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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京汇文中学 2023-2024 学年度第二学期
初三年级数学校模
一、选择题（每题2分，共16分）
1. 下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据特殊几何体的展开图逐一进行分析判断即可得答案．
【详解】A、圆柱的侧面展开图是矩形，故A错误；
B、三棱柱的侧面展开图是矩形，故B错误；
C、圆锥的侧面展开图是扇形，故C正确；
D、三棱锥的侧面展开图是三个三角形拼成的图形，故D错误，
故选C．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟记特殊几何体的侧面展开图是解题关键．
2. 2020年7月23日，中国首颗火星探测器“天问一号”成功发射．2021年2月10日，在经过长达七个月，
475 000 000公里的漫长飞行之后，“天问一号”成功进入火星轨道．将475000000科学记数法表示应为（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变
成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是
正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：475000000＝4.75×108．
故选择：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为
整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
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3. 如图， 经过旋转成轴对称得到 ，其中 绕点A逆时针旋转 的是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称，旋转的性质判断即可．
【详解】解：由题意，选项B，C可以通过翻折得到．
选项A，其中 绕点 逆时针旋转 可以得到 ，
选项D，其中 绕点 逆时针旋转 可以得到 ．
故选：D．
【点睛】本题考查旋转及轴对称概念和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，若 ，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
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【答案】C
【解析】
【分析】根据题意以及实数a，b，c在数轴上对应点的位置逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵ ，
， ，故A选项不正确，不符合题意；
，故B选项不正确，不符合题意；
，故C选项正确，符合题意；
， ，故D选项不正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了实数与数轴，根据点的位置判断式子的符号，数形结合是解题的关键．
5. 如图， ， 是 的切线，切点分别为 ， ， 的延长线交 于点 ，连接 ， ，
．若 ， ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【 分 析 】 本 题 考 查 了 切 线 的 性 质 ， 圆 周 角 定 理 ． 根 据 切 线 长 的 定 理 可 得 ，
，根据 ， ，可得 ，进而可得 的
度数．
【详解】解： ， 是 的切线，
， ，
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， ，
，
，
．
故选：B．
6. 方程 的解是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】分式方程两边同时乘以公分母 ，转化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．
【详解】解：分式方程两边同时乘以公分母 ，得，
，
解得 ．
经检验， 是原方程的解．
故选A．
【点睛】本题考查了解分式方程，正确的计算是解题的关键．
7. 已知三个点 ， ， ， ， ， 在反比例函数 的图象上，其中 ，
则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函
数的解析式是解答此题的关键．
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先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据 即可得出结论．
【详解】解： 反比例函数 中， ，
函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内， 随 的增大而增大．
，
， ， ， 两点在第二象限，点 ， 在第四象限，
．
故选：D．
8. 某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为O，A，由线段 及优弧 围成的区域是表演
区．若在A处安装一台某种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示．若将灯光装
置改放在如图3所示的点M，N或P处，能使表演区完全照亮的方案可能是（ ）
①在M处放置2台该型号的灯光装置；②在M，N处各放置1台该型号的灯光装置；③在P处放置2台该
型号的灯光装置．
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角的性质，从而完成求解．
【详解】解：①在M处放置2台该型号的灯光装置，如图：
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摄像装置的视角为 ，
∵ ，
∴在M处放置2台该型号的灯光装置，能使表演区完全照亮；
②在M，N处各放置1台该型号的灯光装置
∵ ，
∴在M，N处各放置1台该型号的灯光装置；
③在P处放置2台该型号的灯光装置，如图：
∵ ，不能找到一个角和 相等
∴由图可知，在P处放置2台该型号的灯光装置，不能使表演区完全照亮；
故选：A．
二、填空题（每题2分，共16分）
9. 分式 的值为0，则 __________．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的值为0可得分子为0，分母不为0，进而可求解，熟练掌
握基础知识是解题的关键．
【详解】解：依题意得： ，
故答案为：0．
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10. 因式分解： =_______________.
【答案】a(a+b)(a-b).
【解析】
【详解】分析：本题考查的是提公因式法和利用平方差公式分解因式.
解析：原式= a(a+b)(a-b).
故答案为a(a+b)(a-b).
11. 正六边形的一个外角的度数为______．
【答案】 ##60度
【解析】
【分析】本题考查了多边形的外角和的知识，解题的关键是根据正多边形的每一个外角都相等和多边形的
外角和等于360度解答即可．
【详解】解：∵正六边形的外角和是 ，
∴正六边形的一个外角的度数为： ，
故答案为： ．
12. 若n为整数，且 ，则n的值为________________．
【答案】4
【解析】
【分析】依据夹逼法确定出 的大致范围，从而可得到n的值．
【详解】解：∵16＜21＜25，
∴4＜ ＜5．
∴n＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．
13. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，
如图（1）所示，如图（2），若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立时像的高度是6cm，则蜡烛火
焰的高度是_______cm．
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【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用，“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解．
【详解】解：设蜡烛火焰的高度是x cm，
由相似三角形的性质得 ，
解得 ．
即蜡烛火焰的高度是4cm．
故答案为：4
14. 不透明布袋中有红、黄小球各一个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，放回并摇匀．再随
机摸出一个，则两次摸到的球中，一个红球、一个黄球的概率为_________．
【答案】 ##0.5
【解析】
【分析】根据列表法求概率即可求解．
【详解】解：列表如下
第一次\第二次 红 黄
红 红红 红黄
黄 黄红 黄黄
共4种等可能结果，两次摸到的球中，其中一个红球、一个黄球的情形有2种，
则两次摸到的球中，一个红球、一个黄球的概率为 ，
故答案为：
【点睛】本题考查了列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
15. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D在格点上，以 为直径的圆过C，D两点，则
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_______．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接 ，则 ，由 ，可得 ，由 为
圆的直径，可得 ，由勾股定理得， ，根据 ，计算求
解即可．
【详解】解：如图，连接 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为圆的直径，
∴ ，
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由勾股定理得， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，正弦等知识．熟练掌
握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，正弦是解题的关键．
16. 如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，将矩形ABCD绕顶点C顺时针旋转90°，得到矩形EFCG，连接
AE，取AE的中点H，连接DH，则 _______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意构造并证明 ，通过全等得到 ，再结合矩
形的性质、旋转的性质，及可求解；
【详解】如图，延长DH交EF于点k，
∵H是 的中点
又
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则
故答案为：
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、三角形的全等证明，掌握相关知识并结合旋转的性质正确构造全等
三角形是解题的关键．
三、解答题（本题共68分）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，先进行开方，特殊角的三角函数值，零指数幂的运算，
再进行加减运算即可．
【详解】解：原式 ．
18. 已知： ，求代数式 的值.
【答案】1
【解析】
【分析】先化简分式，再把 代入原式即可求解.
【详解】解：原式=
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=
=
∵
∴原式= =1
【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知分式的运算法则.
19. 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l和直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得 ．
作法：如图，
①在直线l上任取两点A，B；
②以点P为圆心，AB长为半径画弧，以点B为圆心，AP长为半径画弧，两弧在直线l上方相交于点Q；
③作直线PQ．
直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
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证明：∵ ，
∴四边形PABQ是平行四边形（___________）（填写推理的依据）．
∴ （______________）（填写推理的依据）．
即
【答案】（1）见解析 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的两组对边分别平
行．
【解析】
【分析】（1）根据题目告诉的作图方法进行作图即可；
（2）利用平行四边形的性质与判定证明即可．
【小问1详解】
解：如图所示，直线 就是所求作的直线．
【小问2详解】
证明： ，
四边形PABQ是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
（平行四边形的两组对边分别平行）．
即 ．
【点睛】本题考查了尺规作图，平行四边形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
20. 我们知道等腰三角形的“三线合一”定理，即：等腰三角形（前提）的顶角平分线、底边上的中线、
底边上的高互相重合．
我们也可以逆用“三线合一”定理，证明这个三角形是等腰三角形，即：在三角形中，则这个三角形是等
腰三角形（结论）．
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选择下面一种情况，完成证明．
情况一 情况二 情况三
已知：如图，在 已知：如图，在 已知：如图，在 中，
中， 平分 ，D 中， ， 于 ，AD平分
是BC的中点， 于D
选择情况：_____________．
证明：
【答案】情况一（或情况二或情况三），证明见解析
【解析】
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质， 选择情况一时，延长
到 ，使 ，连接 ， 全等，得 ，再证 即可得出结论；选
择情况二时，由已知可得 为线段 的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质可得出结论；选择
情况三时，可依据 判定 和 全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论，熟练掌握
全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【详解】解：选择情况一，证明如下：
延长 到E，使 ，连接 ，如图所示：
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∵ 是 中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
选择情况二，证明如下：
∵ 于D，
∴ 为线段 的垂直平分线，
∴ ；
选择情况三，证明如下：
∴ 于D，
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∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
21. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）不解方程，判断此方程根的情况；
（2）若 是该方程的一个根，求代数式 的值．
【答案】（1）有两个不相等的实数根
（2）11
【解析】
【分析】（1）利用根的判别式Δ=b2-4ac判断即可．
（2）将x=2代入一元二次方程x2-2kx+k2-1=0，整理得k2-4k=-3，再将-2k2+8k+5变形为-2（k2-4k）+5，代入
求值即可．
【小问1详解】
解：∵Δ=b2-4ac=（-2k）2-4（k2-1）=4k2-4k2+4=4＞0，
∴此一元二次方程有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
将x=2代入一元二次方程x2-2kx+k2-1=0，
得4-4k+k2-1=0，
整理得k2-4k=-3，
∴-2k2+8k+5
=-2（k2-4k）+5
=-2×（-3）+5
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=11．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解，牢记：当Δ=b2-4ac＞0时，一元二次方
程有两个不相等的实数根；当Δ=b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ=b2-4ac＜0时，一
元二次方程无实数根．
22. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与x轴交于点 ，且与反比例函数 的
图象在第四象限的交点为 ．
（1）求b，m的值；
（2）点 是一次函数 图象上的一个动点，且满足 ，连接OP，结合函数图
象，直接写出OP长的取值范围．
【答案】（1）b=4，m=-5
（2）2 ≤OP<
【解析】
【分析】（1）把(4,0)代入y=-x+b，即可求出b值，从而得出一次函数解析式，再把(n,-1)代入一次函数解
析式求出n值，然后把(n,-1)代入反比例函数银析式求出值即可；
（2）先画出示意图，如图，由 ，得出0<x <5，点P在线段BD上运动，连接OD，过点O作
P
OC⊥BD于C，求出OC、OD的长，即可由OC≤OP<OD求解．
【小问1详解】
解：把(4,0)代入y=-x+b，得0=-4+b，
解得：b=4，
∴一次函数解析式为y=-x+4，
把(n,-1)代入y=-x+4，得-1=-n+4，
解得：n=5，
把(5,-1)代入 得， ,
解得：m=-5；
【小问2详解】
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解：如图，
∵ ，
∴0<x<5，
p
∴点P在线段BD上运动，
连接OD，过点O作OC⊥BD于C，
∵A（4，0），B（0，4），D（5，-1），
∴OA=OB=4，OD= ，AB= ，
∵S = ，
OAB
△
∴4×4= OC，
∴OC=2 ，
∴OC≤OP<OD，
∴2 ≤OP< ，
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数与反比例函数解析式，一次函数与反比例函数交点问题，垂线段
最短，图象法求不等式解集，熟练掌握一次函数与反比例关系函数性质是解题的关键．
23. 数学学习小组的同学共同探究体积为330mL圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．，他们想探究
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容器表面积与底面半径的关系．
具体研究过程如下，请补充完整：
（1）建立模型：设该容器的表面积为S ，底面半径为 cm，高为 cm，则
， ①
， ②
由①式得 ，代入②式得
． ③
可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是 ．
（2）探究函数：
根据函数解析式③，按照下表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值：
… 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 …
… 666 454 355 303 277 266 266 274 289 310 336 …
在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）解决问题：根据图表回答，
①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积______．（填“大”或“小”）；
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②若容器的表面积为300 ，容器底面半径约为______cm（精确到0.1）．
【答案】①大；② 或
【解析】
【分析】①根据（2）中的表格中数据与函数图象分析可得当 时， ，当 时，
，进而可比较当 与 时， 的值的大小，
②根据函数图象求解即可
【详解】解：①（2）中的表格中数据可知，当 时， ，当 时， ，根据函数
图象可知，当 时， 随 的增大增大，当 时， 随 的增大而减小，
时， , 时，
半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积大
故答案为：大
②根据函数图象可知，当 时， 或
故答案为： 或
【点睛】本题考查了函数图象，根据函数图象获取信息是解题的关键．
24. 如图， 是 的外接圆，AB是 的直径，点D为 的中点， 的切线DE交OC延长线
于点E．
（1）求证： ∥AC；
（2）连接BD交AC于点P，若 ， ，求DE和BP的长．
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【答案】（1）见解析 （2） ，
【解析】
【分析】（1）连接OD，用垂径定理的推论和切线性质定理证明；
（2）设OD与AC交点为F，连接AD，根据∠BAC的余弦值和勾股定理求出AB，BC的长，证明
∠E=∠BAC，∠EDO=∠ACB，得到 ABC∽ EOD，根据相似比求出DE的长；根据三角形中位线定理求
出OF的长，得到DF的长，用勾股定△理求出△AD的长，最后用∠CAD=∠CBD的余弦值求出BP的长
【小问1详解】
连接OD，
∵点D是 的中点，
∴OD⊥AC，
∵DE是⊙O切线，
∴DE⊥OD，
∴DE∥AC
【小问2详解】
设OD与AC交点为F，连接AD，则∠CAD=∠CBD，
∵DE∥AC，
∴∠E=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=∠E，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠EDO=90°，
∴ ABC∽ EOD，
△ △
∴ ，
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∵ ，AC=8，
∴AB=10，
∴ ，OD=5，
∴
∴ ，
∵ ，
∴DF=OD-OF=5-3=2，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【点睛】本题主要考查了垂径定理，切线性质定理，平行线的判定，圆周角定理推论，相似三角形的判定
和性质，三角形中位线定理，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是连接OD，AD，熟练运用上述性质
和判定定理解答
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25. 某校举行“云端好声音”线上歌唱比赛活动丰富同学们的居家生活．由1至4号的专业评委和5至10
号的大众评委进行评分．
例如：A节目演出后各个评委所给分数如下：
评委编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
评分/分 7.2 7.5 7.8 7.5 8.2 9.7 7.9 6.7 8.5 9.4
评分方案如下：
方案一：取各位评委所给分数的平均数，则该节目的得分为
．
方案二：从评委所给的分数中先去掉一个最高分和一个最低分，再取其余八位评委所给分数的平均数，则
该节目的得分为 ．
回答下列问题：
（1）小乐认为“方案二”比“方案一”更合理，你_________小乐的说法吗（填“同意”或“不同意”）？
理由是___________；
（2）小乐认为评分既要突出专业评审的权威性又要尊重大众评审的喜爱度，因此设计了“方案三”；先
计算1至4号评委所给分数的平均数 ，5至10号评委所给分数的平均数 ，再根据比赛的
需求设置相应的权重（ 表示专业评委的权重， 表示大众评委的权重，且 ）
如：当 时，则 ．该节目的得分为
I．当按照“方案三”中 评分时，A节目的得分为__________；
Ⅱ．关于评分方案，下列说法正确的有_________．
①当 时，A节目按照“方案三”和“方案一”评分结果相同；
②当 时，说明“方案三”评分更注重节目的专业性；
③当 时，A节目按照“方案三”评分的结果比“方案一”和“方案二”都高．
【答案】（1）同意，评委的评分常带有主观性，去掉最高分和最低分，能够使评分更具公平性；（2）I．
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7.86；Ⅱ．②③
【解析】
【分析】（1）根据算术平均数的概念和意义，即可得到答案；
（2）I．根据 ，直接代入数据，即可求解；Ⅱ．根据 对①②③进行判断，
即可得到结论．
【详解】解：（1）同意小乐的说法，理由是：评委的评分常带有主观性，去掉最高分和最低分，能够使
评分更具公平性．
故答案是：同意，评委的评分常带有主观性，去掉最高分和最低分，能够使评分更具公平性；
（2）I．∵ ， ， ， ，
∴ ，
故答案是：7.86；
Ⅱ．①当 时，A节目按照“方案三”的评分结果= ，与“方案一”的评
分结果不一样，故原说法错误；
②∵当 时，A节目按照“方案三”的评分结果= ，与“方案一”的评分
结果一样，
∴当 时，说明“方案三”评分更注重节目的专业性，故原说法正确；
③当 时，A节目按照“方案三”评分的结果= ，比“方案一”和“方案
二”都高，故原说法正确；
综上所述：正确的是：②③．
故答案是：②③．
【点睛】本题主要考查平均数，掌握算术平均数和加权平均数的定义，是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；
（2）点 ， 在抛物线上，其中 ， ．
①若 的最小值是 ，求 的最大值；
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②若对于 ， ，都有 ，求t的取值范围．
【答案】（1）
（2）①2；② 或 ．
【解析】
【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式，即可写成答案；
（2）①先确定出当 时， 的最小值为 ，进而求出 ，再判断出当 时， 取最大值，即可
求出答案；
②先由 得出 ，最后分两种情况，利用 ， ，即可
求出答案．
此题是二次函数综合题，主要考查了配方法，函数值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
【小问1详解】
解： ，
抛物线的顶点坐标为 ；
【小问2详解】
解：① ，
抛物线的对称轴为 ，
，
抛物线开口向上，
，
当 时， 的最小值为 ，
的最小值是 ，
，
， ，
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当 时， ，
即 的最大值为2；
② 点 ， ， ， 在抛物线 上，
， ，
对于 ， ，都有 ，
，
，
Ⅰ、当 时，
由①知， ，
， ，
，
，
由②知， ，
， ，
，
，
，
即 ；
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Ⅱ、当 时，
由 得： ，
， ，
，
，
由 知， ，
， ，
，
，
，
即 ；
即满足条件的 的取值范围为 或 ．
27. 已知：在 中， ， ．
（1）如图 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 、 ， 的平分线交 于
点 ，连接 ．
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求证： ；
求证： ；
在
（2） 图 中，若将线段 绕点 顺时针旋转 得到 ，连结 、 ，连结 ，请补全图形，
若 ，求 ．
【答案】（1） 见解析； 见解析；
（2）图见解析， ．
【解析】
【分析】（ ） 线段 绕点 逆时针旋转 得到 ， 得 ， ，故
，且 ，知 ，而 ，
， 平 分 ， 有 ， ， 从 而
， 可 得 ， ， 即 知 ，
， 又 ，得 ；
过点 作 于点 ，由 知： ，由 ， ，得 ，即
可得 ，故 ；
（ ）以 为顶点， 为一边作 ，设 交 于 ，可得 ，根据将线段
绕点 顺时针旋转 得到 得 ， ， 可求出 ，
，证明 ，即得 ，知 是
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的垂直平分线，可得 ， ，而 是等边三角
形，有 ，再证 ，得 ，即可得
．
【小问1详解】
证明： 如图：
∵将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，
∴ ， ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∵ ， ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
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过点 作 于点 ，如图：
由 知： ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
补全图形如下：
以 为顶点， 为一边作 ，设 交 于 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
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∵将线段 绕点 顺时针旋转 得到 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
的
∴ 是 垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的长为 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，旋转
的性质，熟练掌握知识点的应用及正确添加辅助线是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为1．对于线段 给出如下定义：若线段 与 有两个交
点M，N，且 ，则称线段 是 的“倍弦线”．
（1）如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．在线段 ， ， ， 中， 的“倍弦
线”是_____________；
（2） 的“倍弦线” 与直线 交于点E，求点E纵坐标 的取值范围；
（3）若 的“倍弦线” 过点 ，直线 与线段 有公共点，直接写出b的取值范围．
【答案】（1） ， ；
（2） ；
（3）
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【解析】
【分析】（1）依次连接线段 ， ， ， ，通过“倍弦线”的定义判断即可；
（2）通过M、N均在圆上，可以求得MN的取值范围，进而可以求出PQ的取值范围，结合图形，就可以
求出点E纵坐标 的取值范围；
（3）先画出P、Q两点的运动轨迹，分别求出直线 与两个圆相切时对应的P、S坐标，进而就可
以去就出b的取值范围．
【小问1详解】
解：如图，连接AB分别交 于点E、F，连接AD分别交 于点G、H，连接CD分别交 于点K、
F，连接CB，
∵CB与 没有交点，故CB不符合题意；
观察图像， ，故AD不符合题意；
，∴线段AB是 的“倍弦线”；
，∴线段CD是 的“倍弦线”，
的
故 “倍弦线”是 ， ；
【小问2详解】
由题意，可得 ，
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∵M、N在圆上，
∴ ，
∴ ，
如图，当 且点P在直线 上时，
∵ ，
，
∴ ，
结合图形，点E的纵坐标取值范围为 ；
【小问3详解】
由题意可得，P、Q的运动轨迹分别是以M为圆心，1为半径的圆和以N为圆心，2为半径的圆，如图所示，
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当直线 与圆N相切时，如图中的直线RP，切点为Q，
连接NQ，∵直线RP与 相切， ，
因为R、P在直线 上，∴ ，
∴△QRN是等腰直角三角形，
过点Q作 轴垂足为E，则 ，
设 ，则 ，即 ，解得 （负值舍去），
，
则 ，将其代入 中，解得 ，
∴直线RP的解析式为 ，
当 时，解得 ，
故 ，
当直线 与圆M相切时，如图中的直线SW，切点为T，
连接MT，∵直线SW与 相切， ，
因为S、W在直线 上，∴ ，
∴△TWM是等腰直角三角形，
过点T作 轴垂足为F，则 ，
设 ，则 ，即 ，解得 （负值舍去），
，
则 ，将其代入 中，解得 ，
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∴直线SW的解析式为 ，
当 时，解得 ，
故 ，
综上，b的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了坐标与图形的新定义问题，涉及到的知识点较多，勾股定理解三角形，等腰直角三角
形的判定与性质，圆的切线性质，一次函数的应用等，解题的关键在于正确作出辅助线，理解“倍弦线”
的定义是解题的关键．
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