根旗杆
的高度为_______m．
【答案】14
【解析】
【分析】利用同时同地物的高与影长成正比列式计算即可．
【详解】解：设旗杆高度为xm由题意得，
解得：x=14
故答案为14．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握同时同地物高与影长成正比例是解答本题的关键．
12. 函数 的图象上有两点 ，若 ，写出一个符合题意的k的值：
_________．
【答案】1（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据P 和P 的位置，结合 可得出k的取值范围，从而可选取一个符合题意的k的值.
1 2
【详解】∵ ，且
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∴函数 中，k＞0，
∴k=1（答案不唯一）
故答案为：1（答案不唯一）
【点睛】此题主要考查了一次函数的图象与性质，确定k＞0是解答此题的关键.
13. 已知长为6cm宽为4cm的长方形是一个圆柱的侧面展开图，则柱的体积为_____（结果保留π）
【答案】 或
【解析】
【分析】分底面周长为4和6两种情况讨论，求得底面半径，即可求出它的体积．
【 详 解 】 解 ： ① 底 面 周 长 为 4 时 ， 圆 柱 底 面 圆 的 半 径 为 ， 此 时 体 积 为 ：
，
②底面周长为6，时，圆柱底面圆的半径为 ，此时体积为： ．
故答案为 或
【点睛】考查了圆柱的侧面展开图，注意分长为底面周长和宽为底面周长两种情况讨论求解．
14. 如图，在矩形 中，点 是坐标原点，点 在反比例函数 的图象上，点 在反比例函数
的图象上， ，则 ______．
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【答案】-8
【解析】
【分析】过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，证明 EAO∽ DOB，利用三角
函数，面积之比等于相似比的平方，求解即可 △ △
【详解】如图，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵四边形AOBC是矩形,
∴∠AOB=90°，BC=OA,AC=OB,
∴∠AOE+∠BOD=90°，∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠BOD=∠EAO，
∴ EAO∽ DOB，
△ △
∴ ： = ，
∵ ,
∴BC：AB= ，
设BC= k，AB=5k，则AC=2 k，
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∴AO：BO=BC：AC=1:2，
∴ ： = ，
∴ =4 ，
∵点B在反比例函数 的图象上，顶点A在反比例函数 的图象上，
∴ = ， = =1，
∴ =4，
∴ =8，
∵反比例函数 的图象在第二象限，
∴k= -8，
故答案为：-8．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，三角函数，矩形的性质，勾股定理，三角形的相似与性质，
熟练运用三角形相似的判定和性质，灵活运用三角函数的意义，反比例函数k的几何意义是解题的关键．
15. 小林、小方和小亮三人玩飞镖游戏，各投5支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如
图，则小亮的得分是_____．
【答案】21
【解析】
【分析】设投中圆环内及小圆内的得分分别为x，y分，根据题意列出方程组求解即可．
【详解】解：设投中圆环内及小圆内的得分分别为x，y分，
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依题意得： ，
解这个方程组得： ，
则小亮的得分是2x+3y=6+15=21分．
故答案为21．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组是解题关键．
16. 小夏同学从家到学校有 ， 两条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地
到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了 个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：
分钟）的数据，统计如下：据此估计，早高峰期间，乘坐 线路“用时不超过 分钟”的概率为______，
若要在 分钟之内到达学校，应尽量选择乘坐______（填 或 ）线路．
公 交 车 用
时
频数 总计
公 交 车 线
路
【答案】 ①. ##0.2 ②.
【解析】
【分析】用“用时不超过35分钟”的班次除以总班次即可求得概率；根据40分钟之内公交车的班次数，
即可判断．
【详解】解： 乘坐 线路“用时不超过 分钟”的有 （班次），
乘坐 线路“用时不超过 分钟”的概率为 ，
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线路不超过 分钟的有 （班次），
线路不超过 分钟的有 （班次），
选择 线路，
故答案为： ， ．
【点睛】考查了概率公式，根据表格结合概率公式求解是解答本题的关键．
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先计算乘方和开方运算，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可求解．
【详解】
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整指数幂的运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的
关键．
18. 解不等式 ，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】 ，数轴表示见解析
【解析】
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【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】
解不等式①，移项，合并同类项得，
系数化为1得， ；
解不等式②，去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，
故不等式组的解集为： ．
数轴表示如下：
【点睛】本题考查的是
解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此
题的关键．
19. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程两个实数根的差为2，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2） 值为 或
的
【解析】
【分析】（1）计算出 ，由此即可得到答案；
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（2）根据根与系数的关系可得 ， ，结合 ，得出关于 的方程，
解方程即可得到答案．
【小问1详解】
证明：根据题意得：
，
，
，
无论 为何值，该方程总有两个实数根；
【小问2详解】
的
解：设 、 是关于 一元二次方程 的两个实数根，
， ，
该方程两个实数根的差为2，
，
，
，即 ，
，
解得： 或 ，
的值为 或 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程 的根与
有如下关系：① ，方程有两个不相等的实数根，② ，方程有两个相等的实数根，
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③ ，方程没有实数根，关于x的一元二次方程 的两个实数根 ， 和系数
， ， ，有如下关系： ， ．
20. 已知： 和圆外一点 ，求作：过点 的 的切线．
作法：①连接 ；
②分别以 ， 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于 两点，连接 ，交 于点 ．
③以 为圆心， 长为半径作 ，交 于点 ；
④作直线 ．
的
所以直线 为 切线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接 ．
， ，
是线段 的______（______）（填推理的依据）．
．
为 的直径， 在 上
（______）（填推理的依据）．
半径 ，半径 ．
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直线 为 的切线（______）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析 （2）垂直平分线；到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；
直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【解析】
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形即可；
（2）先由垂直平分线的判定可得 是线段 的垂直平分线，从而得到 ，再由圆周角定理可
得 ，由此即可得证．
【小问1详解】
解：如图， 即为所作，
；
【小问2详解】
解：连接 ，
，
， ，
是线段 的垂直平分线，（到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
，
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为 的直径， 在 上，
（直径所对的圆周角是直角），
半径 ，半径 ，
直线 为 的切线（经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线），
故答案为：垂直平分线；到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；直径所对的圆周角
是直角；经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图， 此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基
本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了线段垂直平分线的判定与性质、圆周角定理和切
线的判定与性质．
21. 如图，在四边形ABCD中， ， ，垂足为O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于
点E．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）若AC=4，AD=2， ，求BC的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）BC的长为
【解析】
【分析】（1）先判定 ，再根据题中所给 的条件即可利用平行四边形判定定理证出；
（2）根据三角函数值设 ， ，利用平行四边形性质得到平行及线段相等，从而根据
确定的相似比代值求解即可．
【小问1详解】
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证明： ， ，
，
，
在四边形ABCD中， ，
四边形ACED是平行四边形；
【小问2详解】
解：在 中， ，设 ， ，
在 中， ， ， ，
，
，即 ，解得 （舍弃）或 ，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数
定义等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
22. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象平行于直线 ，且经过点 ．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当 时，对于 的每一个值，一次函数 的值大于函数 的值，直接
写出 的取值范围．
【答案】（1）
（2） 或
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【解析】
【分析】（1）先根据两直线平行确定k值，再将 代入求解；
（2）分 和 两种情况，利用数形结合思想求解．
【小问1详解】
解： 一次函数 的图象平行于直线 ，
，
将 代入 ，得：
，
解得： ，
这个一次函数的表达式为 ；
【小问2详解】
解：当 时， 的图象位于第一象限，
将 代入 ，得 ，
将点 代入 ，得 ，
；
当 ， 时， 的图象位于第四象限，一次函数 的图象位于第一象限，
对于 的每一个值，一次函数 的值大于函数 的值，
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综上可知， 的取值范围为： 或 ．
【点睛】本题考查求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是熟练运用数形结
合思想，第二问注意分情况讨论．
23. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若BC＝2，∠BAC＝30°，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接OD，由直径所对的圆周角是直角得到∠ADC＝90°，则∠BDC＝180°﹣∠ADC＝90°，由
E为BC的中点，可得DE＝ BC＝BE＝CE，则∠B＝∠EDB，再由OD＝OA＝OC，得到∠A＝∠ODA，则
∠CED＝∠B+∠EDB＝2∠B，∠COD＝∠A+∠ODA＝2∠A，根据∠B+∠A＝90°，得到∠CED+∠COD＝
2∠B+2∠A＝2（∠B+∠A）＝2×90°＝180°，再利用四边形内角和是360度求解即可；
（2）先利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质得到 ，则 ，
再由 ， ，得到 ，则S ＝
四边形OCED
，再根据S ＝S ﹣S 进行
阴影 四边形OCED 扇形COD
求解即可．
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【详解】（1）证明：如图，连接OD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADC＝90°，
∵E为BC的中点，
∴DE＝ BC＝BE＝CE，
∴∠B＝∠EDB，
∵OD＝OA＝OC，
∴∠A＝∠ODA，
∴∠CED＝∠B+∠EDB＝2∠B，∠COD＝∠A+∠ODA＝2∠A，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，
∴∠CED+∠COD＝2∠B+2∠A＝2（∠B+∠A）＝2×90°＝180°，
∴∠ODE＝360°﹣90°﹣180°＝90°，
∵DE经过半径OD的端点D，且DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
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∴ ， ，
∴S ＝ ，
四边形OCED
∵∠COD＝2∠BAC＝2×30°＝60°， ，
∴S ，
扇形COD
∴S ＝S ﹣S ，
阴影 四边形OCED 扇形COD
∴阴影部分的面积为 ．
【点睛】本题主要考查了圆切线的证明，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质与判定，直径所对
的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，扇形面积公式等等，解题的关键在于能够熟练掌握圆的
相关知识．
24. 某超市销售一种商品，成本是每千克 元，规定每千克售价不低于成本，且不高于 元，经市场调查
每天的销售量 （千克）与每千克售价 （元）满足一次函数关系，当售价每千克 元时，销售量 为
千克：当售价每千克 元时，销售量 为 千克．
（1）求 月 之间的函数表达式；
（2）设该商品每天的总利润为 （元），求 与 之间的函数表达式（利润 收入 成本）并求当售价
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为多少时，利润为 元．
【答案】（1） 月 之间的函数表达式为： ；
（2） 与 之间的函数表达式为 ；当售价为 元或 元时，利润为 元．
【解析】
【分析】（ ）直接利用待定系数法求出 与 之间的函数关系式即可；
（ ）当 时，求二次函数的自变量 的值，即可得出答案．
【小问1详解】
设 ，把 ， ； ， 代入得：
，
解得 ，
∴ 月 之间的函数表达式为： ；
【小问2详解】
由题意得： ，
，
，
∴当 时， ，
∴
∴
∴ ，
经检验， ， 均符合题意．
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答： 与 之间的函数表达式为 ；当售价为 元或 元时，利润为 元．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数及二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握一次函数和二
次函数的在实际生活中的应用．
25. 如图， 是 的切线，切点为A， 是 的弦．过点 作 ，交 于点 ，连接
，过点 作 ，交 于点 ．连接 并延长交 于点 ，交过点 的直线于点 ，
且 ．
（1）判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）相切，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，由 为切线及 ，结合垂径定理可得 平分 ，则可得
，再由 及 可得 ，则可得 ，问题
得证；
（2）由勾股定理分别求得 及圆半径，证明 ，由相似的性质即可求得 的长．
【小问1详解】
解：相切；理由如下：
连接 ，
∵ 为切线，
∴
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∵ ，
∴ ，即 垂直平分 ，
∴ 平分 ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴直线 与 相切；
【小问2详解】
解：∵ 垂直平分 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ；
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设圆半径为r，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与
性质，垂径定理等知识，综合运用这些知识是关键．
26. 已知二次函数 的图像经过点 ．
（1）用含 的代数式表示 ______；
（2）若直线 与抛物线 相交所得的线段长为 ，求 的值；
（3）若抛物线 与 轴交于 和 两点（ ），且 ，直接
写出 的取值范围．
【答案】（1）
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（2） 或
（3） 或
【解析】
【分析】（1）把点A的坐标代入二次函数解析式中，变形即可求解；
（2）由（1）得二次函数解析式，与一次函数解析式联立组成二元一次方程组，求得两交点的坐标，由题
意可得关于a的方程，解方程即可求得a的值；
（3）由判别式确定a的范围，根据a的范围、一元二次方程根与系数的关系、二次函数的图象即可确定 a
的范围．
【小问1详解】
解：∵二次函数 的图像经过点 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：由（1）得二次函数解析式为 ，
由题意得： ，解得： ， ，
即直线与抛物线的两个交点坐标为 ；
由题意得： ，
解得： 或 ；
【小问3详解】
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解：∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴ ，
解得： 或 ；
当 时，
对于 ，令 ，有 ，
即抛物线与y轴交点为 ，
∴抛物线必过 与 ，
∴ ，
∴必有 ；
当 时，对于 ，
则由根与系数的关系有： ，
∴ ，
即 ；
∵ ，抛物线对称轴为直线 ，且 ，
∴当 时， ，
解得： ；
综上， 或 ．
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式、根与系数的
关系，二次函数图象与坐标轴的交点，灵活运用是解题的关键．
27. 已知四边形 ， ， ， ， ， 是 的角平分线，
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交射线 于 ，线段 的延长线上取一点 使 ，直线 ， 交于点 ．
（1）补全图形；
（2）猜想 的形状，并证明你的猜想；
（3）求 与 的数量关系．
【答案】（1）见解析 （2） 是等边三角形，理由见解析
（3） ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据要求画出图形即可；
（2）结论： 是等边三角形；通过证明 垂直平分线段 ，证得 ≌ ，再证明
，推出 ，可得结论；
（3）结论： ，过点 作 交 于点 ．证明四边形 是平行四边形，推出
，再利用全等三角形的性质证明 ，可得结论．
【小问1详解】
解：图形如图所示：
【小问2详解】
解：猜想 是等边三角形．
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理由如下：
如图，设 交 于点H，
∵ ， 平分 ，
∴
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 垂直平分线段 ，
，
在 和 中，
∵ ，
∴ ≌ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
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∵ ， ，
在四边形 中，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
【小问3详解】
解： ，理由如下：
证明：如图，过点 作 交 于点 ．
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∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角
形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
28. 在平面上任取一个 ，则可以定义面积坐标：对平面内任一点 ，记 ， ，
若点 恰好在 的某条边所在的直线上，则记相应三角形的面积为 ，则点 的面积坐
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标记为 已知：在 中， ， ．
（1）如图 ，若点 的坐标为 ．
①写出点 的面积坐标______；
已知几个点 的面积坐标分别为： ， ， ， ，则其中不在
内部的点是______；
（2）把平面内一点 的面积坐标记为
①如图 ，当点 坐的标为 时，若 ，试探究 与 之间的关系；
②当点 的坐标为 时，点 在以点 为圆心，半径为 的圆上运动，若点 的面积坐标
始终满足 ，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）① ；② 、
（2）① 或 ；② 或
【解析】
【分析】（1） 分别计算出 ， 和 的面积，进而得出结果； 只需验证三个面积
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之和是否等于 的面积且没有一个为 即可；
（2） 根据三角形面积公式表示 和 ，列出方程，从而得出结果； 发现当 在 的外部
时，满足条件，进一步求得结果．
【小问1详解】
解： ， ， ， ，
， ， ，
点 的面积坐标为 ，
故答案为： ；
，
，
点 是 的重心，即 ，
点 在 内部；
，
，
点 在边 所在直线上；
，
， ， ，
不在 内部；
，
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， ， ，
在 内部；
故答案为： 、 ；
【小问2详解】
解： ， ， ， ，
， ，
， ，
，
，
，
或 ；
如图，
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当 在 内部时，
，
即 ，
当 不在 的内部时，满足条件，如图 ，
在 中， ， ，
，
同理可得： ，
∵ 轴， 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ，
或 ．
【点睛】本题是阅读型题，考查了理解能力，等边三角形的性质，三角形面积公式，圆的切线性质等知识，
解决问题的关键紧扣定义，数形结合，尝试验证．
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